точка Аполлония

В евклидовой геометрии представляет точка Аполлония собой центр треугольника, обозначенный как X (181) в Кларка Кимберлинга ( Энциклопедии центров треугольников ETC). Он определяется как точка совпадения трех отрезков, соединяющих каждую вершину треугольника с точками касания, образованными противоположной вписанной окружностью и большей окружностью, касающейся всех трех вписанных окружностей .

В литературе термин « точки Аполлония » также использовался для обозначения изодинамических точек треугольника. ^[1] Это использование также может быть оправдано на том основании, что изодинамические точки связаны с тремя аполлоническими кругами, связанными с треугольником.

Решение проблемы Аполлония известно уже много столетий. Но точка Аполлония впервые была отмечена в 1987 году. ^[2]^[3]

Определение

Точка Аполлония треугольника определяется следующим образом.

Пусть

△ ABC

— любой треугольник. Пусть вписанные окружности △

ABC,

вершинам

A, B, C,

будут

EA, EB, EC противоположные

соответственно. Пусть

E

— круг, который касается трех вписанных окружностей

, EA EB, EC,

что эти три вписанных окружности находятся внутри

E.

так Пусть

A', B', C'

— точки контакта окружности

E

с тремя вписанными окружностями. Линии

AA', BB', CC

совпадают ' . Точка совпадения — это Аполлония точка

△ ABC

.

Задача Аполлония — это задача построения окружности, касательной к трем заданным окружностям на плоскости. В общем случае имеется восемь окружностей, соприкасающихся с тремя заданными окружностями. Окружность $E,$ упомянутая в приведенном выше определении, является одной из этих восьми окружностей, касающихся трех вписанных окружностей треугольника $△ ABC$ . В Энциклопедии Центров Треугольников E $называется$ кругом Аполлония △ $круг ABC$ .

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Аполлония: ^[2]

${\begin{array}{ccccc}&\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}&:&\displaystyle {\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}&:&\displaystyle {\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}\\[4pt]=&\sin ^{2}\!A\,\cos ^{2}{\frac {B-C}{2}}&:&\sin ^{2}\!B\,\cos ^{2}{\frac {C-A}{2}}&:&\sin ^{2}\!C\,\cos ^{2}{\frac {A-B}{2}}\end{array}}$

См. также

Теория Аполлония
Аполлоний Пергский (262–190 до н. э.), геометр и астроном.
проблема Аполлония
Аполлонические круги
Изодинамическая точка треугольника

Ссылки

^ Катажина Вильчек (2010). «Гармонический центр трехугольника и точка Аполлония треугольника». Журнал математики и приложений . 32 : 95–101.
^ Jump up to: ^а ^б Кимберлинг, Кларк. «Точка Аполлония» . Архивировано из оригинала 10 мая 2012 года . Проверено 16 мая 2012 г.
^ К. Кимберлинг; Шико Ивата; Хидэтоси Фукагава (1987). «Задача 1091 и решение». крест Математический 13 : 217–218.

[1] Катажина Вильчек (2010). «Гармонический центр трехугольника и точка Аполлония треугольника». Журнал математики и приложений . 32 : 95–101.

[evansville-2] Jump up to: ^а ^б Кимберлинг, Кларк. «Точка Аполлония» . Архивировано из оригинала 10 мая 2012 года . Проверено 16 мая 2012 г.

[3] К. Кимберлинг; Шико Ивата; Хидэтоси Фукагава (1987). «Задача 1091 и решение». крест Математический 13 : 217–218.

[1]

[2]

[3]