Совместные и несовместные уравнения

В математике и особенно в алгебре система уравнений ( линейных или нелинейных ) называется совместной, если существует хотя бы один набор значений неизвестных, удовлетворяющий каждому уравнению системы, то есть при подстановке в каждое из уравнений , они делают каждое уравнение верным как тождество . Напротив, система линейных или нелинейных уравнений называется несовместной, если не существует набора значений неизвестных, который удовлетворяет всем уравнениям. ^[1]^[2]

Если система уравнений противоречива, то уравнения не могут быть истинными вместе, что приводит к противоречивой информации, такой как ложные утверждения $2 = 1$ или $x^{3}+y^{3}=5$ и $x^{3}+y^{3}=6$ (что означает $5 = 6$ ).

Оба типа системы уравнений, непротиворечивые и противоречивые, могут быть любыми: переопределенными (имеющими больше уравнений, чем неизвестных), недоопределенными (имеющими меньше уравнений, чем неизвестных) или точно определенными.

Простые примеры

Неопределенный и последовательный

Система

{\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+2z&=4\end{aligned}}

имеет бесконечное количество решений, все из которых имеют $z = 1$ (как можно увидеть, вычитая первое уравнение из второго), и, следовательно, все они имеют $x + y = 2$ для любых значений $x$ и $y$ .

Нелинейная система

{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=10,\\x^{2}+y^{2}&=5\end{aligned}}

имеет бесконечное множество решений, каждое из которых включает в себя $z=\pm {\sqrt {5}}.$

Поскольку каждая из этих систем имеет более одного решения, она является неопределенной системой .

Неопределенный и непоследовательный

Система

{\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+z&=4\end{aligned}}

не имеет решений, в чем можно убедиться, вычитая первое уравнение из второго и получая невозможное $0 = 1$ .

Нелинейная система

{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=17,\\x^{2}+y^{2}+z^{2}&=14\end{aligned}}

не имеет решений, потому что если одно уравнение вычесть из другого, то получим невозможное $0 = 3$ .

Точно решительный и последовательный

Система

{\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=5\end{aligned}}

имеет ровно одно решение: $x = 1, y = 2$

Нелинейная система

{\begin{aligned}x+y&=1,\\x^{2}+y^{2}&=1\end{aligned}}

имеет два решения $(x, y) = (1, 0)$ и $(x, y) = (0, 1)$ , в то время как

{\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=34\end{aligned}}

имеет бесконечное число решений, поскольку третье уравнение представляет собой первое уравнение плюс удвоенное второе и, следовательно, не содержит независимой информации; таким образом, можно выбрать любое значение $z$ значения $x$ и $y$ и найти , удовлетворяющие первым двум (и, следовательно, третьему) уравнениям.

Точно определенный и непоследовательный

Система

{\begin{aligned}x+y&=3,\\4x+4y&=10\end{aligned}}

не имеет решений; несоответствие можно увидеть, умножив первое уравнение на 4 и вычитая второе уравнение, чтобы получить невозможное $0 = 2$ .

Так же,

{\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=32\end{aligned}}

является противоречивой системой, поскольку первое уравнение плюс дважды второе минус третье содержит противоречие $0 = 2$ .

Чрезмерно определенный и последовательный

Система

{\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=20\end{aligned}}

имеет решение $x = -1, y = 4$ , поскольку первые два уравнения не противоречат друг другу, а третье уравнение избыточно (поскольку оно содержит ту же информацию, которую можно получить из первых двух уравнений путем умножения каждого на 2 и их суммирование).

Система

{\begin{aligned}x+2y&=7,\\3x+6y&=21,\\7x+14y&=49\end{aligned}}

имеет бесконечное количество решений, поскольку все три уравнения дают одинаковую информацию друг о друге (в этом можно убедиться, умножив первое уравнение на 3 или 7). Любое значение $y$ является частью решения, при этом соответствующее значение $x$ равно $7 - 2 y$ .

Нелинейная система

{\begin{aligned}x^{2}-1&=0,\\y^{2}-1&=0,\\(x-1)(y-1)&=0\end{aligned}}

имеет три решения $(x, y) = (1, -1), (-1, 1), (1, 1)$ .

Чрезмерно детерминированный и непоследовательный

Система

{\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=21\end{aligned}}

противоречиво, поскольку последнее уравнение противоречит информации, заключенной в первых двух, как видно путем умножения каждого из первых двух на 2 и их суммирования.

Система

{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\x^{2}+2y^{2}&=2,\\2x^{2}+3y^{2}&=4\end{aligned}}

противоречиво, поскольку сумма первых двух уравнений противоречит третьему.

Критерии последовательности

Как видно из приведенных выше примеров, согласованность и противоречивость — это другой вопрос, чем сравнение количества уравнений и неизвестных.

Линейные системы

Линейная система непротиворечива тогда и только тогда, когда ее матрица коэффициентов имеет тот же ранг , что и ее расширенная матрица (матрица коэффициентов с добавленным дополнительным столбцом, причем этот столбец является вектор-столбцом констант).

Нелинейные системы

Ссылки

^ «Определение СОВМЕСТНЫХ УРАВНЕНИЙ» . www.merriam-webster.com . Проверено 10 июня 2021 г.
^ «Определение непротиворечивых уравнений | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 10 июня 2021 г.

[1] «Определение СОВМЕСТНЫХ УРАВНЕНИЙ» . www.merriam-webster.com . Проверено 10 июня 2021 г.

[2] «Определение непротиворечивых уравнений | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 10 июня 2021 г.

[1]

[2]