Асимптота

Чтобы узнать о других значениях, см. Асимптота (значения) .

«Асимптотика» перенаправляется сюда. Не путать с бессимптомным .

График функции с горизонтальной ( y = 0), вертикальной ( x = 0) и наклонной асимптотой (фиолетовая линия, заданная y = 2 x ).

Кривая, пересекающая асимптоту бесконечное число раз.

В аналитической геометрии асимптота — ( / ˈ æ s ɪ m p t oʊ t / ) кривой это такая линия, что расстояние между кривой и линией приближается к нулю, когда одна или обе x или y координаты стремятся к бесконечности. . В проективной геометрии и связанных с ней контекстах асимптота кривой — это линия, касающаяся кривой в бесконечной точке .

Слово асимптота происходит от греческого ἀσύμπτωτος ( asumptōtos ), что означает «не падать вместе», от ἀ priv. + σύν «вместе» + πτωτ-ός «упавшие». Термин был введен Аполлонием Пергским в его работе о конических сечениях , но в отличие от современного его значения он употреблял его для обозначения любой линии, не пересекающей заданную кривую.

Существует три вида асимптот: горизонтальная , вертикальная и наклонная . заданных графиком функции y Для кривых , = ƒ ( x ) , горизонтальные асимптоты представляют собой горизонтальные линии, к которым график функции приближается, когда x стремится к +∞ или −∞. Вертикальные асимптоты — это вертикальные линии, вблизи которых функция неограниченно растет. Наклонная асимптота имеет наклон, отличный от нуля, но конечный, так что график функции приближается к нему, когда x стремится к +∞ или −∞.

В более общем смысле, одна кривая является криволинейной асимптотой другой (в отличие от линейной асимптоты ), если расстояние между двумя кривыми стремится к нулю, поскольку они стремятся к бесконечности, хотя термин асимптота сам по себе обычно используется для линейных асимптот.

Асимптоты передают информацию о поведении кривых в большом диапазоне , и определение асимптот функции является важным шагом в построении ее графика. Изучение асимптот функций, понимаемых в широком смысле, составляет часть предмета асимптотического анализа .

Введение

$f(x)={\tfrac {1}{x}}$ построенный в декартовых координатах . Ось x — и y это асимптоты.

Идея о том, что кривая может сколь угодно близко приближаться к прямой, но на самом деле не становится такой же, может показаться противоречащей повседневному опыту. Представления линии и кривой в виде отметок на листе бумаги или пикселей на экране компьютера имеют положительную ширину. Так что, если бы их протянули достаточно далеко, они бы, казалось бы, слились воедино, по крайней мере, насколько мог различить глаз. Но это физические представления соответствующих математических объектов; линия и кривая — идеализированные понятия, ширина которых равна 0 (см. Линия ). Поэтому понимание идеи асимптоты требует усилий разума, а не опыта.

Рассмотрим график функции $f(x)={\frac {1}{x}}$ показано в этом разделе. Координаты точек на кривой имеют вид $\left(x,{\frac {1}{x}}\right)$ где x — число, отличное от 0. Например, график содержит точки (1, 1), (2, 0,5), (5, 0,2), (10, 0,1), ... Поскольку значения $x$ становятся все больше и больше, скажем, 100, 1000, 10000..., помещая их далеко справа от иллюстрации, соответствующие значения $y$, .01, .001, .0001, ... становятся бесконечно малыми относительно показанного масштаба. Но независимо от того, насколько велик $x$ становится, его взаимным ${\frac {1}{x}}$ никогда не равен 0, поэтому кривая фактически никогда не касается оси x . Аналогично, поскольку значения $x$ становятся все меньше и меньше, скажем, 0,01, 0,001, 0,0001, ..., делая их бесконечно малыми по отношению к показанному масштабу, соответствующие значения $y$, 100, 1000, 10000..., становятся все больше и больше. Таким образом, кривая тянется все дальше и дальше вверх по мере приближения к Y. оси Таким образом, оси x и y являются асимптотами кривой. Эти идеи лежат в основе понятия предела в математике, и эта связь более подробно объясняется ниже.

Асимптоты функций

Асимптоты, наиболее часто встречающиеся при изучении математического анализа, представляют собой кривые вида y = ƒ ( x ) . Их можно вычислить с использованием пределов и классифицировать на горизонтальные , вертикальные и наклонные асимптоты в зависимости от их ориентации. Горизонтальные асимптоты — это горизонтальные линии, к которым приближается график функции по мере того, как x стремится к +∞ или −∞. Как следует из названия, они параллельны X. оси Вертикальные асимптоты — это вертикальные линии (перпендикулярные оси x ), вблизи которых функция неограниченно растет. Наклонные асимптоты представляют собой диагональные линии, разница между кривой и прямой приближается к 0, когда x стремится к +∞ или −∞.

Вертикальные асимптоты

Линия x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = ƒ ( x ), если верно хотя бы одно из следующих утверждений:

1. $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,$
2. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,$

где $\lim _{x\to a^{-}}$ - это предел, когда x приближается к значению a слева (от меньших значений), и $\lim _{x\to a^{+}}$ является пределом, когда x приближается к a справа.

Например, если ƒ( x ) = x /( x –1), числитель приближается к 1, а знаменатель приближается к 0, когда x приближается к 1. Итак

$\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x}{x-1}}=-\infty$

и кривая имеет вертикальную асимптоту x = 1.

Функция ƒ ( x ) может быть определена или не определена в a , и ее точное значение в точке x = a не влияет на асимптоту. Например, для функции

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{if }}x>0,\\5&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

имеет предел +∞ при x → 0 ⁺ , ƒ ( x ) имеет вертикальную асимптоту x = 0 , хотя ƒ (0) = 5. График этой функции пересекает вертикальную асимптоту один раз, в точке (0, 5). Невозможно, чтобы график функции пересекал вертикальную асимптоту (или вообще вертикальную линию ) более чем в одной точке. Более того, если функция непрерывна в каждой точке, где она определена, невозможно, чтобы ее график пересекал какую-либо вертикальную асимптоту.

Типичным примером вертикальной асимптоты является случай рациональной функции в точке x, у которой знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю.

Если функция имеет вертикальную асимптоту, то не обязательно верно, что производная функции имеет вертикальную асимптоту в том же месте. Примером является

$f(x)={\tfrac {1}{x}}+\sin({\tfrac {1}{x}})\quad$ в $\quad x=0$.

Эта функция имеет вертикальную асимптоту при $x=0,$ потому что

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,$

и

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty$.

Производная от $f$ это функция

$f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}$.

Для последовательности точек

$x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad$ для $\quad n=0,1,2,\ldots$

который приближается $x=0$ как слева, так и справа значения $f'(x_{n})$ постоянно $0$. Поэтому оба односторонних предела $f'$ в $0$ не может быть ни того, ни другого $+\infty$ ни $-\infty$. Следовательно $f'(x)$ не имеет вертикальной асимптоты в точке $x=0$.

Горизонтальные асимптоты

Функция арктангенса имеет две разные асимптоты.

Горизонтальные асимптоты — это горизонтальные линии, к которым приближается график функции при x → ±∞ . Горизонтальная линия y = c является горизонтальной асимптотой функции y = ƒ ( x ), если

$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c$ или $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c$.

В первом случае ƒ ( x ) имеет y = c как асимптоту, когда x стремится к −∞ , а во втором ƒ ( x ) имеет y = c как асимптоту, когда x стремится к +∞ .

Например, функция арктангенса удовлетворяет

$\lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}$ и $\lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.$

Таким образом, линия y = – π /2 является горизонтальной асимптотой арктангенса, когда x стремится к –∞ , а y = π /2 является горизонтальной асимптотой арктангенса, когда x стремится к +∞ .

Функции могут не иметь горизонтальных асимптот с одной или обеих сторон или могут иметь одну горизонтальную асимптоту, одинаковую в обоих направлениях. Например, функция ƒ( x ) = 1/( x ² +1) имеет горизонтальную асимптоту при y = 0, когда x стремится как к −∞ , так и к +∞, поскольку, соответственно,

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.$

Другие распространенные функции, имеющие одну или две горизонтальные асимптоты, включают x ↦ 1/ x ( которого имеет гиперболу график ), функцию Гаусса . $x\mapsto \exp(-x^{2}),$ функция ошибок и логистическая функция .

Наклонные асимптоты

На графике $f(x)=x+{\tfrac {1}{x}}$, ось y ( x = 0) и линия y = x являются асимптотами.

Когда линейная асимптота не параллельна осям x или y , она называется наклонной асимптотой или наклонной асимптотой . Функция ƒ ( x ) асимптотична прямой y = mx + n ( m ≠ 0), если

$\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ or }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.$

В первом случае линия y = mx + n является наклонной асимптотой ƒ ( x ), когда x стремится к +∞, а во втором случае линия y = mx + n является наклонной асимптотой ƒ ( x ), когда x стремится к −∞.

Примером может служить ƒ ( x ) = x + 1/ x , который имеет наклонную асимптоту y = x (то есть m = 1, n = 0), как видно из пределов

$\lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]$

$=\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]$

$=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.$

Элементарные методы выявления асимптот

Асимптоты многих элементарных функций можно найти без явного использования пределов (хотя при выводе таких методов обычно используются пределы).

Общее вычисление наклонных асимптот функций

Наклонная асимптота для функции f ( x ) будет задана уравнением y = mx + n . Значение m вычисляется первым и определяется выражением

$m\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x$

где a либо $-\infty$ или $+\infty$ в зависимости от изучаемого случая. Рекомендуется рассматривать эти два случая отдельно. Если этот предел не существует, то в этом направлении не существует наклонной асимптоты.

Имея m , значение n можно вычислить по формуле

$n\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)$

где a должно быть тем же значением, которое использовалось ранее. Если этот предел не существует, то в этом направлении не существует наклонной асимптоты, даже если существует предел, определяющий m . В противном случае y = mx + n является наклонной асимптотой ƒ ( x ), когда x стремится к a .

Например, функция ƒ ( x ) = (2 x ² + 3 x + 1)/ x имеет

$m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2$ а потом

$n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3$

так что y = 2 x + 3 является асимптотой ƒ ( x ), когда x стремится к +∞.

Функция ƒ ( x ) = ln x имеет

$m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$ а потом

$n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x$, которого не существует.

Таким образом, y = ln x не имеет асимптоты, когда x стремится к +∞.

Асимптоты рациональных функций

Рациональная функция имеет не более одной горизонтальной асимптоты или наклонной (наклонной) асимптоты и, возможно, множества вертикальных асимптот.

Степень . числителя и степень знаменателя определяют, существуют ли горизонтальные или наклонные асимптоты Случаи сведены в таблицу ниже, где deg(числитель) — степень числителя, а deg(знаменатель) — степень знаменателя.

Случаи горизонтальных и наклонных асимптот рациональных функций

ты(числитель)-ты(знаменатель)	Асимптоты в целом	Пример	Асимптота, например
< 0	$y=0$	$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$	$y=0$
= 0	y = отношение старших коэффициентов	$f(x)={\frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}$	$y={\frac {2}{3}}$
= 1	y = частное евклидова деления числителя на знаменатель	$f(x)={\frac {2x^{2}+3x+5}{x}}=2x+3+{\frac {5}{x}}$	$y=2x+3$
> 1	никто	$f(x)={\frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}$	линейной асимптоты нет, но криволинейная асимптота существует

Вертикальные асимптоты возникают только тогда, когда знаменатель равен нулю (если и числитель, и знаменатель равны нулю, кратности нуля сравниваются). Например, следующая функция имеет вертикальные асимптоты в точках x = 0 и x = 1, но не в точке x = 2.

$f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}$

Наклонные асимптоты рациональных функций

Черный: график $f(x)=(x^{2}+x+1)/(x+1)$. Красный: асимптота $y=x$. Зеленый: разница между графиком и его асимптотой для $x=1,2,3,4,5,6$

Когда числитель рациональной функции имеет степень ровно на единицу большую, чем знаменатель, функция имеет наклонную (наклонную) асимптоту. Асимптота — это полиномиальный член после деления числителя и знаменателя. Это явление происходит потому, что при делении дроби будет линейный член и остаток. Например, рассмотрим функцию

$f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}$

показано справа. значения x По мере увеличения f приближается к асимптоте y = x . Это потому, что другой член, 1/( x +1), приближается к 0.

Если степень числителя более чем на 1 превышает степень знаменателя, и знаменатель не делит числитель, то останется ненулевой остаток, который стремится к нулю при увеличении x , но частное не будет линейным, и функция не имеет наклонной асимптоты.

Преобразования известных функций

Если известная функция имеет асимптоту (например, y = 0 для f (x) = e ^х ), то его переводы также имеют асимптоту.

• Если x = a является вертикальной асимптотой f ( x ), то x = a + h является вертикальной асимптотой f ( x - h )
• Если y = c — горизонтальная асимптота f ( x ), то y = c + k — горизонтальная асимптота f ( x ) + k

Если известная функция имеет асимптоту, то и масштабирующая функция также имеет асимптоту.

• Если y = ax + b является асимптотой f ( x ), то y = cax + cb является асимптотой cf ( x )

Например, f ( x ) = e ^{х -1} +2 имеет горизонтальную асимптоту y =0+2=2 и не имеет вертикальных или наклонных асимптот.

Общее определение

(сек(t), cosec(t)), или x ² + и ² = (ху) ² , с 2 горизонтальными и 2 вертикальными асимптотами.

Пусть A : ( a , b ) → R ² — параметрическая плоская кривая в координатах A ( t ) = ( x ( t ), y ( t )). Предположим, что кривая стремится к бесконечности, то есть:

$\lim _{t\rightarrow b}(x^{2}(t)+y^{2}(t))=\infty .$

Линия ℓ является асимптотой A , если расстояние от точки A ( t ) до ℓ стремится к нулю при t → b . По определению, асимптоту могут иметь только открытые кривые, имеющие некоторую бесконечную ветвь. Ни одна замкнутая кривая не может иметь асимптоту.

Например, верхняя правая ветвь кривой y = 1/ x может быть определена параметрически как x = t , y = 1/ t (где t > 0). Во-первых, x → ∞ при t → ∞, а расстояние от кривой до оси x равно 1/ t , которое приближается к 0 при t → ∞. Следовательно, ось x является асимптотой кривой. Кроме того, y → ∞ при t → 0 справа, а расстояние между кривой и осью y равно t , которое приближается к 0 при t → 0. Таким образом, ось y также является асимптотой. Аналогичный аргумент показывает, что нижняя левая ветвь кривой также имеет те же две линии, что и асимптоты.

Хотя в данном определении используется параметризация кривой, понятие асимптоты не зависит от параметризации. Действительно, если уравнение прямой $ax+by+c=0$ тогда расстояние от точки A ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) до прямой определяется выражением

${\frac {|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

если γ( t ) является изменением параметризации, то расстояние становится

${\frac {|ax(\gamma (t))+by(\gamma (t))+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

которое стремится к нулю одновременно с предыдущим выражением.

Важный случай — когда кривая представляет собой график ( реальной функции функции одной действительной переменной и возвращающей действительные значения). График функции y = ƒ ( x ) представляет собой множество точек плоскости с координатами ( x , ƒ ( x )). Для этого используется параметризация

$t\mapsto (t,f(t)).$

Эту параметризацию следует рассматривать на открытых интервалах ( a , b ), где a может быть −∞, а b может быть +∞.

Асимптота может быть как вертикальной, так и невертикальной (наклонной или горизонтальной). В первом случае его уравнением является x = c для некоторого действительного числа c . Невертикальный случай имеет уравнение y = mx + n , где m и $n$ являются действительными числами. В конкретных примерах могут присутствовать все три типа асимптот одновременно. В отличие от асимптот для кривых, которые являются графиками функций, общая кривая может иметь более двух невертикальных асимптот и может пересекать свои вертикальные асимптоты более одного раза.

Криволинейные асимптоты

х ² +2 x +3 является параболической асимптотой ( x ³ +2 х ² +3 х +4)/ х

Пусть A : ( a , b ) → R ² — параметрическая плоская кривая в координатах A ( t ) = ( x ( t ), y ( t )), а B — другая (непараметризованная) кривая. Предположим, как и раньше, что кривая А стремится к бесконечности. Кривая B является криволинейной асимптотой A , если кратчайшее расстояние от точки A ( t ) до точки на B стремится к нулю при t → b . Иногда B называют просто асимптотой A , когда нет риска путаницы с линейными асимптотами.

Например, функция

$y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}$

имеет криволинейную асимптоту y = x ² + 2 x + 3 , которая известна как параболическая асимптота , поскольку представляет собой параболу, а не прямую линию.

Асимптоты и зарисовки кривых

Асимптоты используются в процедурах построения кривых . Асимптота служит ориентиром, показывающим поведение кривой по направлению к бесконечности. Чтобы получить лучшее приближение кривой, также использовались криволинейные асимптоты. хотя термин «асимптотическая кривая» кажется предпочтительным.

Алгебраические кривые

Кубическая кривая , лист Декарта (сплошная линия) с единственной вещественной асимптотой (пунктирная линия).

Асимптотами алгебраической кривой в аффинной плоскости являются линии, которые касаются проективизированной кривой через точку, находящуюся на бесконечности . Например, можно определить асимптоты единичной гиперболы таким образом . Асимптоты часто рассматривают только для вещественных кривых, хотя они также имеют смысл, когда определены таким образом для кривых над произвольным полем .

Плоская кривая степени n пересекает свою асимптоту не более чем в n -2 других точках по теореме Безу , поскольку пересечение на бесконечности имеет кратность не менее двух. Для коники есть пара прямых, которые не пересекают конику ни в одной комплексной точке: это две асимптоты коники.

Плоская алгебраическая кривая определяется уравнением вида P ( x , y ) = 0, где P — многочлен степени n.

$P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}$

где Pk _​ однороден ​ степени k . Исчезновение линейных множителей члена высшей степени P _n определяет асимптоты кривой: полагая Q = P _n , если P _n ( x , y ) = ( ax − by ) Q _{n −1} ( x , y ) , то линия

$Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0$

является асимптотой, если $Q'_{x}(b,a)$ и $Q'_{y}(b,a)$ оба не равны нулю. Если $Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0$ и $P_{n-1}(b,a)\neq 0$, асимптоты нет, но кривая имеет ветвь, похожую на ветвь параболы. Такая ветвь называется параболическая ветвь , даже если она не имеет ни одной параболы, являющейся криволинейной асимптотой. Если $Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,$ кривая имеет особую точку на бесконечности, которая может иметь несколько асимптот или параболических ветвей.

По комплексным числам P _n разбивается на линейные множители, каждый из которых определяет асимптоту (или несколько для нескольких множителей). В действительных числах P _n разбивается на факторы, которые являются линейными или квадратичными факторами. Только линейные факторы соответствуют бесконечным (действительным) ветвям кривой, но если линейный фактор имеет кратность больше единицы, кривая может иметь несколько асимптот или параболических ветвей. Может также случиться так, что такой кратный линейный фактор соответствует двум комплексно-сопряженным ветвям и не соответствует ни одной бесконечной ветви действительной кривой. Например, кривая x ⁴ + и ² - 1 = 0 не имеет действительных точек вне квадрата $|x|\leq 1,|y|\leq 1$, но его член высшего порядка дает линейный коэффициент x с кратностью 4, что приводит к уникальной асимптоте x =0.

конус

Гиперболы, полученные разрезанием одного и того же прямого кругового конуса плоскостью и их асимптоты.

Гипербола ​

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

имеет две асимптоты

$y=\pm {\frac {b}{a}}x.$

Уравнение объединения этих двух линий имеет вид

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.$

Аналогично, гиперболоид

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

говорят, что он имеет асимптотический конус

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.$

Расстояние между гиперболоидом и конусом приближается к 0, поскольку расстояние от начала координат приближается к бесконечности.

В более общем смысле, рассмотрим поверхность, которая имеет неявное уравнение $P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,$где $P_{i}$ являются однородными полиномами степени $i$ и $P_{d-1}=0$. Тогда уравнение $P_{d}(x,y,z)=0$ определяет конус с центром в начале координат. Он называется асимптотическим конусом , потому что расстояние до конуса точки поверхности стремится к нулю, когда точка на поверхности стремится к бесконечности.

См. также

• Обозначение большого О

Ссылки

Общие ссылки

• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Асимптота» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Конкретные ссылки

Внешние ссылки

• Асимптота в PlanetMath .
• Гиперболоид и асимптотический конус, модель поверхности струны, 1872 г. Архивировано 15 февраля 2012 г. в Wayback Machine из Музея науки.