Джон Пенн Мэйберри

Джон Пенн Мэйберри (18 ноября 1939 — 19 августа 2016) — американский философ-математик и создатель своеобразной аристотелевской философии математики , которую он выразил в своей книге «Основы математики в теории множеств» . После получения докторской степени. в Иллинойсе под руководством Гаиси Такеути он занял в 1966 году должность на математическом факультете Бристольского университета . Он оставался там до выхода на пенсию в 2004 году в качестве преподавателя математики.

Философская работа

Философия Мэйберри отвергает платоническую традицию, которая считает математику трансцендентальной наукой, занимающейся открытием истин о нематериальных, но понятных, объективных сущностях, как это метафизически тщеславно. Эта позиция отличает его от того, что, вероятно, является точкой зрения «молчаливого большинства» среди практикующих математиков. Роджер Пенроуз красноречиво выражает типичную платоновскую позицию.

«Натуральные числа существовали до того, как на Земле появились люди или вообще какие-либо другие существа, и они останутся после того, как вся жизнь исчезнет. Всегда было так, что каждое натуральное число представляет собой сумму четырех квадратов , и не нужно было ждать, пока Лагранж воображает этот факт».

С другой стороны, Мэйберри также категорически отвергает любое понимание математики, запятнанное, как он думал, операционализмом. Он пишет:

«Я принимаю под операционализмом в математике учение, согласно которому основы математики открываются в деятельности (реальной или идеализированной) математиков, когда они считают, вычисляют, записывают доказательства, изобретают символы, рисуют диаграммы и т. д. …… Рассмотрения человеческой деятельности и способностей, реальных или идеализированных, не имеют места в основах математики, и мы должны приложить все усилия, чтобы исключить их из элементов, принципов и методов, на которых мы намереваемся основывать нашу математику».

Самая типичная и наиболее широко распространенная из таких операционалистских доктрин заключается в том, что натуральные числа можно строить, начиная с 1, добавляя 1, чтобы получить 2, снова добавляя 1, чтобы получить 3, и так до бесконечности. Это выражается обозначением N = 1, 2, 3……. где точки обозначают неопределенное повторение «добавления 1». Принимая эти многоточия, человек признает понятность неопределенной итерации. Мейберри не считает, что определение этого типа является достаточно ясным и достаточно свободным от наивных и, возможно, ошибочных представлений о природе времени, чтобы оправдать его включение в математику без дальнейшего обоснования. Он пишет:

«Когда система натуральных чисел принимается за первичные данные, нечто просто «данное», естественно рассматривать принципы доказательства посредством математической индукции и определения посредством рекурсии по этой системе также как «данные». ….. Натуральные числа, таким образом, рассматриваются как то, к чему мы приходим в процессе счета: 1,2 ….. где точки многоточия «…..» кажутся самоочевидными – в конце концов, мы знаем как продолжать счет, как бы далеко мы его ни завели. Но в этих многоточиях заключена вся тайна понятия натурального числа! .... Операции отсчета или вычисления также не следует принимать в качестве первичных данных: их необходимо анализировать с точки зрения более фундаментальных понятий. Таким образом, мы вынуждены отвергнуть операционализм, который разделяют все антиканторианские школы.

Для нас, современных людей, числа берут свое начало в том, что мы можем с ними делать, а именно считать и вычислять; но греческие «числа» (arithmoi) были сами по себе объектами с простой и понятной природой. Наши натуральные числа — это вещи, которые мы можем (в принципе) построить (считая их): греческие числа просто были, так сказать, «там». .......

Я убежден, что эта операционалистская концепция натурального числа является центральным заблуждением, лежащим в основе всех наших представлений об основаниях математики. Это касается не только еретиков, но и ортодоксального канторианского большинства».

Взгляды на Евклида

Его позиция ставит его в противоречие не только с педагогической практикой последних нескольких столетий, но и с традицией, восходящей к античности. В определении 4 книги V «Начал » Евклид определяет две величины одного и того же типа, А и В, как «имеющие отношение друг к другу» следующим образом:

«Говорят, что величины имеют отношения друг к другу, которые при умножении способны превосходить друг друга»

Другими словами, если повторное добавление одного из них, скажем, A, к самому себе приводит к величине, превышающей другую, скажем, B, т.е. для некоторого натурального числа A > n n B. И наоборот, A и B не имеют отношения друг к другу, если бесконечно повторяющееся прибавление одного из них к самому себе никогда не дает величины, превышающей другую. В книге V Евклид развивает общую теорию отношений, а в книге VI демонстрирует способность концепции отношения как значительно упростить выводы, приведенные в книгах I–IV, так и расширить сферу применения некоторых теорем книг I–IV. Особенно примечательными примерами являются Предложение 35 Книги III, где сразу же доступно гораздо более простое доказательство с использованием подобных треугольников, и Предложение 31 Книги VI, где он распространяет теорему Пифагора с квадратов на подобные фигуры.

В книге VII Евклид вводит в качестве еще одного типа величины наряду с геометрическими величинами линии, угла и фигуры понятие «арифмос». Это следует понимать как «множество единиц», где единица — это «то, посредством чего мы называем что-то единым». Таким образом, с некоторыми оговорками относительно статуса одиночных элементов и пустого множества, греческое понятие «арифмос» по сути является современным понятием «множество». Мейберри отмечает, что его поразило силой откровения, что значение общего понятия Евклида 5 — «целое больше, чем часть» — применительно к арифмам заключается в том, что арифмос не может быть конгруэнтен, когда это слово понимается следующим образом. Хит как «можно разместить с точной посадкой», к любой собственной части самого себя, или, другими словами, что множество конечно в современном смысле, поскольку не существует 1-1 соответствия между набором и собственным подмножеством самого себя. Тот факт, что греческая арифметика, и в частности книги VII-IX Евклида, на самом деле является изучением конечных множеств, был затемнен повсеместным переводом слова «арифмос» как «число» и преобразованием понятия числа из его первоначального «арифмоса». » означает «соотношение», которое произошло в 17 веке. Преобразование смысла было ясно выражено Ньютоном в его «Лекциях».

«Под числом я разумею не столько множество единиц, сколько абстрактное Отношение какой-либо Количества к другой Количества того же рода, которое мы принимаем за Единицу»

Дедекинд

Убежденность Мэйберри относительно истинной исторической последовательности событий в развитии ключевых математических концепций занимает центральное место в его философской ориентации. К этому его привело чтение книги Якоба Кляйна «Греческая математическая мысль и происхождение алгебры». и мемуары Ричарда Дедекинда «Что такое и что должны делать числа».

С середины 17 по 19 века натуральные числа и понятие неограниченного повторения, на котором они основаны, приобрели основополагающий статус в математике как с прагматической, так и с философской точки зрения. С философской точки зрения Кант классифицировал арифметические предложения как синтетическое априорное знание и, параллельно с аналогичным анализом геометрических теорем, который он связывал с нашей интуицией пространства, объяснял их неотразимую природу нашей интуицией времени. Общая позиция Канта в отношении арифметики получила поддержку крупнейших математиков-практиков XIX века. Даже Гаусс, хотя и не соглашался с позицией Канта о статусе геометрии, поддержал его позицию по арифметике.

«Я все больше прихожу к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере, человеческим пониманием для человеческого понимания. Возможно, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу космоса, которые доступны нам в настоящее время. До тех пор надо ставить Геометрию не в один ранг с Арифметикой, которая стоит априори, а в один ранг, скажем, с Механикой».

Почти столетие спустя Пуанкаре пишет:

«В этой области арифметики мы можем считать себя очень далекими от анализа бесконечно малых, но идея математической бесконечности уже играет преобладающую роль, и без нее не было бы никакой науки вообще, потому что не было бы ничего общего. …… Поэтому мы не можем избежать вывода о том, что правило рассуждения путем повторения несводимо к принципу противоречия. … Это правило, недоступное аналитическому доказательству и эксперименту, представляет собой точный тип априорной синтетической интуиции».

Из значительных фигур XIX века только Дедекинд, по-видимому, выступал против кантианского консенсуса. В книге «Was sind und was sollen die Zahlen» он хладнокровно пишет:

«Говоря об арифметике (алгебре, анализе) как части логики, я имею в виду, что считаю понятие числа совершенно независимым от понятий или интуиций пространства и времени».

Дедекинд , которым Мейберри очень восхищался, показал, что натуральные числа могут быть установлены без какой-либо зависимости от кантовской интуиции времени или от бесконечно повторяющихся операций. Однако он сделал это на основе явного принятия аксиомы бесконечности Кантора, которую, как указывает Мэйберри, лучше всего понимать как просто противоречие общему понятию 5 Евклида применительно к арифмиям. Однако работа Дедекинда не привела к тому, что мнение о том, что натуральные числа и итеративные процессы имеют особый основополагающий статус, потеряло доверие среди большинства математиков. Интуиционистское движение , разделяя с Мэйберри отказ от платонистского понимания значения математики, прибегло к операционалистскому пониманию предмета, загоняя принятие бесконечно длительных итерационных процессов в самую суть своего мышления. Формалистское движение, следуя программе Гильберта по сохранению математических плодов аксиомы бесконечности Кантора посредством доказательств финитной непротиворечивости, а также в самих определениях формальных систем и установлении их свойств, придавало особый статус неопределенной итерации и связанным с ней определениям посредством рекурсии. и доказательства по индукции.

Позиция Мэйберри заключается в том, что все это, прямо из книги V Евклида, представляет собой отклонение от истинного духа математики, продемонстрированного в книгах I-IV Евклида. Основная цель его книги — объяснить свою позицию и показать, что она не разрушает существенное содержание или современную практику математики, но, в его рекомендации, более ясного аристотелевского понимания того, что такое математика, и стандартов строгости. что соответствует его более требовательному пониманию смысла, он следует традиции, начатой ​​Кантором, по восстановлению смысла математики после трех столетий формализма. Однако, по мнению Мейберри, современная платонически вдохновленная доктрина, утверждающая, что, скажем, надлежащие классы объективно существуют, является таким же отклонением от здравого смысла и вероятной правдивости, как, скажем, формалистически вдохновленная доктрина начала XIX века, « Принцип эквивалентности классов » Пикока. Постоянные формы ».

Положительные философские взгляды Мэйберри проистекают из его решительной приверженности небольшому количеству философских доктрин, вдохновленных частично Аристотелем, а частично размышлениями над почти двумя с половиной тысячелетиями математического опыта, особенно опыта XIX века.

Аристотелевский реализм

Он - аристотелевский реалист, в основном согласный с мнением Аристотеля о том, что математика, и в частности изучение арифмов, - это естественная наука, занимающая свое место рядом с другими специальными научными предметами, такими как энтомология или орнитология, и имеющая дело с объективно существующими потусторонними вещами. Аристотель пишет:

«Универсальные утверждения в математике не касаются разделимых сущностей, находящихся за пределами величин и арифмов. Они касаются именно этих вещей, но не как таких вещей, которые имеют величину или делятся».

(Аристотель имеет в виду, что в геометрии отдельные размеры конкретных объектов рассматриваются как случайные и не имеющие значения для геометра, а в арифметике аналогичным образом игнорируется тот факт, что конкретные единицы — люди, камешки и т. д. — на самом деле могут быть делимыми. .)

и еще где-то:

«Каждая наука занимается своей собственной областью, так что наука о здоровом — это то, что изучает что-то как здоровое, а наука о человеке — это то, что изучает что-то как человек. И то же самое касается геометрии. Науки математики не собираются брать в качестве своей области воспринимаемые сущности только потому, что вещи, о которых они говорят, имеют случайную особенность быть воспринимаемыми (хотя, конечно, они не изучаются как воспринимаемые). Но, с другой стороны, они не возьмут в качестве своей области и другие сущности, отличные от воспринимаемых».

Наука, которой занимается Мейберри, — это арифметика, понимаемая как в очищенной версии того значения, которое Евклид дает этому слову в книгах VII–IX, так и, как он утверждает, в том смысле, который придал этому слову Кантор. Первой из основных позиций Мэйберри является согласие с Аристотелем в том, что арифметик изучает вещи и определенные множества вещей как единицы и арифмы, по сути, аналогичным изучению вещей и определенных множеств вещей энтомологом как насекомых и колоний насекомых. Он принимает лапидарное определение «единицы», данное Евклидом, возражая только против перевода Хита «εκαστον των οντων» как «каждая из вещей, которые существуют», как философски перегруженных. Что касается определения «арифмоса», Мэйберри решительно поставил бы перед словом «множество» в определении Евклида — «Арифмос есть множество, составленное из единиц» — со словом «определенный». Под этим он имеет в виду, что арифмы имеют определенное объективное существование, границы или пределы – не в том смысле, что арифмы ограничены в размере или поддаются какой-либо операционной процедуре, такой как счет, или включают в себя именно те вещи, для которых выполняется какое-то лингвистически сформулированное условие, но только в том смысле, что для любой отдельной вещи верно то, что она либо находится в арифмосе, либо нет в нем. В частности, соответствие общему понятию 5 (целое больше, чем часть) не подразумевается в самом понятии «арифмос», а просто суждение о том, что все арифмы обладают, как это бывает, этим свойством. Для множественностей, определяемых соответствием некоторому условию или соответствию некоторому нарицательному существительному – например, «арифмои с более чем тремя единицами» или «лошади» – Мэйберри использует аристотелевское слово «вид». Вид существует только потому, что мы можем его представить: это не объективная вещь в мире, а мысль в нашей голове, а вещи, попадающие в вид, могут совпадать, а могут и не совпадать с арифмом. Подобные замечания применимы и к другим концепциям, таким как «свойство» — например, к концепции бытия и порядковой или «глобальной функции», например, к операторам Power Set и Union. Мэйберри пишет:

«Существенное различие между множествами и видами состоит в том, что множества существуют, а виды — нет. Под этим я имею в виду, что виды не являются объектами: это фикции или виртуальные объекты».

«Но важно помнить, что в конечном счете — и все разговоры о глобальных функциях различного рода, несмотря на обратное, — не существует таких вещей, как глобальные функции : и когда мы говорим о таких функциях, мы, в конечном счете, говорим о наших собственные обозначения для обращения к множествам».

Арифмос

Вторая из основных философских доктрин Мэйберри заключается в том, что вещи и арифмозы вещей объективно существуют и являются частью ткани внешней реальности. Онтологические полномочия арифма в точности совпадают с его составляющими единицами. Однако задача математика не состоит в том, чтобы исследовать или размышлять о том, достаточно ли четко индивидуализированы вещи, относящиеся к определенному виду (например, облака в небе, оттенки красного, эмоциональные состояния человека, люди XXII века), чтобы составлять единицы возможных арифмои или границы множественности вещей — например, следует ли нам считать кентавров и русалок принадлежащими к виду «человеческий род»? точно ли определено, когда кончаются оттенки красного и начинаются оттенки пурпурного? — они достаточно четко очерчены, чтобы составить арифмос. Работа арифметика может начаться с простого предположения, что существуют объективные, ясно индивидуализированные вещи, которые он может принять за единицы, и определенные множества таких вещей, которые он может принять за арифметики. Мэйберри пишет:

«В концепции Аристотеля о математическом числе мы имеем лучшее из когда-либо изобретенных средств для объяснения фактов теоретической арифметики. В арифметических рассуждениях математик рассматривает вещи наиболее абстрактным и общим способом, который только можно себе представить, а именно лишь постольку, поскольку они подчиняются законам тождества и различия. То, что есть вещи, подчиняющиеся таким законам, он просто считает само собой разумеющимся».

и чуть позже:

«Однако числа в первоначальном смысле — arithmoi — множества, состоящие из единиц, — эти вещи не похожи на «натуральные числа», просто выдумки ума, а, напротив, являются подлинными обитателями мира, независимыми от людей и их умственная деятельность; это вещи, которые мы обязаны признать, если хотим придать хоть какой-то смысл нашему математическому опыту».

Третья из основных философских доктрин Мэйберри заключается в том, что определения, определяемые свойства и аргументы, построенные с использованием кванторов «Для всех» и «Существуют», являются понятными как констатация объективного факта только в том случае, если объем каждого квантора ограничен определенная арифмия. Так, например, если мы имеем дело с девочками как единицами и знаем, как сравнить двух девочек по признаку «умный», мы можем разумно сказать: «Джоан — самая умная девочка в своем классе», но не «Джоан — самая умная девочка в своем классе». самая умная девочка», поскольку последнее утверждение претендует на количественную оценку всех вещей, относящихся к виду «девушка». Эта позиция дает ему дополнительную причину отвергнуть основополагающие претензии двух классических аксиоматических систем первого порядка — арифметики Пеано и теории множеств Цермело-Френкеля. Он не только возражает против операционализма, присущего самому построению таких формальных систем, но теперь он также отвергает разумность свободного использования неограниченных кванторов при формировании предикатов в схемах аксиом Индукции и Замены.

Четвертая основная доктрина Мэйберри связана с его третьей. Он утверждает, что, имея дело с единицами и арифмами, то есть с вещами, мы можем без проблем использовать классическую логику, тогда как в работе с мыслями – такими как виды, глобальные функции, общие свойства конструкций и т. д. – соответствующая логика является интуиционистской. В частности, если мы знаем, что предположение «Все члены арифма а обладают свойством P» подразумевает абсурдность, то мы можем законно заключить, что «существует некоторый член а, х, для которого P(x) не выполняется». Однако, если мы делаем утверждение, используя квантор вида, например, «существует какая-то вещь, обладающая P» или «P принадлежит всем вещам», мы больше не сообщаем об объективном факте, который должен иметь место или не иметь место. Утверждающего такое утверждение следует понимать как утверждающего, что он имеет в виду его обоснование – т.е. в случае квантора всеобщности – основания полагать, что данная любая мыслимая вещь P имеет к нему отношение, или в случае экзистенциального квантора, он знает экземпляр вида, для которого справедливо P. Поскольку утверждения, включающие неограниченные кванторы, должны пониматься субъективно, ясно, что принцип исключенного среднего в этом случае просто недействителен. Например, если значение фразы «Для всех вещей имеет место Р» таково: «Я имею в виду общую конструкцию, позволяющую создать для каждой вещи аргумент, который имеет место в отношении этой вещи», а значение фразы «существует вещь, для которой Р не имеет места». Hold» — это «Я имею в виду конструкцию, позволяющую создать вещь, для которой P не выполняется». тогда я не могу с необходимостью утверждать, что дизъюнкция истинна, поскольку я могу, например, вообще не иметь в виду никаких конструкций. По этому вопросу Мэйберри пишет:

«Каковы логические принципы, которые должны управлять глобальной количественной оценкой? Это сложный вопрос, и я не уверен, что смогу ответить на него полностью. Но я предлагаю принять частичный ответ, а именно принцип Брауэра:

(i) Традиционная (то есть то, что Брауэр называет «классической») логикой является логикой конечных областей. В частности, математические законы количественной оценки применяются только тогда, когда области количественной оценки конечны. [Здесь слово «конечный» используется в смысле Мейберри как «определенный» или «ограниченный» — определяющая характеристика арифмических чисел.]

(ii) Предложениям, которые требуют глобальной количественной оценки для своего выражения, не могут быть присвоены традиционные значения истинности, истинные или ложные. Их можно классифицировать только как оправданные и неоправданные.

.....

Тогда в соответствии с принципом Брауэра утверждение «Для всех объектов x в S(x)» не является конвенциональным («классическим») утверждением с определенным истинностным значением. Это не правда или ложь, а оправдание или неоправданность.

Сказать, что такое предложение оправдано, — значит сказать, что у нас есть основания утверждать, что любое предложение формы (t) истинно, где t — любое выражение, которое обозначает или могло бы обозначать объект. С другой стороны, сказать, что утверждение неоправданно, — значит просто сказать, что у нас нет таких оснований; и это не то же самое, что сказать, что у нас есть основания отрицать это».

Пятая основная доктрина Мэйберри заключается в том, что, в целом по аналогии с постулатами Евклида для геометрии, можно сформулировать постулаты для арифметики, делая хорошим дефект в элементах, которые, вопреки ожиданиям, созданным структурой «Общие понятия и постулаты геометрии», не содержат подобных постулатов. Мэйберри реализует эту программу в главе 4 своей книги. Его постулаты следуют в некоторой степени Евклиду по форме, но аксиоматическим представлениям о множествах, возникшим в XIX и начале XX веков, по содержанию. В целом постулаты Евклида о построении окружности по точке и прямой или построении единственной прямой по двум точкам являются постулатами, связанными с объединением, набором степеней и декартовым произведением, которые предполагают глобальные конструкции, производящие новые арифмы из одного. или более заданных. Однако несколько иными являются его постулаты о замене и понимании. Они не устанавливают отдельные конструкции, которые просто необходимо уловить, а, скорее, утверждают обо всех возможных конструкциях и всех мыслимых свойствах. В некотором смысле их можно понимать как подтверждение существования общих мостов от мыслей к вещам. Однако и то и другое, как и постулаты о конкретных конструкциях, можно понимать как «принципы конечности», утверждающие существование новых арифмов. Таким образом, «исправленный» Евклид Мэйберри подкрепил бы родственные дисциплины — геометрию и арифметику — общими понятиями, применимыми к обеим, дополненными двумя наборами постулатов, по одному для каждой дисциплины. Действительно, поскольку геометрия опирается на понятие арифма, она делает это даже при определении треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т. д., но более строго в некоторых предложениях, например. Книга VI, т. 31, в которой содержатся утверждения об общих многоугольниках, — «исправленный» Евклид поставил бы изучение арифмий перед изучением геометрии.

Общее понятие Евклида 5

Последним пунктом основной философии Мэйберри является его вера в то, что из-за неспособности Евклида признать силу Общего Понятия 5 – применительно к арифмам – была упущена великая историческая возможность, и, позволив себе определение путем итерации, была сделана огромная ошибка, последствия которой разветвились в истории математики. Обладая должным пониманием Общего Понятия 5 и избегая итераций, «исправленный» Евклид занялся бы теми частями математики, которые связаны с конечным – в дополнение к действительно скромному содержанию книг 7–9, теории натуральных чисел, конечного. комбинаторика, теория конечных групп и поля и, в более общем плане, изучение конечных структур. Мейберри называет этот предмет «евклидовой арифметикой» и посвящает значительную часть своей книги развитию его основ. В частности, его заботит установление того, в какой степени доказательство индукцией и определение рекурсией вообще оправдано . Он показывает, что евклидова теория арифметики не является незначительной переработкой современной теории натуральных чисел, а в евклидовой арифметике фактически невозможно установить какое-либо жизнеспособное представление о натуральных числах. В дополнение к своему взгляду на евклидову арифметику Мэйберри придерживается точки зрения, что, точно так же, как альтернативная геометрия была создана путем отрицания аксиомы Евклида о параллелях, альтернативная арифметика создается путем отрицания общего понятия 5 и подтверждения существования по крайней мере одной арифметики, для которой целое может быть поставить в 1-1 соответствие с частью. Эта теория, которую Мэйберри предпочел бы назвать канторианской арифметикой, конечно же, является современной теорией множеств, которая показала себя способной (возможно) объединить всю математику и, в частности, геометрию, которая, в евклидовом устроении приверженности общему понятию 5, , является отдельной родственной дисциплиной арифметики.

Философия Мэйберри стремится навязать новый стандарт, вытекающий из его онтологических и семантических убеждений, ясности и строгости математики, которые должны быть достигнуты в первую очередь посредством программы систематического отделения евклидовой математики от канторианской. В евклидовом случае этот стандарт потребовал бы от практиков как геометрии, так и арифметики избегать любых обращений к итеративным процессам. Вследствие этого наиболее острой задачей в геометрии является «исправление» Евклида путем установления теорем книги VI на основе методов и приемов книг I–IV, избегая использования понятия отношения, введенного в книге V. Для арифметики соответствующее Задача состоит в том, чтобы установить результаты книг VII-IX, не прибегая к той итеративной процедуре, которую позволяет себе Евклид при определении умножения. (Книга VII, определение 15.) Для канторианской арифметики главная задача заключалась бы в том, чтобы показать, что большая часть бесконечной математики — дисциплин, вытекающих тем или иным образом из исчисления — не требует неограниченных кванторов и, следовательно, что примеры Схема замены Аксиомы Цермело-Френкеля для теории множеств, включающей такие кванторы, не только запрещены общей философией Мэйберри, но и в любом случае технически избыточны.