Финитизм

Финитизм — философия математики , признающая существование только конечных математических объектов . Лучше всего это понять в сравнении с господствующей философией математики, где бесконечные математические объекты (например, бесконечные множества ) считаются законными.

Основная идея

Основная идея финитистской математики заключается в неприятии существования бесконечных объектов, таких как бесконечные множества. Хотя все натуральные числа принимаются как существующие, набор всех натуральных чисел не считается существующим как математический объект. Поэтому количественная оценка в бесконечных областях не считается значимой. Математической теорией, часто ассоциируемой с финитизмом, является Торальфа Скулема примитивная рекурсивная арифметика .

История

Введение бесконечных математических объектов произошло несколько столетий назад, когда использование бесконечных объектов уже было спорной темой среди математиков. Проблема вступила в новую фазу, когда Георг Кантор в 1874 году представил то, что сейчас называется наивной теорией множеств , и использовал ее в качестве основы для своей работы по трансфинитным числам . такие парадоксы, как парадокс Рассела , парадокс Берри и парадокс Бурали-Форти Когда в наивной теории множеств Кантора были обнаружены , этот вопрос стал горячей темой среди математиков.

Математики занимали различные позиции. Все согласились с конечными математическими объектами, такими как натуральные числа. Однако были разногласия относительно бесконечных математических объектов. Одной из позиций была интуиционистская математика , которую отстаивал Л. Дж. Брауэр , которая отвергала существование бесконечных объектов до тех пор, пока они не будут построены.

Другая позиция была поддержана Дэвидом Гильбертом : конечные математические объекты являются конкретными объектами, бесконечные математические объекты являются идеальными объектами, и принятие идеальных математических объектов не вызывает проблем, касающихся конечных математических объектов. Говоря более формально, Гильберт считал, что можно показать, что любая теорема о конечных математических объектах, которую можно получить с использованием идеальных бесконечных объектов, можно получить и без них. Следовательно, разрешение бесконечных математических объектов не вызовет проблем с конечными объектами. Это привело к созданию программы Гильберта по доказательству непротиворечивости и полноты теории множеств с использованием финитистских средств, поскольку это означало бы, что добавление идеальных математических объектов консервативно по сравнению с финитистской частью. Взгляды Гильберта также связаны с формалистической философией математики . Цель Гильберта доказать непротиворечивость и полноту теории множеств или даже арифметики финитистскими средствами оказалась невыполнимой задачей из-за Курта Гёделя о Теоремы неполноте . Однако Харви Фридмана подразумевает великая гипотеза , что большинство математических результатов доказуемы с использованием финитистских средств.

Гильберт не дал строгого объяснения того, что он считал финитистским и называл элементарным. Однако на основании его работы с Полом Бернейсом некоторые эксперты, такие как Тейт (1981), утверждали, что примитивно-рекурсивная арифметика может считаться верхней границей того, что Гильберт считал финитистской математикой.

В результате теорем Гёделя, когда стало ясно, что нет никакой надежды доказать как непротиворечивость, так и полноту математики, а также с развитием, казалось бы, непротиворечивых аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств Цермело-Френкеля , большинство современных математиков не сосредотачивают внимание на по этой теме.

Классический финитизм против строгого финитизма

В своей книге «Философия теории множеств » Мэри Тайлс охарактеризовала тех, кто допускает потенциально бесконечные объекты, как классических финитистов , а тех, кто не допускает потенциально бесконечные объекты, как строгих финитистов : например, классический финитист допускает такие утверждения, как «каждое натуральное число имеет преемника » и принял бы значимость бесконечных рядов в смысле пределов конечных частичных сумм, тогда как строгий финитист этого не сделал бы. Таким образом, исторически письменная история математики была классически финитистской, пока Кантор не создал иерархию трансфинитных кардиналов в конце XIX века.

Взгляды на бесконечные математические объекты

Леопольд Кронекер оставался ярым противником теории множеств Кантора:

Добрый Господь создал целые числа, все остальное — дело рук человека. Бог создал целые числа; все остальное – дело рук человека.

- Лекция 1886 года на Берлинском собрании естествоиспытателей.

Рубен Гудштейн был еще одним сторонником финитизма. Некоторые из его работ включали в себя построение анализа на основе финитистских основ.

Хотя он это отрицал, большая часть работ Людвига Витгенштейна по математике имеет сильное сходство с финитизмом.

Если финитистов противопоставить трансфинитистам (сторонникам, например, Георга Кантора иерархии бесконечностей ), то и Аристотеля можно охарактеризовать как финитиста. Аристотель особенно пропагандировал потенциальную бесконечность как средний вариант между строгим финитизмом и актуальной бесконечностью (последняя представляет собой актуализацию чего-то бесконечного в природе, в отличие от кантористской актуальной бесконечности, состоящей из трансфинитных кардинальных и порядковых чисел, которым нечего связывать). делать с вещами в природе):

Но, с другой стороны, предположение, что бесконечного вообще не существует, очевидно, приводит ко многим невозможным последствиям: будет начало и конец времени, величина не будет делиться на величины, число не будет бесконечным. Если же, ввиду вышеизложенных соображений, ни одна из альтернатив не представляется возможной, необходимо вызвать арбитра.

- Аристотель, Физика, Книга 3, Глава 6.

Другие родственные философии математики

Ультрафинитизм (также известный как ультраинтуиционизм ) имеет даже более консервативное отношение к математическим объектам, чем финитизм, и возражает против существования конечных математических объектов, когда они слишком велики.

К концу 20-го века Джон Пенн Мэйберри разработал систему финитной математики, которую он назвал «евклидовой арифметикой». Самым ярким принципом его системы является полный и строгий отказ от особого основополагающего статуса, обычно придаваемого итеративным процессам, включая, в частности, построение натуральных чисел с помощью итерации «+1». Следовательно, Мэйберри находится в резком несогласии с теми, кто пытается приравнять финитную математику к арифметике Пеано или любому из ее фрагментов, таким как примитивно-рекурсивная арифметика .

См. также

• Временной финитизм
• Трансвычислительная проблема
• Рациональная тригонометрия

Дальнейшее чтение

• Фэн Е (2011)
• У меня есть больница (2019)

Ссылки

• Эрикссон, К.; Эстеп, Д.; Джонсон, К., ред. (2004). «17 Ссорятся ли математики? §17.7 Кантор против Кронекера». Производные и геометрия в IR3 . Прикладная математика: тело и душа. Том. 1. Спрингер. ISBN  9783540008903 .

• Фэн Е (2011). Строгий финитизм и логика математических приложений . Спрингер. ISBN  978-94-007-1347-5 .

• Родыч, Виктор (2018) [2007]. «Философия математики Витгенштейна» . Эдвард Н., Залта (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 1 октября 2023 г.

• Ширн, Матиас (январь 2005 г.). «Финитизм = ПРА? По диссертации В.В. Тейта» . Доклады по математической логике . Исследовательские ворота . Проверено 2 октября 2023 г.

• Тейт, Уильям В. (1981). «Финитизм». Журнал философии . 78 (9): 524–546. дои : 10.2307/2026089 . JSTOR   2026089 .

• Ван Бендегем, Жан Поль (2019) [2002]. «Финитизм в геометрии» . Эдвард Н., Залта (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 1 октября 2023 г.

• Вебер, Генрих Мартин (1893). Леопольд Кронекер . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков. Том 2, 1891–92.