Проблема Аполлония

Рисунок 1: Решение (фиолетовым цветом) проблемы Аполлония. Данные кружки показаны черным цветом.

Рисунок 2: Четыре дополнительные пары решений проблемы Аполлония; данные кружки черные.

В евклидовой плоской геометрии задача Аполлония состоит в том, чтобы построить окружности, касающиеся трех данных окружностей на плоскости (рис. 1). Аполлоний Пергский (ок. 262 г. до н. э. – ок. 190 до н. э.) поставил и решил эту знаменитую задачу в своем труде Ἐπαφαί ( Epaphaí , «Тасенции»); эта работа была утеряна , но отчет Паппа Александрийского о его результатах, датированный IV веком нашей эры , сохранился. Три заданных окружности в общем случае имеют восемь различных окружностей, касающихся их (рис. 2), пару решений для каждого способа разделить три заданных окружности на два подмножества (существует 4 способа разделить множество мощности 3 на 2 части) .

В 16 веке Адриан ван Ромен решил задачу с помощью пересекающихся гипербол , однако в этом решении не используются только конструкции линейки и циркуля . Франсуа Вьет нашел такое решение, используя предельные случаи : любой из трех данных кругов можно сжать до нулевого радиуса (точка) или расширить до бесконечного радиуса (линия). Подход Вьета, который использует более простые предельные случаи для решения более сложных, считается правдоподобной реконструкцией метода Аполлония. Метод ван Румена был упрощен Исааком Ньютоном , который показал, что задача Аполлония эквивалентна нахождению положения по разностям его расстояний до трех известных точек. Это находит применение в системах навигации и позиционирования, таких как LORAN .

Позже математики представили алгебраические методы, которые преобразуют геометрическую задачу в алгебраические уравнения . Эти методы были упрощены за счет использования симметрии, свойственной задаче Аполлония: например, круги решений обычно встречаются парами, причем одно решение включает заданные круги, а другое исключает (рис. 2). Жозеф Диас Жергонн использовал эту симметрию, чтобы найти элегантное решение для линейки и циркуля, в то время как другие математики использовали геометрические преобразования, такие как отражение в круге , чтобы упростить конфигурацию данных кругов. Эти разработки обеспечивают геометрическую основу для алгебраических методов (с использованием геометрии сферы Ли ) и классификацию решений по 33 существенно различным конфигурациям данных окружностей.

Проблема Аполлония стимулировала дальнейшую работу. обобщения на три измерения - построение сферы, касательной к четырем данным сферам - и за его пределами Были изучены . Особое внимание привлекла конфигурация трех взаимно касающихся окружностей. Рене Декарт дал формулу, связывающую радиусы окружностей решения и заданных окружностей, известную теперь как теорема Декарта . Итеративное решение проблемы Аполлония в этом случае приводит к аполлоновой прокладке , которая является одним из самых ранних фракталов , описанных в печати, и важна в теории чисел с помощью кругов Форда и метода круга Харди-Литтлвуда .

Постановка задачи

Общая формулировка задачи Аполлония состоит в том, чтобы построить одну или несколько окружностей, касающихся трех данных объектов на плоскости, причем объектом может быть линия, точка или круг любого размера. Эти объекты могут быть расположены как угодно и пересекать друг друга; однако их обычно считают разными, то есть они не совпадают. Решения проблемы Аполлония иногда называют кругами Аполлония , хотя этот термин также используется для других типов кругов, связанных с Аполлонием.

Свойство касания определяется следующим образом. Во-первых, предполагается, что точка, линия или окружность касаются самой себя; следовательно, если данный круг уже касается двух других данных объектов, это считается решением проблемы Аполлония. Говорят, что два различных геометрических объекта пересекаются , если у них есть общая точка. По определению точка касается окружности или прямой, если она их пересекает, т. е. если она лежит на них; таким образом, две различные точки не могут касаться. Если угол между линиями или кругами в точке пересечения равен нулю, они называются касательными ; точка пересечения называется точкой касания или точкой касания . (Слово «касательная» происходит от латинского причастия настоящего времени , tangens , что означает «касающийся».) На практике два различных круга являются касательными, если они пересекаются только в одной точке; если они пересекаются в нуле или двух точках, они не касаются. То же самое справедливо для линии и круга. Две различные прямые не могут касаться плоскости, хотя две параллельные линии можно рассматривать как касательные в бесконечной точке инверсной геометрии (см. ниже ).

Окружность решения может быть касательной к каждой из заданных окружностей как внутри, так и снаружи. касание Внешнее — это касание, при котором две окружности отклоняются друг от друга в точке соприкосновения; они лежат по разные стороны касательной в этой точке и исключают друг друга. Расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Напротив, внутреннее касание — это такое, при котором две окружности изгибаются одинаково в точке соприкосновения; две окружности лежат по одну сторону касательной, и одна окружность окружает другую. В этом случае расстояние между их центрами равно разнице их радиусов. В качестве иллюстрации на рисунке 1 розовый круг решения внутренне касается заданного черного круга среднего размера справа, тогда как снаружи он касается наименьшего и самого большого заданных кругов слева.

Проблему Аполлония также можно сформулировать как задачу определения одной или нескольких точек так, чтобы разность расстояний до трех заданных точек равнялась трем известным значениям. Рассмотрим решающую окружность радиуса r _s и три заданные окружности радиусов r ₁ , r ₂ и r ₃ . Если окружность решения внешне касается всех трех заданных окружностей, то расстояния между центром окружности решения и центрами данных окружностей равны d ₁ = r ₁ + r _s , d ₂ = r ₂ + r _s и d ₃ = r ₃ + r _s соответственно. Следовательно, различия в этих расстояниях являются постоянными, например d ₁ - d ₂ = r ₁ - r ₂ ; они зависят только от известных радиусов данных окружностей, а не от радиуса r _s окружности решения, который сокращается. Эту вторую формулировку проблемы Аполлония можно обобщить на внутренне касательные круги решения (для которых расстояние между центрами равно разнице радиусов), заменив соответствующие разности расстояний на суммы расстояний, так что радиус круга решения r _s снова отменяется. Переформулировка в терминах межцентровых расстояний полезна в приведенные ниже решения Адриана ван Румена и Исаака Ньютона , а также гиперболическое позиционирование или трилатерация, которая представляет собой задачу определения местоположения по разнице расстояний до трех известных точек. Например, навигационные системы, такие как LORAN, определяют положение приемника по разнице во времени прибытия сигналов из трех фиксированных позиций, что соответствует разнице расстояний до этих передатчиков.

История

Для решения проблемы Аполлония был разработан богатый набор геометрических и алгебраических методов. которую назвали «самой известной из всех» задач геометрии. Первоначальный подход Аполлония Пергского был утерян, но реконструкции были предложены Франсуа Виетом и другими, основываясь на подсказках в описании Паппа Александрийского . Первый новый метод решения был опубликован в 1596 году Адрианом ван Руменом , который определил центры кругов решения как точки пересечения двух гипербол . Метод Ван Румена был усовершенствован в 1687 году Исааком Ньютоном в его «Началах» . и Джоном Кейси в 1881 году.

Несмотря на успешность решения проблемы Аполлония, метод ван Румена имеет один недостаток. Ценным свойством классической евклидовой геометрии является способность решать задачи, используя только циркуль и линейку . Многие конструкции невозможны с использованием только этих инструментов, например, деление угла на три равные части . Однако многие такие «невозможные» задачи можно решить с помощью пересекающихся кривых, таких как гиперболы, эллипсы и параболы ( конические сечения ). Например, удвоение куба (задача о построении куба, объём которого в два раза превышает объём данного куба) невозможно выполнить, используя только линейку и циркуль, но Менехм показал, что задачу можно решить, используя пересечения двух парабол . Таким образом, решение ван Румена, в котором используется пересечение двух гипербол, не определяло, удовлетворяет ли задача свойству линейки и циркуля.

Друг Ван Ромена Франсуа Вьет , который в первую очередь убеждал ван Ромена работать над проблемой Аполлония, разработал метод, в котором использовались только циркуль и линейка. До решения Виета Региомонтан сомневался, можно ли решить проблему Аполлония с помощью линейки и циркуля. Виет сначала решил некоторые простые частные случаи проблемы Аполлония, такие как нахождение окружности, проходящей через три заданные точки, которая имеет только одно решение, если точки различны; затем он перешел к решению более сложных частных случаев, в некоторых случаях сжимая или раздувая заданные круги. Согласно отчету Паппа IV века, собственная книга Аполлония по этой проблеме, озаглавленная Ἐπαφαί ( Epaphaí , «Касания»; латынь: De tactionibus , De contactibus ), следовала аналогичному прогрессивному подходу. Следовательно, решение Виета считается правдоподобной реконструкцией решения Аполлония, хотя другие реконструкции были опубликованы независимо тремя разными авторами.

Несколько других геометрических решений проблемы Аполлония были разработаны в 19 веке. Наиболее известные решения принадлежат Жану-Виктору Понселе (1811 г.). и Жозефа Диаса Жергонна (1814 г.). В то время как доказательство Понселе опирается на гомотетические центры кругов и силу точечной теоремы, метод Жергонна использует сопряженное отношение между линиями и их полюсами в круге. Методы, использующие инверсию круга, были впервые предложены Юлиусом Петерсеном в 1879 году; Одним из примеров является метод кольцевого решения HSM Coxeter . Другой подход использует геометрию сферы Ли . который был разработан Софусом Ли .

Алгебраические решения проблемы Аполлония были впервые предложены в 17 веке Рене Декартом и принцессой Елизаветой Богемской , хотя их решения были довольно сложными. Практические алгебраические методы были разработаны в конце 18 и 19 веков несколькими математиками, в том числе Леонардом Эйлером , Николас Фусс , Карл Фридрих Гаусс , Лазар Карно , и Огюстен Луи Коши .

Методы решения

Пересекающиеся гиперболы

Рисунок 3: Два заданных круга (черный) и касательный к ним круг (розовый). Межцентровые расстояния d ₁ и d ₂ равны r ₁ + r _s и r ₂ + r _s соответственно, поэтому их разность не зависит от r _s .

Решение Адриана ван Румена (1596 г.) основано на пересечении двух гипербол . Обозначим данные окружности как C ₁ , C ₂ и C ₃ . Ван Роомен решил общую проблему, решив более простую задачу: найти окружности, которые касаются двух заданных окружностей, таких как C ₁ и C ₂ . Он заметил, что центр окружности, касающейся обеих данных окружностей, должен лежать на гиперболе, фокусами которой являются центры данных окружностей. Чтобы это понять, обозначим радиусы круга решения и двух заданных кругов как rs ₂ , r ₁ и r _{соответственно (} рисунок 3). Расстояние d ₁ между центрами круга решения и C ₁ равно либо r _s + r ₁ , либо r _s − r ₁ , в зависимости от того, выбраны ли эти круги касающимися снаружи или внутри, соответственно. Аналогично, расстояние d ₂ между центрами круга решения и C ₂ равно либо r _s + r _2, либо r _s - r ₂ , опять же в зависимости от выбранного ими касания. Таким образом, разность d ₁ − d ₂ между этими расстояниями всегда является константой, не зависящей от r _s . Это свойство иметь фиксированную разницу между расстояниями до foci характеризует гиперболы, поэтому возможные центры круга решения лежат на гиперболе. Для пары заданных окружностей C ₂ и C ₃ можно нарисовать вторую гиперболу , причем внутреннее или внешнее касание решения и C ₂ должно выбираться согласованно с касанием первой гиперболы. Пересечение этих двух гипербол (если таковые имеются) дает центр круга решения, который имеет выбранные внутренние и внешние касания к трем заданным кругам. Полный набор решений проблемы Аполлония можно найти, рассмотрев все возможные комбинации внутреннего и внешнего касания круга решения к трем заданным кругам.

Исаак Ньютон (1687) уточнил решение ван Румена так, что центры кругов решения располагались на пересечениях прямой с окружностью. Ньютон формулирует проблему Аполлония как задачу трилатерации : найти точку Z из трех заданных точек A , B и C так, чтобы различия в расстояниях от Z до трех данных точек имели известные значения. Эти четыре точки соответствуют центру круга решения ( Z ) и центрам трех заданных кругов ( A , B и C ).

Множество точек с постоянным соотношением расстояний d ₁ / d ₂ до двух неподвижных точек представляет собой окружность.

Вместо решения двух гипербол Ньютон строит их направляющие . Для любой гиперболы отношение расстояний от точки Z до фокуса А и до директрисы является фиксированной константой, называемой эксцентриситетом . Две директрисы пересекаются в точке T , и по двум известным отношениям расстояний Ньютон строит линию, проходящую через T , на которой Z. должно лежать Однако известно и соотношение расстояний TZ/TA; следовательно, Z также лежит на известной окружности, поскольку Аполлоний показал, что окружность можно определить как множество точек, имеющих заданное отношение расстояний до двух неподвижных точек. (Кстати, это определение лежит в основе биполярных координат .) Таким образом, решениями проблемы Аполлония являются пересечения прямой с окружностью.

Реконструкция Вьета

Как описано ниже , проблема Аполлония имеет десять особых случаев, в зависимости от природы трёх данных объектов, которые могут быть кругом ( C ), линией ( L ) или точкой ( P ). По обычаю эти десять случаев обозначаются трехбуквенными кодами, такими как CCP . Вьет решил все десять из этих случаев, используя только конструкции циркуля и линейки, и использовал решения более простых случаев для решения более сложных случаев.

Рисунок 4. Касание между кругами сохраняется, если их радиусы изменяются на одинаковую величину. Розовый круг решения должен сжиматься или раздуваться с внутренним касательным кругом (черный круг справа), тогда как внешние касательные круги (два черных круга слева) делают противоположное.

Виет начал с решения случая ППС (три пункта), следуя методу Евклида в его «Началах» . Отсюда он вывел лемму, соответствующую степени точечной теоремы, которую он использовал для решения случая LPP (линия и две точки). Следуя Евклиду во второй раз, Виет решил случай LLL (три линии), используя биссектрисы угла . Затем он вывел лемму для построения линии, перпендикулярной биссектрисе угла, проходящей через точку, которую он использовал для решения задачи ЛЛП (две прямые и точка). Это объясняет первые четыре случая задачи Аполлония, те, которые не связаны с кругами.

Чтобы решить оставшиеся проблемы, Виет воспользовался тем фактом, что размеры заданных кругов и круга решения можно изменять одновременно, сохраняя при этом их касания (рис. 4). Если радиус круга решения изменяется на величину Δ r , радиус его внутренних касательных данных кругов должен быть аналогичным образом изменен на Δ r , тогда как радиус его внешних касательных данных кругов должен быть изменен на -Δ r . Таким образом, по мере того, как круг решения расширяется, данные круги, касающиеся внутренне касания, должны увеличиваться одновременно, тогда как данные круги, касающиеся снаружи, должны сжиматься, чтобы сохранить свое касание.

Виет использовал этот подход, чтобы сжать один из заданных кругов до точки, тем самым сведя проблему к более простому, уже решенному случаю. Сначала он решил случай CLL (круг и две линии), сжимая круг в точку, превращая его в случай LLP . Затем он решил случай CLP (окружность, линия и точка), используя три леммы. Снова сократив один круг до точки, Виет превратил дело CCL в дело CLP . Затем он решил случай CPP (круг и две точки) и случай CCP (два круга и точка), последний случай с помощью двух лемм. Наконец, Виет решил общий случай CCC (три круга), сжимая один круг до точки, превращая его в случай CCP .

Алгебраические решения

Задачу Аполлония можно представить как систему трех уравнений для центра и радиуса круга решения. Поскольку три заданных круга и любой круг решения должны лежать в одной плоскости, их положения можно указать через ( x , y ) координаты их центров. Например, центральные положения трех данных кругов могут быть записаны как ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ) и ( x ₃ , y ₃ ), тогда как центральные положения круга решения могут быть записаны как ( х _с , у _с ). Аналогично, радиусы данных окружностей и окружности решения можно записать как r ₁ , r ₂ , r ₃ и r _s соответственно. Требование, чтобы окружность решения точно касалась каждой из трех заданных окружностей, можно выразить в виде трех связанных квадратных уравнений для x _s , y _s и r _s :

$\left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^{2}$

$\left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}$

$\left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^{2}.$

Три числа s ₁ , s ₂ и s ₃ в правой части , называемые знаками, могут равняться ±1 и определяют, должен ли искомый круг решения касаться соответствующего заданного круга внутри ( s = 1) или снаружи ( s = −1). Например, на рисунках 1 и 4 розовое решение внутренне касается заданного круга среднего размера справа и внешне касается наименьшего и самого большого заданных кругов слева; если данные круги упорядочены по радиусу, знаки этого решения будут «− + −» . Поскольку три знака могут быть выбраны независимо, существует восемь возможных наборов уравнений (2 × 2 × 2 = 8) , каждый набор соответствует одному из восьми типов кругов решения.

Общая система трех уравнений может быть решена методом равнодействующих . При умножении все три уравнения имеют x _s ² + й _с ² с левой стороны, и r _s ² на правой стороне. Вычитание одного уравнения из другого устраняет эти квадратичные члены; оставшиеся линейные члены можно переставить, чтобы получить формулы для координат x _s и y _s

$x_{s}=M+Nr_{s}$

$y_{s}=P+Qr_{s}$

где M , N , P и Q — известные функции заданных окружностей и выбора знаков. Подстановка этих формул в одно из исходных трех уравнений дает квадратное уравнение для r _s , которое можно решить по квадратной формуле . Подстановка числового значения r _s в линейные формулы дает соответствующие значения x _s и y _s .

Знаки s ₁ , s ₂ и s ₃ в правых частях уравнений могут быть выбраны восемью возможными способами, причем каждый выбор знаков дает до двух решений, поскольку уравнение для r _s является квадратным . Это могло бы предполагать (ошибочно), что существует до шестнадцати решений проблемы Аполлония. Однако из-за симметрии уравнений, если ( r _s , x _s , y _s ) является решением со знаками s _i , то таким же является и (− r _s , x _s , y _s ) с противоположными знаками − s _i , который представляет тот же круг решения. Следовательно, задача Аполлония имеет не более восьми независимых решений (рис. 2). Один из способов избежать двойного счета — рассматривать только круги решения с неотрицательным радиусом.

Два корня любого квадратного уравнения могут быть трех возможных типов: два разных действительных числа , два одинаковых действительных числа (т. е. вырожденный двойной корень) или пара комплексно-сопряженных корней. Первый случай соответствует обычной ситуации; каждая пара корней соответствует паре решений, связанных инверсией круга , как описано ниже (рис. 6). Во втором случае оба корня одинаковы, что соответствует кругу решения, который при инверсии превращается в самого себя. В этом случае одна из данных окружностей сама является решением задачи Аполлония, а число различных решений уменьшается на одно. Третий случай комплексно-сопряженных радиусов не соответствует геометрически возможному решению задачи Аполлония, поскольку круг решения не может иметь мнимого радиуса; поэтому число решений сокращается на два. Задача Аполлония не может иметь семь решений, хотя может иметь любое другое количество решений от нуля до восьми.

Геометрия сферы лжи

Те же алгебраические уравнения могут быть получены в контексте геометрии сферы Ли . Эта геометрия представляет круги, линии и точки единым образом в виде пятимерного вектора X = ( v , c _x , c _y , w , sr ), где c = ( c _x , c _y ) — центр окружность, а r — ее (неотрицательный) радиус. Если r не равно нулю, знак s может быть положительным или отрицательным; для визуализации s представляет ориентацию круга: круги против часовой стрелки имеют положительное значение s , а круги по часовой стрелке имеют отрицательное значение s . Параметр w равен нулю для прямой линии и единице в противном случае.

В этом пятимерном мире существует билинейное произведение, похожее на скалярное произведение :

$\left(X_{1}\mid X_{2}\right):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.$

Квадрика Ли определяется как те векторы, произведение которых само на себя (их квадратная норма ) равно нулю, ( X | X ) = 0. Пусть X ₁ и X ₂ — два вектора, принадлежащие этой квадрике; норма их разности равна

$\left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_{1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.$

Произведение распределяется по сложению и вычитанию (точнее, оно билинейно ):

$\left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=\left(X_{1}\mid X_{1}\right)-2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)+\left(X_{2}\mid X_{2}\right).$

Поскольку ( X ₁ | X ₁ ) = ( X ₂ | X ₂ ) = 0 (оба принадлежат квадрике Ли) и поскольку w ₁ = w ₂ = 1 для окружностей, произведение любых двух таких векторов на квадрике равно

$-2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)=\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.$

где вертикальные полосы между c ₁ - c ₂ представляют длину этого вектора разности, т. е. евклидову норму . Эта формула показывает, что если два квадратичных вектора X ₁ и X ₂ ортогональны (перпендикулярны) друг другу, то есть если ( X ₁ | X ₂ )   =   0, то соответствующие им окружности касаются. Ибо если два знака s ₁ и s ₂ одинаковы (т. е. круги имеют одинаковую «ориентацию»), то круги внутренне касаются; расстояние между их центрами равно разнице радиусов

$\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.$

И наоборот, если два знака s ₁ и s ₂ различны (т. е. круги имеют противоположные «ориентации»), круги касаются снаружи; расстояние между их центрами равно сумме радиусов

$\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.$

Следовательно, проблема Аполлония может быть переформулирована в геометрии Ли как проблема поиска перпендикулярных векторов на квадрике Ли; в частности, цель состоит в том, чтобы идентифицировать векторы решения X _sol , которые принадлежат квадрике Ли и также ортогональны (перпендикулярны) векторам X ₁ , X ₂ и X _{3 ,} соответствующим данным окружностям.

$\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{\mathrm {sol} }\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{1}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{2}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{3}\right)=0$

Преимущество этого переформулирования состоит в том, что можно использовать теоремы линейной алгебры о максимальном числе линейно независимых , одновременно перпендикулярных векторов. Это дает еще один способ вычислить максимальное количество решений и распространить теорему на пространства более высокой размерности.

Инверсивные методы

Рисунок 5: Инверсия в круге. Точка P ' является инверсией точки P по отношению к окружности.

Естественной постановкой проблемы Аполлония является инверсная геометрия . Основная стратегия инверсных методов состоит в том, чтобы преобразовать данную проблему Аполлония в другую задачу Аполлония, которую легче решить; решения исходной задачи находятся из решений преобразованной задачи путем отмены преобразования. Преобразования-кандидаты должны превратить одну проблему Аполлония в другую; следовательно, они должны преобразовать данные точки, круги и линии в другие точки, круги и линии, а не в другие формы. Инверсия круга обладает этим свойством и позволяет разумно выбирать центр и радиус инверсного круга. Другие кандидаты включают изометрии евклидовой плоскости ; однако они не упрощают проблему, поскольку просто сдвигают , вращают и отражают исходную задачу.

Инверсия в окружности с центром O и радиусом R состоит из следующей операции (рис. 5): каждая точка P отображается в новую точку P' такую, что O , P и P' лежат на одной прямой, а произведение расстояний P и P' к центру O равны радиусу R в квадрате.

${\overline {\mathbf {OP} }}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime }} }}=R^{2}.$

Таким образом, если P лежит вне круга, то P' лежит внутри, и наоборот. Когда P совпадает с O , говорят, что инверсия отправляет P в бесконечность. (В комплексном анализе «бесконечность» определяется в терминах сферы Римана .) Инверсия обладает тем полезным свойством, что линии и окружности всегда преобразуются в прямые и окружности, а точки всегда преобразуются в точки. При инверсии круги обычно преобразуются в другие круги; однако, если круг проходит через центр инверсионного круга, он преобразуется в прямую линию, и наоборот. Важно отметить, что если круг пересекает круг инверсии под прямым углом (пересекается перпендикулярно), инверсия не меняет его; оно трансформируется в себя.

Инверсии круга соответствуют подмножеству преобразований Мёбиуса на сфере Римана . Плоская задача Аполлония может быть перенесена на сферу с помощью обратной стереографической проекции ; следовательно, решения планарной задачи Аполлония также относятся к ее аналогу на сфере. Помимо распространенных, описанных ниже, возможны и другие обратные решения плоской задачи.

Пары решений обращением

Рисунок 6: Сопряженная пара решений задачи Аполлония (розовые кружки) с заданными кружками черного цвета.

Решения проблемы Аполлония обычно встречаются парами; для каждого круга решения существует сопряженный круг решения (рис. 6). Один круг решения исключает данные круги, заключенные в сопряженное ему решение, и наоборот. Например, на рисунке 6 один круг решения (розовый, вверху слева) охватывает два заданных круга (черный), но исключает третий; и наоборот, его сопряженное решение (также розовое, внизу справа) охватывает этот третий заданный круг, но исключает два других. Два сопряженных круга решения связаны инверсией по следующему аргументу.

В общем, любые три различных круга имеют уникальный круг — радикальный круг — который пересекает их все перпендикулярно; центр этого круга является радикальным центром трех кругов. Для иллюстрации оранжевый круг на рисунке 6 пересекает заданные черные круги под прямым углом. Инверсия в радикальном круге оставляет данные круги неизменными, но превращает два сопряженных розовых круга решения друг в друга. При той же инверсии соответствующие точки касания двух окружностей решения преобразуются друг в друга; для иллюстрации на рисунке 6 две синие точки, лежащие на каждой зеленой линии, преобразуются друг в друга. Следовательно, линии, соединяющие эти сопряженные точки касания, инвариантны относительно инверсии; следовательно, они должны пройти через центр инверсии, который является радикальным центром (зеленые линии, пересекающиеся с оранжевой точкой на рисунке 6).

Инверсия в кольцо

Если две из трех данных окружностей не пересекаются, можно выбрать центр инверсии так, чтобы эти две данные окружности стали концентрическими . При этой инверсии круги решения должны находиться внутри кольца между двумя концентрическими кругами. Следовательно, они принадлежат к двум однопараметрическим семействам. В первом семействе (рис. 7) решения не охватывают внутренний концентрический круг, а вращаются, как шарикоподшипники, в кольце. Во втором семействе (рис. 8) круги решения заключают в себе внутренний концентрический круг. Обычно для каждого семейства существует четыре решения, что дает восемь возможных решений, соответствующих алгебраическому решению .

Рисунок 7: Круг решения (розовый) в первом семействе находится между концентрическими заданными кругами (черный). Двойной радиус решения r _s равен разнице r _external − r _Internal внутреннего и внешнего радиусов, а удвоенное его межосевое расстояние d _s равно их сумме.

Рисунок 8: Круг решения (розовый) во втором семействе окружает внутренний заданный круг (черный). Двойной радиус решения r _s равен сумме r _{внешнего} + r _{внутреннего} внутреннего и внешнего радиусов, а удвоенное его межосевое расстояние d _s равно их разнице.

Когда две из данных окружностей концентричны, задачу Аполлония легко решить методом Гаусса . Радиусы трех данных окружностей известны, как и расстояние dnon _. от общего концентрического центра до неконцентрической окружности (рис. 7) Круг решения можно определить по его радиусу r _s , углу θ и расстояниям d _s и d _T от его центра до общего концентрического центра и центра неконцентрического круга соответственно. радиус и расстояние d _s Известны ), а также расстояние d _T = rs _{в зависимости от того ,} ± rnon _{(рис. 7} касается ли окружность решения внутренне или внешне касательно неконцентрической окружности. Следовательно, по косинусов закону

$\cos \theta ={\frac {d_{\mathrm {s} }^{2}+d_{\mathrm {non} }^{2}-d_{\mathrm {T} }^{2}}{2d_{\mathrm {s} }d_{\mathrm {non} }}}\equiv C_{\pm }.$

новая константа C Здесь для краткости определена , с нижним индексом, указывающим, является ли решение внешним или внутренним касательным. Простая тригонометрическая перестановка дает четыре решения.

$\theta =\pm 2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).$

Эта формула представляет четыре решения, соответствующие двум выборам знака θ и двум C. выборам Остальные четыре решения можно получить тем же методом, используя замены r _s и d _s, указанные на рисунке 8. Таким образом, все восемь решений общей задачи Аполлония можно найти этим методом.

Любые исходные две непересекающиеся заданные окружности можно сделать концентрическими следующим образом. Построена радикальная ось двух данных окружностей; выбрав две произвольные точки P и Q на этой радикальной оси, можно построить две окружности с центрами в P и Q и пересекающие две заданные окружности ортогонально. Эти две построенные окружности пересекаются друг с другом в двух точках. Инверсия в одной такой точке пересечения F превращает построенные окружности в прямые, исходящие из F , а две заданные окружности — в концентрические окружности, причем третья заданная окружность становится другой окружностью (вообще говоря). Это следует из того, что система кругов эквивалентна набору аполлонических кругов , образующих биполярную систему координат .

Изменение размера и инверсия

Полезность инверсии можно значительно повысить за счет изменения размера. Как отмечено в реконструкции Вьета , размеры трех заданных кругов и круга решения можно изменять одновременно, сохраняя при этом их касания. Таким образом, первоначальная проблема Аполлония трансформируется в другую задачу, которую, возможно, будет легче решить. Например, размер четырех кругов можно изменить так, чтобы один из кругов сжался до точки; альтернативно, размеры двух заданных кругов часто можно изменить так, чтобы они касались друг друга. В-третьих, заданные пересекающиеся круги можно изменить в размере так, чтобы они стали непересекающимися, после чего метод обращения к кольцу можно применить . Во всех таких случаях решение исходной проблемы Аполлония получается из решения преобразованной проблемы путем отмены изменения размера и инверсии.

Сжатие одного заданного круга до точки

При первом подходе данные окружности сжимаются или раздуваются (соответственно их касанию) до тех пор, пока одна заданная окружность не сожмется до P. точки В этом случае проблема Аполлония вырождается в CCP предельный случай , который представляет собой проблему нахождения круга решения, касательного двух оставшихся данных кругов, проходящего через P. точку Инверсия в круге с центром в P преобразует два заданных круга в новые, а круг решения в линию. Следовательно, преобразованное решение представляет собой линию, касающуюся двух преобразованных данных окружностей. Таких линий решения четыре, которые можно построить из внешних и внутренних центров подобия двух окружностей. Повторное обращение в P и отмена изменения размера преобразуют такую ​​линию решения в желаемый круг решения исходной задачи Аполлония. Все восемь общих решений можно получить путем сжатия и раздувания окружностей в соответствии с различными внутренними и внешними касаниями каждого решения; однако разные данные круги могут быть сжаты до точки для разных решений.

Изменение размера двух заданных кругов до касания

Во втором подходе радиусы данных кругов соответствующим образом изменяются на величину Δ r, так что два из них являются касательными (касающимися). Точка их касания выбирается как центр инверсии в окружности , пересекающей каждую из двух соприкасающихся окружностей в двух местах. При инверсии соприкасающиеся круги становятся двумя параллельными линиями: их единственная точка пересечения при инверсии уходит в бесконечность, поэтому они не могут встретиться. Та же инверсия превращает третий круг в другой круг. Решением обратной задачи должно быть либо (1) прямая линия, параллельная двум заданным параллельным линиям и касающаяся преобразованной третьей заданной окружности; или (2) окружность постоянного радиуса, касающаяся двух данных параллельных прямых и преобразованной данной окружности. Повторная инверсия и регулировка радиусов всех кругов на Δ r дает круг решения, касающийся исходных трех кругов.

Решение Жергонна

Рисунок 9: Две касательные линии двух точек касания данного круга пересекаются на радикальной оси R (красная линия) двух кругов решения (розовый). Три точки пересечения на R являются полюсами линий, соединяющих синие точки касания в каждом данном круге (черный).

Подход Жергонна состоит в том, чтобы рассматривать круги решения попарно. Пусть пара окружностей решения обозначается как CA _{(розовые кружки на рисунке 6), а} и C _B их точки касания с тремя заданными кружками обозначаются как A ₁ , A ₂ , A ₃ и B ₁ , B ₂ , В ₃ соответственно. Решение Жергонна направлено на поиск этих шести точек и, таким образом, нахождение двух кругов решения.

линию L1 _{, то эти две точки} что если можно построить чтобы на нее гарантированно падали A1 _{том ,} и B1 _{Идея Жергонна заключалась в} можно было бы идентифицировать как точки пересечения L1 ₍ с заданным кругом C1 _{так ,} рис. 6). четыре точки касания будут расположены аналогичным образом, если найти L3 _A2 , содержащие _A3 и B2 _{соответственно} , а _{Остальные} также и _L2 B3 и _линии . Чтобы построить линию типа L ₁ , необходимо определить две точки, лежащие на ней; но эти точки не обязательно должны быть точками касания. Жергонн смог определить еще две точки для каждой из трех линий. Одна из двух точек уже определена: радикальный центр G лежит на всех трех прямых (рис. 6).

Чтобы найти вторую точку на линиях L ₁ , L ₂ и L ₃ , Жергонн отметил обратную связь этими линиями и осью R кругов решения CA _и радикальной CB _между . Чтобы понять эту взаимосвязь, рассмотрим две касательные линии к окружности C _1, проведенные в точках ее касания A ₁ и B ₁ с окружностями решения; пересечение этих касательных линий является полюса точкой L ₁ в C ₁ . Поскольку расстояния от этой точки полюса до точек касания A ₁ и B ₁ равны, эта точка полюса также должна лежать на радикальной оси R окружностей решения по определению (рис. 9). Отношения между полюсными точками и их полярными линиями взаимны; если полюс L1 _то в C1 _{наоборот ,} лежит на R полюс R в C1 _, должен лежать на L1 _, . образом, если мы сможем построить R , мы сможем найти его полюс в _P1 C1 , _{(рис. 10 )} дав нужную вторую точку на L1 _Таким .

Рисунок 10: Полюса (красные точки) радикальной оси R в трех заданных кругах (черные) лежат на зеленых линиях, соединяющих точки касания. Эти линии могут быть построены из полюсов и радикального центра (оранжевого цвета).

Жергонн нашел радикальную ось R окружностей неизвестного решения следующим образом. Любая пара окружностей имеет два центра подобия ; эти две точки являются двумя возможными пересечениями двух касательных к двум окружностям. Следовательно, три данных круга имеют шесть центров подобия, по два на каждую отдельную пару данных кругов. Примечательно, что эти шесть точек лежат на четырех линиях, по три точки на каждой линии; при этом каждая линия соответствует радикальной оси потенциальной пары окружностей решения. Чтобы показать это, Жергонн рассмотрел прямые, проходящие через соответствующие точки касания на двух из данных окружностей, например линию, определяемую A ₁ / A _{2 ,} и линию, определяемую B ₁ / B ₂ . Пусть X ₃ — центр подобия двух окружностей C ₁ и C ₂ ; тогда A ₁ / A ₂ и B ₁ / B ₂ являются парами антигомологичных точек , а их прямые пересекаются в точке X ₃ . Отсюда следует, что произведения расстояний равны

${\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}$

откуда следует, что X ₃ лежит на радикальной оси двух окружностей решения. Тот же аргумент можно применить и к другим парам окружностей, так что три центра подобия для данных трех окружностей должны лежать на радикальных осях пар решающих окружностей.

Таким образом, искомая линия L ₁ определяется двумя точками: радикальным центром G трех данных окружностей и полюсом в C ₁ одной из четырех линий, соединяющих гомотетические центры. Нахождение одного и того же полюса в C ₂ и C ₃ дает L ₂ и L ₃ соответственно; таким образом, можно найти все шесть точек, из которых можно найти одну пару окружностей решения. Повторение этой процедуры для оставшихся трех линий гомотетических центров дает еще шесть решений, всего давая восемь решений. Однако, если прямая Lk _. не пересекает свою окружность для _Ck некоторого k , не существует пары решений для этой линии с гомотетичным центром

Теория пересечений

Методы современной алгебраической геометрии и, в частности, теории пересечений , могут быть использованы для решения проблемы Аполлония. В этом подходе проблема интерпретируется по-новому как утверждение об окружностях в комплексной проективной плоскости . Допускаются решения, включающие комплексные числа , а вырожденные ситуации учитываются с кратностью. Когда это сделано, всегда есть восемь решений проблемы.

Каждое квадратное уравнение в X , Y и Z определяет уникальную конику, ее исчезающую точку. И наоборот, каждая коника на комплексной проективной плоскости имеет уравнение, и это уравнение уникально с точностью до общего масштабного коэффициента (поскольку изменение масштаба уравнения не меняет его исчезающего местоположения). Следовательно, множество всех коник может быть параметризовано пятимерным проективным пространством P ⁵ , где находится переписка

$\{[X:Y:Z]\in \mathbf {P} ^{2}\colon AX^{2}+BXY+CY^{2}+DXZ+EYZ+FZ^{2}=0\}\leftrightarrow [A:B:C:D:E:F]\in \mathbf {P} ^{5}.$

Окружность : в комплексной проективной плоскости определяется как коника, проходящая через две точки O ₊ = [1 : i : 0] и O ₋ = [1 : − i 0] , где i обозначает квадратный корень из − 1 . Точки O ₊ и O− _. называются точками круговыми Проективное многообразие всех окружностей — это подмногообразие P ⁵ состоящее из тех точек, которые соответствуют коникам, проходящим через круговые точки. Подстановка круговых точек в уравнение для общей коники дает два уравнения

$A+Bi-C=0,$

$A-Bi-C=0.$

Суммирование и разность этих уравнений показывает, что это эквивалентно наложению условий

$A=C$ и $B=0$.

Следовательно, многообразие всех окружностей представляет собой трехмерное линейное подпространство в P ⁵ . После изменения масштаба и завершения квадрата эти уравнения также показывают, что каждая коника, проходящая через круговые точки, имеет уравнение вида

$(X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2}=r^{2}Z^{2},$

что является усреднением обычного уравнения окружности в аффинной плоскости. Поэтому изучение кругов в указанном выше смысле почти эквивалентно изучению кругов в общепринятом смысле. Единственная разница состоит в том, что вышеупомянутый смысл допускает вырожденные круги, которые представляют собой объединение двух прямых. Невырожденные окружности называются гладкими , а вырожденные — особыми . Существует два типа особых кругов. Один из них — это объединение бесконечной линии Z = 0 с другой прямой в проективной плоскости (возможно, снова бесконечной линии), а другой — объединение двух прямых в проективной плоскости, по одной через каждую из двух круговых точек. Это пределы гладких окружностей, когда радиус r стремится к +∞ и 0 соответственно. В последнем случае ни одна точка ни на одной из двух линий не имеет реальных координат, за исключением начала координат [0:0:1] .

Пусть D — фиксированный гладкий круг. Если C — любая другая окружность, то по определению окружности C и D пересекаются в круговых точках O ₊ и O ₋ . Поскольку C и D являются кониками, теорема Безу подразумевает, что C и D пересекаются всего в четырех точках, если эти точки подсчитываются с правильной кратностью пересечения . То есть существует четыре точки пересечения O ₊ , O ₋ , P и Q , но некоторые из этих точек могут сталкиваться. Проблема Аполлония связана с ситуацией, когда P = Q , что означает, что кратность пересечения в этой точке равна 2 ; если P также равна круговой точке, это следует интерпретировать как кратность пересечения, равную 3 .

Пусть Z _D — многообразие окружностей, касающихся D . Это многообразие представляет собой квадрику в P ³ из всех кругов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим соответствие заболеваемости

$\Phi =\{(r,C)\in D\times \mathbf {P} ^{3}\colon C{\text{ is tangent to }}D{\text{ at }}r\}.$

Для кривой, которая является исчезающим локусом одного уравнения f = 0 , условие, что кривая пересекает D в точке r с кратностью m, означает, что в ряд Тейлора разложение f | _D исчезает до порядка m в точке r ; следовательно, это m линейных условий на коэффициенты f . Это показывает, что для каждого r слой Φ над r является P ¹ вырезанное двумя линейными уравнениями в пространстве окружностей. Следовательно, Φ неприводима размерности 2 . Поскольку можно представить окружность, касающуюся D только в одной точке, общий элемент Z _D должен касаться только в одной точке. Следовательно, проекция Φ → P ² отправка ( r , C ) в C является бирациональным морфизмом . Отсюда следует, что образ Φ , который есть Z _D , также неприводим и двумерен.

Чтобы определить форму Z _D , зафиксируйте две различные окружности C ₀ и C _∞ , не обязательно касающиеся D . Эти два круга определяют карандаш , то есть линию L в P ³ кругов. Если уравнения C ₀ и C _∞ равны f и g соответственно, то точки на L соответствуют окружностям, уравнениями которых являются Sf + Tg , где [ S : T ] — точка P ¹ . Точки, где L встречается с Z _D, — это в точности круги на карандаше, касающиеся D .

Есть два варианта количества точек пересечения. Во-первых, либо f , либо g , скажем, , являются уравнением для D. f В данном случае L — линия, проходящая D. через Если C _∞ касается D , то так же касается и любой окружности в пучке, и, следовательно, L содержится в Z _D . Другая возможность состоит в том, что ни f, ни g не являются уравнением для D . В этом случае функция ( f / g )| _D — частное квадратичных чисел, ни одно из которых не обращается в нуль тождественно. Следовательно, оно обращается в нуль в двух точках и имеет полюсы в двух точках. Это точки из C0 _∩ ∩ D и C _∞ соответственно , D посчитанные с кратностью и с вычетом круговых точек. Рациональная функция определяет морфизм D → P ¹ второй степени. Слой над [ S : T ] ∈ P ¹ — это набор точек P, для которых f ( P ) T знак равно g ( P ) S . Это как раз те точки, в которых окружность, уравнением которой является Tf − Sg, пересекает D . Точками ветвления этого морфизма являются окружности, касающиеся D . По формуле Римана–Гурвица имеется ровно две точки ветвления, и поэтому L пересекает Z _D в двух точках. Вместе эти две возможности пересечения L и Z _D демонстрируют, что Z _D является квадратичным конусом. Все такие конусы в P ³ одинаковы с точностью до замены координат, так что это полностью определяет форму Z _D .

В заключение предположим, что D ₁ , D ₂ и D ₃ — три круга. Если пересечение Z _{D 1} ∩ Z _{D 2} ∩ Z _{D 3} конечно, то оно имеет степень 2 ³ = 8 , и, следовательно, существует восемь решений проблемы Аполлония, считая с кратностью. Чтобы доказать, что пересечение конечно конечно, рассмотрим соответствие инцидентности

$\Psi =\{(D_{1},D_{2},D_{3},C)\in (\mathbf {P} ^{3})^{4}\colon C{\text{ is tangent to all }}D_{i}\}.$

Существует морфизм, который проецирует Ψ на его последний фактор P ³ . Слой над C — это Z _C ³ . Это имеет размерность 6 , поэтому Ψ имеет размерность 9 . Потому что ( П ³ ) ³ также имеет размерность 9 , общий слой проекции Ψ на первые три сомножителя не может иметь положительную размерность. Это доказывает, что в общем случае существует восемь решений, учитываемых с кратностью. Поскольку можно продемонстрировать конфигурацию, в которой восемь решений различны, в общей конфигурации все восемь решений должны быть различными.

Радиусы

В общей задаче с восемью кругами решения сумма обратных радиусов четырех кругов решения равна той же величине, что и обратные радиусы остальных четырех кругов решения.

Особые случаи

Десять комбинаций точек, кругов и линий

Основная статья: Особые случаи проблемы Аполлония

Задача Аполлония состоит в том, чтобы построить одну или несколько окружностей, касающихся трех заданных объектов на плоскости, которые могут быть окружностями, точками или линиями. Это порождает десять типов задач Аполлония, один из которых соответствует каждой комбинации окружностей, линий и точек, которые могут быть помечены тремя буквами: C , L или P , чтобы обозначить, являются ли данные элементы кругом, линией. или точку соответственно ( табл. 1 ). Например, тип задачи Аполлония с заданной окружностью, линией и точкой обозначается как CLP .

Некоторые из этих частных случаев решить гораздо проще, чем общий случай трех данных кругов. Два простейших случая — это задачи о проведении окружности через три заданные точки ( ППП ) или касательной к трем прямым ( ЛЛЛ ), которые были решены впервые Евклидом в его «Началах» . Например, проблему ГЧП можно решить следующим образом. Центр окружности решения одинаково удален от всех трех точек и, следовательно, должен лежать на серединном перпендикуляре любых двух. Следовательно, центр — это точка пересечения любых двух серединных перпендикуляров. Аналогично, в случае LLL центр должен лежать на линии, делящей пополам угол в трех точках пересечения трех заданных линий; следовательно, центр лежит в точке пересечения двух таких биссектрис. Поскольку в каждой точке пересечения трех данных прямых есть две такие биссектрисы, существует четыре решения общей задачи LLL ( вписанная и вписанная окружности треугольника, образованного тремя прямыми).

Точки и линии можно рассматривать как частные случаи кругов; точку можно рассматривать как круг бесконечно малого радиуса, а линию можно рассматривать как бесконечно большой круг, центр которого также находится в бесконечности. С этой точки зрения общая проблема Аполлония состоит в построении окружностей, касающихся трех данных окружностей. Девять других случаев, связанных с точками и линиями, можно рассматривать как предельные случаи общей задачи. Эти предельные случаи часто имеют меньше решений, чем общая проблема; например, замена данного круга данной точкой вдвое уменьшает количество решений, поскольку точку можно рассматривать как бесконечно малый круг, который касается либо внутренне, либо внешне.

Таблица 1: Десять типов проблемы Аполлония

Индекс	Код	Данные элементы	Количество решений (в общем)	Пример (решение розового цвета; заданные объекты черного цвета)
1	ГЧП	три очка	1
2	СТРАНИЦА	одна линия и две точки	2
3	ТОО	две линии и точка	2
4	CPP	один круг и две точки	2
5	LLL	три линии	4
6	CLP	один круг, одна линия и точка	4
7	КПК	два круга и точка	4
8	ХЛЛ	один круг и две линии	8
9	ККЛ	два круга и линия	8
10	ССС	три круга (классическая задача)	8

Количество решений

Рисунок 11: Задача Аполлония без решений. Круг решения (розовый) должен пересечь пунктирный заданный круг (черный), чтобы коснуться обоих других заданных кругов (также черных).

Задача подсчета числа решений разных типов задачи Аполлония относится к области перечислительной геометрии . Общее количество решений для каждого из десяти типов задачи Аполлония указано в таблице 1 выше. Однако особое расположение данных элементов может изменить количество решений. Например, задача Аполлония не имеет решения, если один круг разделяет два (рис. 11); чтобы коснуться обоих сплошных заданных кругов, круг решения должен пересечь пунктирный заданный круг; но этого он не может сделать, если хочет коснуться пунктирного круга по касательной. И наоборот, если все три данных окружности касаются одной и той же точки, то любая окружность, касающаяся одной и той же точки, является решением; такие задачи Аполлония имеют бесконечное множество решений. Если какой-либо из данных кругов тождественен, то существует также бесконечное количество решений. Если только два данных круга идентичны, существует только два различных данных круга; центры кругов решения образуют гиперболу , которая используется в одном решении проблемы Аполлония.

Исчерпывающее перечисление количества решений для всех возможных конфигураций трех заданных окружностей, точек или линий было впервые предпринято Мюрхедом в 1896 году. хотя более ранняя работа была проделана Столлом и учеба. Однако работа Мюрхеда была неполной; он был продлен в 1974 году а окончательный перечень 33 отдельных случаев был опубликован в 1983 году. Хотя решения проблемы Аполлония обычно встречаются парами, связанными инверсией , в некоторых случаях возможно нечетное количество решений, например, единственное решение для PPP или когда один или три из данных кругов сами являются решениями. (Пример последнего приведен в разделе, посвященном теореме Декарта .) Однако задач Аполлония с семью решениями не существует. Альтернативные решения, основанные на геометрии кругов и сфер, были разработаны и использованы в более высоких измерениях.

Взаимно касательные данные круги: круги Содди и теорема Декарта

Если три данных окружности касаются друг друга, задача Аполлония имеет пять решений. Три решения — это сами данные окружности, поскольку каждое касается самого себя и двух других данных окружностей. Остальные два решения (показаны красным на рисунке 12) соответствуют вписанной и описанной окружностям и называются окружностями Содди . Этот частный случай задачи Аполлония также известен как задача четырех монет . Три заданных круга этой задачи Аполлония образуют цепь Штейнера, касающуюся двух кругов Содди.

Рисунок 12: Два решения (красный) задачи Аполлония с заданными взаимно касающимися кругами (черный), отмеченными их кривизной.

Любой круг Содди, взятый вместе с тремя заданными кругами, образует набор из четырех кругов, которые касаются друг друга в шести точках. Радиусы этих четырех кругов связаны уравнением, известным как теорема Декарта . В письме 1643 года принцессе Елизавете Богемской : Рене Декарт показал, что

$(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{s}^{2})$

где k _s = 1/ r _s и r _s - кривизна и радиус окружности решения соответственно, и аналогично для кривизн k ₁ , k ₂ и k ₃ и радиусов r ₁ , r ₂ и r ₃ из трех заданных круги. Для каждого набора из четырех взаимно касающихся окружностей существует второй набор из четырех взаимно касающихся окружностей, которые касаются тех же шести точек.

Теорема Декарта была независимо переоткрыта в 1826 году Якобом Штайнером . в 1842 году Филип Бикрофт, и снова в 1936 году Фредериком Содди . Содди опубликовал свои выводы в научном журнале Nature в виде стихотворения «Точный поцелуй» , первые две строфы которого воспроизведены ниже. Первая строфа описывает круги Содди, тогда как вторая строфа дает теорему Декарта. В стихотворении Содди говорится, что два круга «целуются», если они касаются друг друга, тогда как термин «изгиб» относится к кривизне k круга.

Чтобы пары губ могли поцеловаться, возможно.
Не включает в себя тригонометрию.
«Это не так, когда целуются четыре круга
Каждый другой трое.
Чтобы добиться этого, четверка должна быть
Как три в одном или один в трёх.
Если каждый третий, вне всякого сомнения
Каждый получает по три поцелуя снаружи.
Если три в одном, то это один?
Трижды поцеловался внутри себя.

Четыре круга до поцелуев.
Чем меньше, тем более гибким.
Изгиб — это просто обратная сторона
Расстояние от центра.
Хотя их интрига оставила Евклида немым
Теперь нет необходимости в эмпирических правилах.
Поскольку нулевой изгиб - это мертвая прямая линия
И вогнутые изгибы имеют знак минус,
Сумма квадратов всех четырех изгибов
Составляет половину квадрата их суммы.

Различные расширения теоремы Декарта были получены Дэниелом Педо .

Обобщения

Задача Аполлония может быть расширена для построения всех окружностей, которые пересекают три заданных окружности под точным углом θ или под тремя заданными углами пересечения θ ₁ , θ ₂ и θ ₃ ; обычная задача Аполлония соответствует частному случаю, когда угол пересечения равен нулю для всех трех данных окружностей. Другое обобщение является двойственным к первому расширению, а именно: построение окружностей с тремя заданными касательными расстояниями из трех заданных окружностей.

Рисунок 13: Симметричная аполлоническая прокладка, также называемая набивкой Лейбница, в честь ее изобретателя Готфрида Лейбница .

Проблема Аполлония может быть распространена с плоскости на сферу и другие квадратичные поверхности . Для сферы задача состоит в том, чтобы построить все окружности (границы сферических шапочек ), касающиеся трёх заданных окружностей на сфере. Эту сферическую задачу можно преобразовать в соответствующую плоскую задачу с помощью стереографической проекции . После того как решения плоской задачи построены, соответствующие решения сферической задачи можно найти путем обращения стереографической проекции. В более общем плане можно рассмотреть проблему четырех касательных кривых, возникающих в результате пересечения произвольной квадратичной поверхности и четырех плоскостей, проблему, впервые рассмотренную Шарлем Дюпеном .

Путем многократного решения задачи Аполлония по нахождению вписанного круга промежутки между взаимно касательными кругами можно заполнить сколь угодно мелко, образуя аполлонову прокладку , также известную как упаковка Лейбница или аполлонова упаковка . Эта прокладка представляет собой фрактал , самоподобный и имеющий размерность d , которая точно не известна, но равна примерно 1,3. что выше, чем у правильной (или спрямляемой ) кривой ( d = 1), но меньше, чем у плоскости ( d = 2). Аполлоническая прокладка была впервые описана Готфридом Лейбницем в 17 веке и является изогнутым предшественником треугольника Серпинского 20 века . Аполлоническая прокладка также имеет глубокие связи с другими областями математики; например, это предельное множество клейновых групп .

Конфигурация окружности, касающейся четырех окружностей на плоскости, обладает особыми свойствами, которые выяснил Лармор (1891). и Лахлан (1893). Такая конфигурация также является основой теоремы Кейси : сама по себе является обобщением теоремы Птолемея .

Распространение проблемы Аполлония на три измерения, а именно задача о нахождении пятой сферы, касающейся четырех данных сфер, может быть решена аналогичными методами. Например, размер данной сферы и сферы решения можно изменить так, чтобы одна данная сфера сжималась до точки, сохраняя при этом касание. Инверсия в этой точке сводит задачу Аполлония к поиску плоскости, касающейся трех данных сфер. Всего существует восемь таких плоскостей, которые становятся решением исходной проблемы путем обратной инверсии и изменения размера. Эту задачу впервые рассмотрел Пьер Ферма . и на протяжении веков было разработано множество альтернативных методов решения.

Проблему Аполлония можно даже распространить на d измерений, чтобы построить гиперсферы, касающиеся заданного набора из d + 1 гиперсфер. После публикации Фредериком Содди нового вывода теоремы Декарта в 1936 году несколько человек решили (независимо) случай взаимного касания, соответствующий кругам Содди в d -мерности.

Приложения

Основное применение проблемы Аполлония, сформулированной Исааком Ньютоном, — это гиперболическая трилатерация , которая пытается определить положение по разнице расстояний как минимум до трех точек. Например, судно может попытаться определить свое положение по разнице во времени поступления сигналов от трех синхронизированных передатчиков. Решения проблемы Аполлония использовались во время Первой мировой войны для определения местоположения артиллерийского орудия по моменту, когда был слышен выстрел в трех разных позициях: а гиперболическая трилатерация — это принцип, используемый системами Decca Navigator и LORAN . Аналогично, местоположение самолета может быть определено по разнице времен прибытия сигнала его транспондера на четыре приемные станции. Эта многолатерационная проблема эквивалентна трехмерному обобщению проблемы Аполлония и применима к глобальным навигационным спутниковым системам (см. GPS#Geometric Interpretation ). Он также используется для определения положения вызывающих животных (таких как птицы и киты), хотя проблема Аполлония не имеет отношения к делу, если скорость звука меняется в зависимости от направления (т. е. среда передачи не изотропна ).

Проблема Аполлония имеет и другие приложения. В книге 1, предложении 21 в своих «Началах » Исаак Ньютон использовал свое решение проблемы Аполлония для построения орбиты в небесной механике на основе центра притяжения и наблюдений касательных линий к орбите, соответствующей мгновенной скорости . Частный случай проблемы Аполлония, когда все три круга касаются друг друга, используется в методе кругов Харди – Литтлвуда аналитической теории чисел для построения контура Ганса Радемахера для комплексного интегрирования, заданного границами бесконечного набора кругов Форда , каждый из которых из которых касается нескольких других. Наконец, проблема Аполлония была применена к некоторым типам проблем упаковки , которые возникают в различных областях, таких как коды с исправлением ошибок, используемые на DVD-дисках , и разработка фармацевтических препаратов, которые связываются с определенным ферментом патогенной бактерии .

См. также

• точка Аполлония
• Теория Аполлония
• Изодинамическая точка треугольника

Дальнейшее чтение

• Бойд, Д.В. (1973). «Соприкасающаяся упаковка трехмерной сферы» . Канадский математический журнал . 25 (2): 303–322. дои : 10.4153/CJM-1973-030-5 . S2CID   120042053 .
• Калландро, Эдуард (1949). Известные математические задачи (на французском языке). Париж: Альбин Мишель. стр. 219–226. OCLC   61042170 .
• Камерер, Дж. Г. (1795). Сохранившиеся «De Tactionibus» Аполлония и большинство лемм Паппа, впервые опубликованные в этих книгах на греческом языке, на основе рукописных кодексов, с восстановлением книг Аполлония Витами, с добавленными наблюдениями, расчетами и проблемы истории Аполлония (на латыни). Гота: Эттингер.
• Гиш Д., Рибандо Дж. М. (2004). «Проблема Аполлония: исследование решений и их связей» (PDF) . Американский журнал студенческих исследований . 3 :15–25. дои : 10.33697/ajur.2004.010 .
• Папп Александрийский (1933). Папп Александрийский: Математический сборник (на французском языке). Париж. OCLC   67245614 . {{cite book}}: CS1 maint: местонахождение отсутствует, издатель ( ссылка ) Пер., введение и примечания Пола Вера Экке.
• Саймон, М (1906). О развитии элементарной геометрии в XIX веке. Век (на немецком языке). Берлин: Тойбнер. стр. 97–105.
• Уэллс, Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 3–5 . ISBN  0-14-011813-6 .

Внешние ссылки

• «Спросите решение доктора Математика» . Матфорум . Проверено 5 мая 2008 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Проблема Аполлония» . Математический мир .
• «Проблема Аполлония» . Разрезать узел . Проверено 5 мая 2008 г.
• Кункель, Пол. «Касательные круги» . Уистлер Аллея . Проверено 5 мая 2008 г.
• Остин, Дэвид (март 2006 г.). «Когда поцелуи связаны с тригонометрией» . Тематическая колонка на веб-сайте Американского математического общества . Проверено 5 мая 2008 г.