Пер Мартин-Лёф

Пер Мартин-Лёф
Пер Мартин-Лёф
	Пер Мартин-Лёф в 2004 году
Рожденный	8 мая 1942 г. (82 года) ; Стокгольм , Швеция
Национальность	Шведский
Гражданство	Швеция
Альма-матер	Стокгольмский университет
Известный	Случайные последовательности ; Точные тесты ; Повторяющаяся структура ; Достаточная статистика ; метод ожидания-максимизации (EM) ; Теория типов Мартина-Лёфа ; Случайность Мартина-Лёфа
Награды	Королевская шведская академия наук (1990) ; Гёдельская лекция (2006) ; Премия Рольфа Шока (2020) ;
	Научная карьера
Поля	Информатика ; Логика ; Математическая статистика ; Философия
Учреждения	Стокгольмский университет ; Чикагский университет ; Орхусский университет
Докторантура	Андрей Николаевич Колмогоров

Пер Эрик Рутгер Мартин-Лёф ( / l ɒ f / ; ^{[ 2 ]} Шведский: [ˈmώʈːɪn ˈløːv] ; ^{[ 3 ]} 8 мая 1942) — шведский логик , философ и математический статистик . Он всемирно известен своими работами по основам теории вероятности , статистики, математической логики и информатики . С конца 1970-х годов публикации Мартина-Лёфа были в основном посвящены логике . В философской логике Мартин-Лёф боролся с философией логических следствий и суждений , частично вдохновленной работами Брентано , Фреге и Гуссерля . В математической логике Мартин-Лёф активно развивал интуиционистскую теорию типов как конструктивную основу математики; Работа Мартина-Лёфа по теории типов оказала влияние на информатику . ^{[ 4 ]}

До выхода на пенсию в 2009 г. ^{[ 5 ]} Пер Мартин-Лёф возглавлял совместную кафедру математики и философии в Стокгольмском университете . ^{[ 6 ]}

Его брат Андерс Мартин-Лёф сейчас является почетным профессором математической статистики Стокгольмского университета; два брата сотрудничали в исследованиях вероятности и статистики. Исследования Андерса и Пера Мартина-Лёфа оказали влияние на статистическую теорию, особенно в отношении экспоненциальных семейств , метода максимизации ожидания для отсутствующих данных и выбора модели . ^{[ 7 ]}

Пер Мартин-Лёф получил докторскую степень в 1970 году в Стокгольмском университете под руководством Андрея Колмогорова . ^{[ 8 ]}

Мартин-Лёф — увлеченный наблюдатель за птицами ; его первая научная публикация была посвящена смертности окольцованных птиц . ^{[ 9 ]}

Случайность и колмогоровская сложность.

В 1964 и 1965 годах Мартин-Лёф учился в Москве под руководством Андрея Н. Колмогорова . В 1966 году он написал статью «Определение случайных последовательностей» , в которой дал первое подходящее определение случайной последовательности. ^{[ 10 ]}

Более ранние исследователи, такие как Рихард фон Мизес, пытались формализовать понятие теста на случайность , чтобы определить случайную последовательность как последовательность, которая прошла все тесты на случайность; однако точное понятие теста на случайность осталось неясным. Ключевой идеей Мартина-Лёфа было использование теории вычислений для формального определения понятия теста на случайность. Это контрастирует с идеей случайности вероятности ; в этой теории ни один конкретный элемент выборочного пространства нельзя назвать случайным.

С тех пор было показано, что случайность Мартина-Лёфа допускает множество эквивалентных характеристик — с точки зрения сжатия , тестов случайности и азартных игр — которые внешне мало похожи на исходное определение, но каждая из которых удовлетворяет нашему интуитивному представлению о свойствах, которыми должны обладать случайные последовательности. Имейте в виду: случайные последовательности должны быть несжимаемыми, они должны проходить статистические тесты на случайность, и делать ставки на них должно быть невозможно. Существование этих многочисленных определений случайности Мартина-Лёфа и стабильность этих определений при различных моделях вычислений свидетельствуют о том, что случайность Мартина-Лёфа является фундаментальным свойством математики, а не случайностью конкретной модели Мартина-Лёфа. Тезис о том, что определение случайности Мартина-Лёфа «правильно» отражает интуитивное понятие случайности, был назван «Тезисом Мартина-Лёфа – Хайтина »; это чем-то похоже на тезис Чёрча-Тьюринга . ^{[ 11 ]}

Следуя работе Мартина-Лёфа, алгоритмическая теория информации определяет случайную строку как строку, которую нельзя создать с помощью какой-либо компьютерной программы, которая короче строки ( случайность Чайтина-Колмогорова ); т.е. строка, колмогоровская сложность которой не меньше длины строки. Это значение отличается от использования этого термина в статистике. В то время как статистическая случайность относится к процессу создания строки (например, подбрасывание монеты для получения каждого бита приводит к случайному созданию строки), алгоритмическая случайность относится к самой строке . Алгоритмическая теория информации отделяет случайные строки от неслучайных способом, который относительно инвариантен к модели вычислений используемой .

Алгоритмически случайная последовательность — это бесконечная последовательность символов, все префиксы которой (за исключением, возможно, конечного числа исключений) представляют собой строки, «близкие» к алгоритмически случайным (их длина находится в пределах константы их колмогоровской сложности).

Математическая статистика

Пер Мартин-Лёф провёл важные исследования в области математической статистики , которая (в шведской традиции) включает теорию вероятностей и статистику .

Наблюдение за птицами и определение пола

Пер Мартин-Лёф начал наблюдать за птицами в юности и остается страстным наблюдателем за птицами. ^{[ 12 ]} Будучи подростком, он опубликовал в шведском зоологическом журнале статью об оценке смертности птиц с использованием данных кольцевания птиц : Эту статью вскоре цитировали в ведущих международных журналах, и эту статью продолжают цитировать. ^{[ 9 ]}^{[ 13 ]}

В биологии и статистике птиц отсутствием существует ряд проблем, связанных с данных . В первой статье Мартина-Лёфа обсуждалась проблема оценки уровня смертности видов чернозобика с использованием методов отлова-повторного поимки . Крайне трудная для человека задача определения биологического пола птицы — один из первых примеров в лекциях Мартина-Лёфа по статистическим моделям .

Вероятность в алгебраических структурах

Мартин-Лёф написал дипломную работу по теории вероятностей алгебраических структур, особенно полугрупп, будучи студентом Ульфа Гренандера в Стокгольмском университете. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

Статистические модели

Мартин-Лёф разработал новаторские подходы к статистической теории . В своей статье «О таблицах случайных чисел» Колмогоров заметил, что частотной вероятности понятие предельных свойств бесконечных последовательностей не может служить основой для статистики, которая рассматривает только конечные выборки. ^{[ 17 ]} Большая часть работы Мартина-Лёфа в области статистики заключалась в обеспечении основы статистики для конечной выборки.

Выбор модели и проверка гипотез

В 1970-х годах Пер Мартин-Лёф внес важный вклад в статистическую теорию и вдохновил на дальнейшие исследования, особенно скандинавских статистиков, включая Рольфа Сундберга, Томаса Хёглунда и Стеффана Лауритцена. В этой работе предыдущие исследования Мартина-Лёфа по вероятностным мерам в полугруппах привели к понятию «повторяющейся структуры» и новому подходу к достаточной статистике, в которой были охарактеризованы однопараметрические экспоненциальные семейства . Он предложил теоретико-категорный подход к вложенным статистическим моделям , используя принципы конечной выборки. До (и после) Мартина-Лёфа такие вложенные модели часто проверялись с использованием тестов гипотезы хи-квадрат, обоснования которых являются лишь асимптотическими (и поэтому не имеют отношения к реальным проблемам, которые всегда имеют конечные выборки). ^{[ 17 ]}

Метод ожидания-максимизации для экспоненциальных семейств

Ученик Мартина-Лёфа, Рольф Сундберг, разработал подробный анализ метода максимизации ожидания (EM) для оценки с использованием данных из экспоненциальных семейств, особенно с отсутствующими данными . Сундберг приписывает формулу, позже известную как формула Сундберга, предыдущим рукописям братьев Мартин-Лёф, Пера и Андерса . ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} Многие из этих результатов достигли международного научного сообщества благодаря статье Артура П. Демпстера, Нэн Лэрд и Дональда Рубина о методе максимизации ожидания (EM) 1976 года международном , которая была опубликована в ведущем журнале, спонсируемом Королевским статистическим обществом. . ^{[ 22 ]}

Логика

Философская логика

В области философской логики Пер Мартин-Лёф опубликовал статьи по теории логических следствий , суждениям и т. д. Он интересовался центральноевропейскими философскими традициями, особенно немецкоязычными произведениями Франца Брентано , Готтлоба Фреге и Эдмунд Гуссерль .

Теория типов

Мартин-Лёф работал в области математической логики на протяжении многих десятилетий.

С 1968 по 1969 год он работал доцентом в Чикагском университете , где познакомился с Уильямом Элвином Ховардом, с которым обсуждал вопросы, связанные с перепиской Карри-Ховарда . Первый проект статьи Мартина-Лёфа о теории типов датируется 1971 годом. Эта непредикативная теория обобщила Жирара систему F . Однако эта система оказалась противоречивой из-за парадокса Жирара , который был открыт Жираром при изучении Системы U, противоречивого расширения Системы F. Этот опыт побудил Пера Мартина-Лёфа разработать философские основы теории типов , его объяснение смысла , форма теоретико-доказательной семантики , которая оправдывает теорию предикативных типов, представленную в его книге «Библиополис» 1984 года, и расширенную в ряде все более философских работ. тексты, такие как его влиятельные «О значениях логических констант и обоснованиях логических законов» .

Теория типов 1984 года была экстенсиональной, в то время как теория типов, представленная в книге Нордстрема и др. в 1990 году, на который сильно повлияли его более поздние идеи, преднамеренные и более поддающиеся реализации на компьютере.

Интуиционистская теория типов Мартина-Лёфа развила понятие зависимых типов и непосредственно повлияла на развитие исчисления конструкций и логической структуры LF . Ряд популярных компьютерных систем доказательства основаны на теории типов, например NuPRL , LEGO, Coq , ALF, Agda , Twelf , Epigram и Idris .

Награды

Мартин-Лёф является членом Шведской королевской академии наук. ^{[ 23 ]} (избран в 1990 г.) и Европейской академии (избран в 1989 г.). ^{[ 6 ]}

См. также

Примечания

^ The International Who's Who: 1996-97 , Europa Publications, 1996, стр. 1020: «Мартин-Лёф, Пер Эрик Рутгер».
^ Обеспечивает ли HoTT основу для математики? Джеймс Ледиман (Бристольский университет, Великобритания)
^ Питер Дюбьер о типах и тестировании - Подкаст The Type Theory
^ См., например Нордстрем, Бенгт; Петерссон, Кент; Смит, Ян М. (1990), Программирование в теории типов Мартина-Лёфа: введение (PDF) , Oxford University Press .
^ Философия и основы математики: эпистемологические и онтологические аспекты. Конференция, посвященная Перу Мартину-Лёфу по случаю его выхода на пенсию. Архивировано 2 февраля 2014 г. в Wayback Machine . Шведская коллегия перспективных исследований, Уппсала, 5–8 мая 2009 г. Дата обращения 26 января 2014 г.
^ Jump up to: ^а ^б Профиль участника , Academia Europaea , получено 26 января 2014 г.
^ Подробности см. в разделе #Статистические модели этой статьи.
^ «Пер Мартин-Лёф» . Проект «Математическая генеалогия» . Проверено 4 октября 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б Мартин-Лёф (1961) .
^ Мартин-Лёф, Пер (1966). «Определение случайных последовательностей». Информация и контроль . 9 (6): 602–619. дои : 10.1016/S0019-9958(66)80018-9 .
^ Жан-Поль Делаэ , Случайность, непредсказуемость и отсутствие порядка , в «Философии вероятностей» , с. 145–167, Спрингер, 1993.
↑ Джордж А. Барнард , «Унесенные наблюдения за птицами» , New Scientist , 4 декабря 1999 г., выпуск журнала 2215.
^ С. М. Тейлор (1966). «Недавние количественные исследования популяций птиц Великобритании. Обзор». Журнал Королевского статистического общества, серия D. 16 (2): 119–170. дои : 10.2307/2986734 . JSTOR 2986734 .
^ Мартин-Лёф, П. Теорема о непрерывности локально компактной группы. Теор. Вероятность. я Применен. 10 1965 367–371.
^ Мартин-Лёф, Пер Теория вероятностей на дискретных полугруппах. Z. Теория вероятностей и административные области 4 1965 78–102
^ Нитис Мухопадхьяй. Разговор с Ульфом Гренандером. Статист. наук. Том 21, номер 3 (2006), 404–426.
^ Jump up to: ^а ^б Колмогоров, Андрей Н. (1963). «О таблицах случайных чисел». Санкхья Сер. А. 25 : 369–375.
^ Рольф Сундберг. 1971. Теория максимального правдоподобия и приложения для распределений, генерируемых при наблюдении функции экспоненциальной переменной семейства . Диссертация, Институт математической статистики Стокгольмского университета.
^ Андерс Мартин-Лёф . 1963. «Оценка времени жизни на временах менее одной наносекунды». («формула Сундберга»)
^ Пер Мартин-Лёф. 1966. Статистика с точки зрения статистической механики . Конспект лекций, Математический институт Орхусского университета. («Формула Сундберга», приписываемая Андерсу Мартину-Лёфу).
^ Пер Мартин-Лёф. 1970. Statistika Modeller (Статистические модели): Заметки с семинаров 1969–1970 учебного года, при содействии Рольфа Сундберга. Стокгольмский университет. («формула Сундберга»)
^ Демпстер, AP ; Лейрд, Нью-Мексико ; Рубин, Д.Б. (1977). «Максимальное правдоподобие на основе неполных данных с помощью алгоритма EM». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 39 (1): 1–38. JSTOR 2984875 . МР 0501537 .
^ «Пер Мартин-Лёф» . Члены . Шведская королевская академия наук . Проверено 12 апреля 2024 г.

Ссылки

Наблюдение за птицами и недостающие данные

Мартин-Лёф, П. (1961). «Расчеты смертности окольцованных птиц с особым упором на Dunlin Calidris alpina ». Архив зоологии (зоологические файлы), Шведская королевская академия наук, серия 2 . Том 13 (21).

Джордж А. Барнард , «Унесенные наблюдения за птицами» , New Scientist , 4 декабря 1999 г., номер журнала 2215.
Себер, ГАФ (2002). Оценка численности животных и связанных с ней параметров . Колдуэл, Нью-Джерси: Blackburn Press. ISBN 1-930665-55-5 .
Ройл, Дж.А.; Р. М. Дорацио (2008). Иерархическое моделирование и вывод в экологии . Эльзевир. ISBN 978-1-930665-55-2 .

Вероятностные основы

Пер Мартин-Лёф. «Определение случайных последовательностей». Информация и контроль , 9 (6): 602–619, 1966.
Ли, Минг и Витаньи, Пол, Введение в колмогоровскую сложность и ее приложения , Springer, 1997. Полный текст вводной главы .

Вероятность в алгебраических структурах по Ульфу Гренандеру

Гренандер, Ульф . Вероятность в алгебраических структурах . (Дуврская перепечатка)
Мартин-Лёф, П. Теорема о непрерывности локально компактной группы. Теор. Вероятность. я Применен. 10 1965 367–371.
Мартин-Лёф, Пер. Теория вероятностей на дискретных полугруппах. Z. Теория вероятностей и области применения 4 1965 78-102
Нитис Мукхопадьяй. «Разговор с Ульфом Гренандером». Статист. наук. Том 21, номер 3 (2006), 404–426.

Основы статистики

Андерс Мартин-Лёф . 1963. «Оценка времени жизни на временах менее одной наносекунды». («формула Сундберга», согласно Сундбергу 1971)
Пер Мартин-Лёф. 1966. Статистика с точки зрения статистической механики . Конспект лекций, Математический институт Орхусского университета. («Формула Сундберга», приписываемая Андерсу Мартину-Лёфу, согласно Сундбергу 1971)
Пер Мартин-Лёф. 1970. Statistika Modeller (Статистические модели): Заметки с семинаров 1969–1970 учебного года, при содействии Рольфа Сундберга. Стокгольмский университет.
Мартин-Лёф, П. «Точные тесты, доверительные области и оценки», с обсуждением А.В.Ф. Эдвардса , Г.А. Барнарда , Д.А. Спротта, О. Барндорфа-Нильсена, Д. Басу и Г. Раша . Материалы конференции по фундаментальным вопросам статистического вывода (Орхус, 1973), стр. 121–138. Мемуары, № 1, Теор.-отд. Статист., Инт. Математика, унив. Орхус, Орхус, 1974 год.
Мартин-Лёф, П. Повторяющиеся структуры и связь между каноническими и микроканоническими распределениями в статистике и статистической механике. С обсуждением Д. Р. Кокса и Г. Раша и ответом автора. Материалы конференции по фундаментальным вопросам статистического вывода (Орхус, 1973), стр. 271–294. Мемуары, № 1, Теор.-отд. Статист., Инт. Математика, унив. Орхус, Орхус, 1974 год.
Мартин-Лёф, П. Понятие избыточности и его использование в качестве количественной меры отклонения между статистической гипотезой и набором данных наблюдений. С обсуждением Ф. Абильдгарда, А. П. Демпстера , Д. Басу , Д. Р. Кокса , А. Ф. Эдвардса , Д. А. Спротта, Г. А. Барнарда , О. Барндорфа-Нильсена, Дж. Д. Калбфляйша и Г. Раша и ответа автора. Материалы конференции по фундаментальным вопросам статистического вывода (Орхус, 1973), стр. 1–42. Мемуары, № 1, Теор.-отд. Статист., Инт. Математика, унив. Орхус, Орхус, 1974 год.
Мартин-Лёф, Пер Понятие избыточности и его использование в качестве количественной меры несоответствия между статистической гипотезой и набором данных наблюдений. Скан. Дж. Статист. 1 (1974), вып. 1, 3—18.
Свердруп, Эрлинг. «Испытания без мощности». Скан. Дж. Статист. 2 (1975), вып. 3, 158–160.
Мартин-Лёф, Ответ на полемическую статью Эрлинга Свердрупа: Испытания без силы ( Scand. J. Statist. 2 (1975), № 3, 158–160). Скан. Дж. Статист. 2 (1975), вып. 3, 161–165.
Свердруп, Эрлинг. Возражение на: «Испытания без энергии» ( Scand. J. Statist. 2 (1975), 161–165) П. Мартина-Лёфа. Скан. Дж. Статист. 4 (1977), вып. 3, 136—138.
Мартин-Лёф, П. Точные тесты, доверительные области и оценки. Основы вероятности и статистики. II. Синтез 36 (1977), вып. 2, 195–206.
Рольф Сундберг. 1971. Теория максимального правдоподобия и приложения для распределений, генерируемых при наблюдении функции экспоненциальной переменной семейства . Диссертация, Институт математической статистики Стокгольмского университета.
Сундберг, Рольф. Теория максимального правдоподобия для неполных данных из экспоненциального семейства. Скан. Дж. Статист. 1 (1974), вып. 2, 49—58.
Сундберг, Рольф Итерационный метод решения уравнений правдоподобия для неполных данных из экспоненциальных семейств. Комм. Статист.—Имитационные вычисления. Б5 (1976), вып. 1, 55—64.
Сундберг, Рольф Некоторые результаты о разложимых моделях (или марковского типа) для многомерных таблиц сопряженности: распределение маргинальных значений и разделение тестов. Скан. Дж. Статист. 2 (1975), вып. 2, 71—79.
Хёглунд, Томас. Точная оценка — метод статистической оценки. З. Теория вероятностей и административная сфера 29 (1974), 257-271.
Лауритцен, Штеффен Л. Экстремальные семейства и системы достаточной статистики . Конспекты лекций по статистике, 49. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1988. xvi+268 стр. ISBN 0-387-96872-5

Основы математики, логики и информатики

Пер Мартин-Лёф. Теория типов. Препринт, Стокгольмский университет, 1971 г.
Пер Мартин-Лёф. Интуиционистская теория типов . В Г. Самбине и Дж. Смите, редакторах журнала «Двадцать пять лет конструктивной теории типов». Oxford University Press, 1998. Перепечатанная версия неопубликованного отчета 1972 года.
Пер Мартин-Лёф. Интуиционистская теория типов: Предикативная часть. В HE Rose и JC Shepherdson, редакторах, Logic Colloquium '73, страницы 73–118. Северная Голландия, 1975 год.
Пер Мартин-Лёф. Конструктивная математика и компьютерное программирование . В логике, методологии и философии науки VI, 1979 . Ред. Коэн и др. Северная Голландия, Амстердам. стр. 153–175, 1982.
Пер Мартин-Лёф. Интуиционистская теория типов . (Заметки Джованни Самбина о серии лекций, прочитанных в Падуе, июнь 1980 г.). Неаполь, Библиополис, 1984.
Пер Мартин-Лёф. Философские значения теории типов , Неопубликованные заметки, 1987?
Пер Мартин-Лёф. Исчисление подстановки , 1992. Конспекты лекции, прочитанной в Гетеборге.
Бенгт Нордстрем, Кент Петерссон и Ян М. Смит. Программирование в теории типов Мартина-Лёфа . Oxford University Press, 1990. (Книга больше не издается, но бесплатная версия .) доступна
Пер Мартин-Лёф. О значениях логических констант и обоснованиях логических законов . Северный журнал философской логики , 1 (1): 11–60, 1996.
Пер Мартин-Лёф. Логика и этика . В Т. Пьече и П. Шредере-Хейстере, редакторах, «Семантика теории доказательств: оценка и перспективы на будущее». Материалы Третьей Тюбингенской конференции по семантике теории доказательств, 27–30 марта 2019 г. , страницы 227–235. URI: http://dx.doi.org/10.15496/publikation-35319 . Тюбингенский университет 2019.

Внешние ссылки

Пер Мартин-Лёф в проекте «Математическая генеалогия»

[1] The International Who's Who: 1996-97 , Europa Publications, 1996, стр. 1020: «Мартин-Лёф, Пер Эрик Рутгер».

[2] Обеспечивает ли HoTT основу для математики? Джеймс Ледиман (Бристольский университет, Великобритания)

[3] Питер Дюбьер о типах и тестировании - Подкаст The Type Theory

[4] См., например Нордстрем, Бенгт; Петерссон, Кент; Смит, Ян М. (1990), Программирование в теории типов Мартина-Лёфа: введение (PDF) , Oxford University Press .

[5] Философия и основы математики: эпистемологические и онтологические аспекты. Конференция, посвященная Перу Мартину-Лёфу по случаю его выхода на пенсию. Архивировано 2 февраля 2014 г. в Wayback Machine . Шведская коллегия перспективных исследований, Уппсала, 5–8 мая 2009 г. Дата обращения 26 января 2014 г.

[ae-6] Jump up to: ^а ^б Профиль участника , Academia Europaea , получено 26 января 2014 г.

[7] Подробности см. в разделе #Статистические модели этой статьи.

[8] «Пер Мартин-Лёф» . Проект «Математическая генеалогия» . Проверено 4 октября 2022 г.

[ml61-9] Jump up to: ^а ^б Мартин-Лёф (1961) .

[kolrand1-10] Мартин-Лёф, Пер (1966). «Определение случайных последовательностей». Информация и контроль . 9 (6): 602–619. дои : 10.1016/S0019-9958(66)80018-9 .

[11] Жан-Поль Делаэ , Случайность, непредсказуемость и отсутствие порядка , в «Философии вероятностей» , с. 145–167, Спрингер, 1993.

[12] Джордж А. Барнард , «Унесенные наблюдения за птицами» , New Scientist , 4 декабря 1999 г., выпуск журнала 2215.

[13] С. М. Тейлор (1966). «Недавние количественные исследования популяций птиц Великобритании. Обзор». Журнал Королевского статистического общества, серия D. 16 (2): 119–170. дои : 10.2307/2986734 . JSTOR 2986734 .

[14] Мартин-Лёф, П. Теорема о непрерывности локально компактной группы. Теор. Вероятность. я Применен. 10 1965 367–371.

[15] Мартин-Лёф, Пер Теория вероятностей на дискретных полугруппах. Z. Теория вероятностей и административные области 4 1965 78–102

[16] Нитис Мухопадхьяй. Разговор с Ульфом Гренандером. Статист. наук. Том 21, номер 3 (2006), 404–426.

[kolrand-17] Jump up to: ^а ^б Колмогоров, Андрей Н. (1963). «О таблицах случайных чисел». Санкхья Сер. А. 25 : 369–375.

[18] Рольф Сундберг. 1971. Теория максимального правдоподобия и приложения для распределений, генерируемых при наблюдении функции экспоненциальной переменной семейства . Диссертация, Институт математической статистики Стокгольмского университета.

[19] Андерс Мартин-Лёф . 1963. «Оценка времени жизни на временах менее одной наносекунды». («формула Сундберга»)

[20] Пер Мартин-Лёф. 1966. Статистика с точки зрения статистической механики . Конспект лекций, Математический институт Орхусского университета. («Формула Сундберга», приписываемая Андерсу Мартину-Лёфу).

[21] Пер Мартин-Лёф. 1970. Statistika Modeller (Статистические модели): Заметки с семинаров 1969–1970 учебного года, при содействии Рольфа Сундберга. Стокгольмский университет. («формула Сундберга»)

[22] Демпстер, AP ; Лейрд, Нью-Мексико ; Рубин, Д.Б. (1977). «Максимальное правдоподобие на основе неполных данных с помощью алгоритма EM». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 39 (1): 1–38. JSTOR 2984875 . МР 0501537 .

[23] «Пер Мартин-Лёф» . Члены . Шведская королевская академия наук . Проверено 12 апреля 2024 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	БЫСТРЫЙ ЯВЛЯЮТСЯ ВИАФ WorldCat
Национальный	Норвегия Франция Данные БнФ Германия Италия Израиль Бельгия Соединенные Штаты Чешская Республика Австралия Нидерланды Польша
академики	ЦиНии ДБЛП MathSciNet Проект математической генеалогии zbMATH
Другой	ИдРеф