Теория Лусина

В математической области анализа математического теорема Лузина (или теорема Лузина , названная в честь Николая Лузина ) или критерий Лузина утверждает, что почти везде конечная функция измерима тогда и только тогда, когда она является непрерывной функцией почти во всей своей области определения. В неформальной формулировке Дж . Э. Литтлвуда «каждая измеримая функция почти непрерывна».

Классическое заявление

Для интервала [ a , b ] пусть

f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C}

быть измеримой функцией. Тогда для любого ε > 0 существует компакт E ⊆ [ a , b ] такой, что f, ограниченная на E , непрерывна и

\mu (E)>b-a-\varepsilon .

Обратите внимание, что E наследует топологию подпространства от [ a , b ]; непрерывность f, ограниченная E, определяется с использованием этой топологии.

Также для любой функции f , определенной на интервале [ a, b ] и почти всюду конечной, если для любого ε > 0 существует функция φ , непрерывная на [ a, b ], такая, что мера множества

\{x\in [a,b]:f(x)\neq \phi (x)\}

меньше ε , то f измеримо. ^{[ 1 ]}

Общая форма

Позволять $(X,\Sigma ,\mu )$ — пространство с мерой Радона , Y — топологическое пространство со вторым счетом, оснащенное борелевской алгеброй , и пусть $f:X\rightarrow Y$ быть измеримой функцией. Данный $\varepsilon >0$ , для каждого $A\in \Sigma$ конечной меры существует замкнутое множество $E$ с $\mu (A\setminus E)<\varepsilon$ такой, что $f$ ограничено $E$ является непрерывным. Если $A$ локально компактен и $Y=\mathbb {R} ^{d}$ , мы можем выбрать $E$ быть компактным и даже найти непрерывную функцию $f_{\varepsilon }:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ с компактной опорой, совпадающей с $f$ на $E$ и такое, что

\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|

.

Неформально измеримые функции в пространствах со счетной базой можно приближать непрерывными функциями на сколь угодно большой части их области определения.

На доказательстве

Доказательство теоремы Лусина можно найти во многих классических книгах. Интуитивно это следует ожидать как следствие теоремы Егорова и плотности гладких функций. Теорема Егорова утверждает, что поточечная сходимость почти равномерна, а равномерная сходимость сохраняет непрерывность.

Пример

Сила теоремы Лусина может быть неочевидна, что можно продемонстрировать на примере. Рассмотрим функцию Дирихле , то есть индикаторную функцию $1_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \{0,1\}$ на единичном интервале $[0,1]$ принимая значение единицы в рациональных числах и ноль в противном случае. Очевидно, что мера этой функции должна быть равна нулю, но как найти непрерывные области, если рациональные числа плотны в действительных числах? Требованиям теоремы Лусина можно удовлетворить с помощью следующей конструкции множества $E.$

Позволять $\{x_{n};n=1,2,\dots \}$ быть любым перечислением $\mathbb {Q}$ . Набор

G_{n}=(x_{n}-\varepsilon /2^{n},x_{n}+\varepsilon /2^{n})

и

E:=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }G_{n}

.

Тогда последовательность открытых множеств $G_{n}$ «выбить» всю логику, оставив после себя компактное, замкнутое множество $E$ который не содержит рациональных чисел и имеет меру более $1-2\varepsilon$ .

Ссылки

Источники

Н. Лусин. О свойствах измеримых функций, Comptes Rends de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912), 1688–1690.
Г. Фолланд. Реальный анализ: современные методы и их применение , 2-е изд. Глава 7
В. Зигмунт. Собственность Скорца-Драгони (на польском языке), UMCS, Люблин, 1990 г.
М.Б. Фельдман, «Доказательство теоремы Лусина», American Math. Ежемесячно, 88 (1981), 191-2.
Лоуренс К. Эванс, Рональд Ф. Гариепи, «Теория меры и тонкие свойства функций», CRC Press Taylor & Francisco Group, Учебники по математике, Теорема 1.14

Цитаты

^ «Критерий Лузина — Математическая энциклопедия» .

[1] «Критерий Лузина — Математическая энциклопедия» .

[ 1 ]