Геометрия сферы лжи

Софус Ли, создатель геометрии сферы Ли и соответствия линии-сферы.

Геометрия сферы Ли — это геометрическая теория плоской или пространственной геометрии , в которой фундаментальным понятием является круг или сфера . Его ввел Софус Ли в девятнадцатом веке. Основная идея, которая приводит к геометрии сферы Ли, заключается в том, что линии (или плоскости) следует рассматривать как круги (или сферы) бесконечного радиуса, а точки на плоскости (или пространстве) следует рассматривать как круги (или сферы) нулевого радиуса. .

Пространство окружностей на плоскости (или сфер в пространстве), включая точки и прямые (или плоскости), оказывается многообразием, известным как квадрика Ли ( квадрика гиперповерхности в проективном пространстве ). Геометрия сферы Ли — это геометрия квадрики Ли и сохраняющих ее преобразований Ли. Эту геометрию может быть трудно визуализировать, поскольку преобразования Ли вообще не сохраняют точки: точки можно преобразовать в круги (или сферы).

Чтобы справиться с этим, кривые на плоскости и поверхности в пространстве изучаются с использованием их контактных лифтов , которые определяются их касательными пространствами . Это обеспечивает естественную реализацию соприкасающегося круга с кривой и сфер кривизны поверхности. Это также позволяет естественным образом лечить циклиды Дюпена и концептуально решить проблему Аполлония .

Геометрию сферы Ли можно определить в любом измерении, но наиболее важными являются плоскость и трехмерное пространство. В последнем случае Ли заметил замечательное сходство между квадрикой Ли сфер в 3-мерном измерении и пространством прямых в 3-мерном проективном пространстве, которое также является квадрикой гиперповерхностью в 5-мерном проективном пространстве, называемой плюкеровской гиперповерхностью. или квадрика Клейна . Это сходство привело Ли к его знаменитому «соответствию линия-сфера» между пространством линий и пространством сфер в трехмерном пространстве.

Основные понятия

Ключевое наблюдение, которое приводит к геометрии сферы Ли, заключается в том, что теоремы евклидовой геометрии на плоскости (соответственно в пространстве), которые зависят только от понятий окружностей (соответственно сфер) и их тангенциального контакта , имеют более естественную формулировку в более общей форме. контекст, в котором круги, линии и точки (соответственно сферы, плоскости и точки) рассматриваются на равных. Это достигается в три этапа. идеальная точка, находящаяся на бесконечности Сначала к евклидову пространству добавляется , так что линии (или плоскости) можно рассматривать как круги (или сферы), проходящие через точку на бесконечности (т. е. имеющие бесконечный радиус ). Это расширение известно как инверсная геометрия с автоморфизмами, известными как «преобразования Мёбиуса». Во-вторых, точки рассматриваются как круги (или сферы) нулевого радиуса. Наконец, по техническим причинам кругам (или сферам), включая линии (или плоскости), придается ориентация .

Эти объекты, т. е. точки, ориентированные окружности и ориентированные прямые на плоскости, или точки, ориентированные сферы и ориентированные плоскости в пространстве, иногда называют циклами или циклами Ли. Оказывается, они образуют квадрику гиперповерхности в проективном пространстве размерности 4 или 5, известную как квадрика Ли. Естественные симметрии этой квадрики образуют группу преобразований, известных как преобразования Ли. Эти преобразования вообще не сохраняют точки: они являются преобразованиями квадрики Ли, а не плоскости/сферы плюс точка на бесконечности. Преобразования, сохраняющие точки, — это в точности преобразования Мёбиуса. Преобразования Ли, которые фиксируют идеальную точку на бесконечности, являются преобразованиями Лагерра геометрии Лагерра . Эти две подгруппы порождают группу преобразований Ли, а их пересечением являются преобразования Мёбиуса, фиксирующие идеальную точку на бесконечности, а именно аффинные конформные отображения.

Эти группы также имеют прямую физическую интерпретацию: как отметил Гарри Бейтман , преобразования сферы Ли идентичны сферическим волновым преобразованиям , которые оставляют форму уравнений Максвелла неизменной. Кроме того, Эли Картан , Анри Пуанкаре и Вильгельм Блашке указывали, что группа Лагерра просто изоморфна группе Лоренца специальной теории относительности (см. Группа Лагерра, изоморфная группе Лоренца ). В конце концов, существует также изоморфизм между группой Мёбиуса и группой Лоренца (см. Группа Мёбиуса # Преобразование Лоренца ).

Геометрия сферы Ли на плоскости

Квадрика лжи

Квадрика Ли плоскости определяется следующим образом. Пусть Р ^3,2 обозначим пространство R ⁵ из 5 кортежей действительных чисел, снабженных сигнатурой ( 3,2) симметричной билинейной формы, определяемой формулой

$(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\cdot (y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})=-x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{3}.$

Линейчатый гиперболоид — это двумерный аналог квадрики Ли.

Проективное пространство R P ⁴ — пространство прямых, проходящих через начало координат в R ⁵ и является пространством ненулевых векторов x в R ⁵ до масштаба, где x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ). Плоская квадрика Ли Q состоит из точек [ x ] в проективном пространстве, представленных векторами x с x · x = 0.

Чтобы связать это с плоской геометрией, необходимо зафиксировать ориентированную времениподобную линию. Выбранные координаты предполагают использование точки [1,0,0,0,0] ∈ R P ⁴ . Тогда любая точка в квадрике Ли Q представлена ​​вектором x = λ(1,0,0,0,0) + v , где v ортогонален может быть (1,0,0,0,0). Поскольку [ x ] ∈ Q , v · v = λ ² ≥ 0.

Ортогональное пространство (1,0,0,0,0), пересекающееся с квадрикой Ли, представляет собой двумерную небесную сферу S в пространстве-времени Минковского . Это евклидова плоскость с идеальной точкой на бесконечности, которую мы принимаем равной [0,0,0,0,1]: конечные точки ( x , y ) на плоскости тогда представляются точками [ v ] = [0, x , y , −1, ( x ² + и ² )/2]; заметим, что v · v = 0, v · (1,0,0,0,0) = 0 и v · (0,0,0,0,1) = −1.

Следовательно, точки x = λ (1,0,0,0,0) + v на квадрике Ли с λ = 0 соответствуют точкам евклидовой плоскости с идеальной точкой, удаленной на бесконечность. С другой стороны, точки x с ненулевым λ соответствуют ориентированным окружностям (или ориентированным линиям, которые представляют собой окружности, проходящие через бесконечность) на евклидовой плоскости. Это легче увидеть на примере небесной сферы S : окружность, соответствующая [ λ (1,0,0,0,0) + v ] ∈ Q (при λ ≠ 0), представляет собой набор точек y ∈ S с y · v = 0. Окружность ориентирована, поскольку v / λ имеет определенный знак; [− λ (1,0,0,0,0) + v ] представляет тот же круг с противоположной ориентацией. Таким образом, изометрическое отображение отражения x → x + 2 ( x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0) индуцирует инволюцию ρ квадрики Ли, которая меняет ориентацию окружностей на обратную. и линии, а также фиксирует точкиплоскость (включая бесконечность).

Подводя итог: существует взаимно однозначное соответствие между точками на квадрике Ли и циклами на плоскости, где цикл — это либо ориентированная окружность (или прямая линия), либо точка на плоскости (или точка, находящаяся на бесконечности). ; точки можно рассматривать как круги нулевого радиуса, но они не ориентированы.

Частота циклов

что два цикла представлены точками [ x ], [ y ] ∈ Q. Предположим , Тогда x · y = 0 тогда и только тогда, когда соответствующие циклы «целуются», то есть встречаются с ориентированным контактом первого порядка . Если [ x ] ∈ S ≅ R ² ∪ {∞}, то это просто означает, что [ x ] лежит на окружности, соответствующей [ y ]; этот случай непосредственно следует из определения этого круга (если [ y ] соответствует точечному кругу, то x · y = 0 тогда и только тогда, когда [ x ] = [ y ]).

Поэтому остается рассмотреть случай, когда ни [ ] , ни [ y ] не находятся в S. x Без ограничения общности мы можем тогда взять x = (1,0,0,0,0) + v и y = (1,0,0,0,0) + w , где v и w — пространственноподобные единичные векторы в (1,0,0,0,0) ^⊥ . Таким образом в ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^⊥ и ш ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^⊥ являются сигнатурными (2,1) подпространствами (1,0,0,0,0) ^⊥ . Поэтому они либо совпадают, либо пересекаются в двумерном подпространстве. В последнем случае двумерное подпространство может иметь сигнатуру (2,0), (1,0), (1,1), и в этом случае соответствующие две окружности в S пересекаются в нуле, одной или двух точках соответственно. . Следовательно, они имеют контакт первого порядка тогда и только тогда, когда двумерное подпространство вырождено (сигнатура (1,0)), что справедливо тогда и только тогда, когда оболочка v и w вырождена. По тождеству Лагранжа это справедливо тогда и только тогда, когда ( v · w ) ² = ( v · v )( w · w ) = 1, т.е. тогда и только тогда, когда v · w = ± 1, т.е. x · y = 1 ± 1. Контакт ориентирован тогда и только тогда, когда v · w = – 1, т. е. x · y = 0.

Проблема Аполлония

Восемь решений общей аполлонической проблемы. Три заданных круга обозначены C1, C2 и C3 и окрашены в красный, зеленый и синий цвета соответственно. Решения распределены по четырем парам, по одному розовому и одному черному кругу решения, обозначенным как 1A/1B, 2A/2B, 3A/3B и 4A/4B. Каждая пара осуществляет ориентированный контакт с C1, C2 и C3 для подходящего выбора ориентации; таких вариантов четыре, вплоть до полной смены ориентации.

Наличие циклов в геометрии сферы Ли обеспечивает простое решение проблемы Аполлония . Эта проблема касается конфигурации трех различных кругов (которые могут быть точками или линиями): цель состоит в том, чтобы найти каждый второй круг (включая точки или линии), который касается всех трех исходных кругов. Для общей конфигурации окружностей таких касательных окружностей может быть не более восьми.

Решение с использованием геометрии сферы Ли происходит следующим образом. Выберите ориентацию для каждого из трех кругов (есть восемь способов сделать это, но вплоть до изменения ориентации всех трех существует только четыре). Это определяет три точки [ x ], [ y ], [ z ] на квадрике Q. Ли В силу инцидентности циклов решение аполлоновой задачи, совместимое с выбранными ориентациями, задается точкой [ q ] ∈ Q такой, что q ортогональна x , y и z . Если эти три вектора линейно зависимы , то соответствующие точки [ x ], [ y ], [ z ] лежат на прямой в проективном пространстве. Поскольку нетривиальное квадратное уравнение имеет не более двух решений, эта прямая фактически лежит в квадрике Ли, и любая точка [ q ] на этой прямой определяет цикл, инцидентный с [ x ], [ y ] и [ z ]. Таким образом, в этом случае существует бесконечно много решений.

Если вместо этого x , y и z линейно независимы, то подпространство V , ортогональное всем трем, является 2-мерным. Он может иметь сигнатуру (2,0), (1,0) или (1,1), и в этом случае существует ноль, одно или два решения для [ q ] соответственно. (Подпись не может быть (0,1) или (0,2), поскольку она ортогональна пространству, содержащему более одной нулевой строки.) В случае, когда подпространство имеет подпись (1,0), единственное решение q лежит в диапазоне x , y и z .

Общее решение аполлонической проблемы получается путем изменения ориентации некоторых кругов или, что то же самое, путем рассмотрения троек ( x , ρ ( y ), z ), ( x , y , ρ ( z )) и ( x , ρ ( y ), ρ ( z )).

Обратите внимание, что тройка ( ρ ( x ), ρ ( y ), ρ ( z )) дает те же решения, что и ( x , y , z ), но с полным изменением ориентации. Таким образом, существует не более 8 кругов решения аполлонической задачи, если только все три круга не пересекаются по касательной в одной точке, когда решений бесконечно много.

Преобразования лжи

Любой элемент группы O 3,2) ортогональных преобразований R ( ^3,2 отображает любое одномерное подпространство нулевых векторов в R ^3,2 в другое такое подпространство. Следовательно, группа O(3,2) действует на квадрике Ли. Эти преобразования циклов называются «преобразованиями Ли». Они сохраняют отношение инцидентности между циклами. Действие транзитивно , поэтому все циклы лиевски эквивалентны. В частности, точки не сохраняются при общих преобразованиях Ли. Подгруппа преобразований Ли, сохраняющих точечные циклы, по существу является подгруппой ортогональных преобразований, сохраняющих выбранное времениподобное направление. Эта подгруппа изоморфна группе O(3,1) преобразований Мёбиуса сферы. Его также можно охарактеризовать как централизатор инволюции ρ , которая сама по себе является преобразованием Ли.

Преобразования Ли часто можно использовать для упрощения геометрической задачи путем преобразования окружностей в линии или точки.

Контактные элементы и контактные лифты

Тот факт, что преобразования Ли вообще не сохраняют точки, также может быть помехой для понимания геометрии сферы Ли. В частности, понятие кривой не является инвариантом Ли. Эту трудность можно смягчить, если заметить, что существует инвариантное к Ли понятие контактного элемента .

Ориентированный контактный элемент на плоскости — это пара, состоящая из точки и ориентированной (т. е. направленной) линии, проходящей через эту точку. Точка и линия — это инцидентные циклы. Ключевое наблюдение состоит в том, что множество всех циклов, инцидентных как точке, так и прямой, является ли-инвариантным объектом: помимо точки и линии, оно состоит из всех окружностей, которые ориентированно контактируют с линией в данной точке. . Его называют пучком циклов Ли или просто контактным элементом .

Обратите внимание, что все циклы также инцидентны друг другу. В терминах квадрики Ли это означает, что пучок циклов представляет собой (проективную) прямую, целиком лежащую на квадрике Ли, т. е. является проективизацией вполне нулевого двумерного подпространства в R ^3,2 : все репрезентативные векторы циклов в пучке ортогональны друг другу.

Множество всех прямых на квадрике Ли представляет собой трехмерное многообразие, называемое пространством контактных элементов Z ³ . Преобразования Ли сохраняют контактные элементы и действуют транзитивно на Z ³ . Для данного выбора точечных циклов (точек, ортогональных выбранному времениподобному вектору v ) каждый контактный элемент содержит уникальную точку. Это определяет карту из Z ³ к 2-сфере S ² волокнами которого являются круги. Это отображение не инвариантно Ли, поскольку точки не инвариантны Ли.

Пусть γ :[ a , b ] → R ² быть ориентированной кривой. Тогда γ определяет отображение λ из интервала [ a , b ] в Z ³ отправив t на контактный элемент, соответствующий точке γ ( t ), и ориентированную линию, касательную к кривой в этой точке (линию в направлении γ '( t )). Это отображение называется контактным лифтом γ λ .

На самом деле З ³ является контактным многообразием и контактная структура инвариантна Ли. Отсюда следует, что ориентированные кривые можно изучать инвариантным Ли способом через их контактные лифты, которые в общем виде можно охарактеризовать как лежандровы кривые в Z ³ . Точнее, касательное пространство к Z ³ в точке, соответствующей нулевому 2-мерному подпространству π в R ^3,2 — подпространство этих линейных отображений (A mod π ): π → R ^3,2 / π с

А ( Икс ) · у + Икс · А ( у ) знак равно 0

а контактное распределение — это подпространство Hom( π , π ^⊥ / π ) этого касательного пространства в пространстве Hom( π , R ^3,2 / π ) линейных отображений.

Отсюда следует, что погруженная лежандрова кривая λ в Z ³ имеет предпочтительный цикл Ли, связанный с каждой точкой кривой: производная погружения в точке t представляет собой одномерное подпространство Hom( π , π ^⊥ / π ), где π знак равно λ ( т ); ядро любого ненулевого элемента этого подпространства является корректно определенным 1-мерным подпространством π , т. е. точкой на квадрике Ли.

Говоря более привычными терминами, если λ — подъемная сила контакта кривой γ на плоскости, то предпочтительным циклом в каждой точке является соприкасающаяся окружность . Другими словами, после рассмотрения контактных лифтов большая часть базовой теории кривых на плоскости является инвариантной Ли.

Геометрия сферы лжи в пространстве и более высоких измерениях

Общая теория

Геометрия сферы Ли в n -мерности получается заменой R ^3,2 (соответствует квадрике Ли в n = 2 измерениях) на R ^{п + 1, 2} . это Р ^{п + 3} оснащен симметричной билинейной формой

$(x_{0},x_{1},\ldots x_{n},x_{n+1},x_{n+2})\cdot (y_{0},y_{1},\ldots y_{n},y_{n+1},y_{n+2})$

$=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{n+1}.$

Квадрика Ли Q _n снова определяется как множество [ x ] ∈ R P ^{п +2} = Р( Р ^{п +1,2} ) с x · x = 0. Квадрика параметризует ориентированные ( n – 1)-сферы в n -мерном пространстве, включая гиперплоскости и точечные сферы как предельные случаи. Заметим, что Q _n — (n + 1)-мерное многообразие (сферы параметризуются центром и радиусом).

Отношение инцидентности сохраняется без изменения: сферы, соответствующие точкам [ x ], [ y ] ∈ Qn _, имеют ориентированный контакт первого порядка тогда и только тогда, когда x · y = 0. Группа преобразований Ли теперь равна O(n + 1 , 2) и преобразования Ли сохраняют инцидентность циклов Ли.

Пространство контактных элементов представляет собой (2 n – 1)-мерное контактное многообразие Z ^{2н 1 –} : с точки зрения данного выбора точечных сфер, эти контактные элементы соответствуют парам, состоящим из точки в n -мерном пространстве (которой может быть точка, находящаяся на бесконечности) вместе с ориентированной гиперплоскостью, проходящей через эту точку. Пространство Z ^{2н 1 –} поэтому изоморфно проективизированному кокасательному расслоению -сферы n . Это отождествление не инвариантно относительно преобразований Ли: в терминах лиевской инвариантности Z ^{2н 1 –} — пространство (проективных) прямых на квадрике Ли.

Любая погруженная ориентированная гиперповерхность в n -мерном пространстве имеет контактный подъем на Z ^{2н 1 –} определяется его ориентированными касательными пространствами . Больше не существует предпочтительного цикла Ли, связанного с каждой точкой: вместо этого существует n – 1 таких циклов, соответствующих сферам кривизны в евклидовой геометрии.

Проблема Аполлония имеет естественное обобщение, включающее n + 1 гиперсферу в n измерениях.

Три измерения и соответствие линии и сферы

В случае n =3 квадрика Q ₃ в P( R ^4,2 ) описывает (лиеву) геометрию сфер в евклидовом 3-мерном пространстве. Ли заметил замечательное сходство с соответствием Клейна для прямых в трехмерном пространстве (точнее, в R P ³ ).

Предположим, [ x ], [ y ] ∈ R P ³ , с однородными координатами ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и ( y ₀ , y ₁ , y ₂ , y ₃ ). Положите p _{ij знак} равно x _i y _j - x _j y _i . Это однородные координаты проективной прямой, соединяющей x и y . Существует шесть независимых координат, и они удовлетворяют одному соотношению - соотношению Плюкера.

р ₀₁ р ₂₃ + р ₀₂ р ₃₁ + р ₀₃ р ₁₂ = 0.

существует взаимно однозначное соответствие. Отсюда следует, что между строками в R P ³ на квадрике Клейна квадричной гиперповерхностью точек p01 _{, которая} , p23 _и , p02 _в , p31 _точки , p03 _, [ p12 _{является} ] R P ⁵ удовлетворяющее соотношению Плюкера.

Квадратичная форма , определяющая соотношение Плюкера, происходит от симметричной билинейной формы сигнатуры (3,3). Другими словами, пространство прямых в R P ³ – квадрика в P( R ^3,3 ). Хотя это не то же самое, что квадрика Ли, «соответствие» между линиями и сферами можно определить с помощью комплексных чисел : если x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ) точку на (комплексифицированной) квадрике Ли (т. е. x _i считаются комплексными числами), тогда

р ₀₁ = х ₀ + х ₁ , р ₂₃ = – х ₀ + х ₁

п ₀₂ = Икс ₂ + я Икс ₃ , п ₃₁ = Икс ₂ – я Икс ₁

п ₀₃ = х ₄ , п ₁₂ = х ₅

определяет точку на комплексифицированной квадрике Клейна (где i ² = –1).

Циклиды Дюпена

Циклида Дюпена.

Геометрия сферы Ли обеспечивает естественное описание циклид Дюпена . Они характеризуются как общая оболочка двух однопараметрических семейств сфер S ( s ) и T ( t ), где S и T — отображения интервалов в квадрику Ли. Чтобы существовала общая оболочка, S ( s ) и T ( t ) должны быть инцидентными для всех s и t , т.е. их репрезентативные векторы должны охватывать нулевое двумерное подпространство R ^4,2 . Следовательно, они определяют отображение в пространство контактных элементов Z ⁵ . Это отображение является лежандровым тогда и только тогда, когда производные S (или T ) ортогональны T (или S ), т. е. тогда и только тогда, когда существует ортогональное разложение R ^4,2 в прямую сумму трехмерных подпространств σ и τ сигнатуры (2,1), таких, что S принимает значения в σ , а T принимает значения в τ . И наоборот, такое разложение однозначно определяет контактный подъем поверхности, охватывающей два однопараметрических семейства сфер; образ этого контактного лифта задается нулевыми двумерными подпространствами, пересекающими σ и τ по паре нулевых прямых.

Такое разложение эквивалентно с точностью до выбора знака задается симметричным эндоморфизмом R ^4,2 квадрат которого равен единице и чьи собственные пространства ±1 равны σ и τ . Использование внутреннего продукта на R ^4,2 , это определяется квадратичной формой на R ^4,2 .

Подводя итог, циклиды Дюпена определяются квадратичными формами на R ^4,2 такой, что ассоциированный симметричный эндоморфизм имеет квадрат, равный единице, и собственные пространства сигнатуры (2,1).

Это дает один из способов увидеть, что циклиды Дюпена являются циклидами в том смысле, что они представляют собой нулевые множества квартик определенной формы. Для этого заметим, что, как и в плоском случае, трехмерное евклидово пространство вкладывается в квадрику Ли Q ₃ как множество точечных сфер, кроме идеальной точки на бесконечности. Явно точка (x,y,z) в евклидовом пространстве соответствует точке

[0, x , y , z , –1, ( x ² + и ² + я ² )/2]

в квартале ₃ . Циклида состоит из точек [0, x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ] ∈ Q ₃ , которые удовлетворяют дополнительному квадратичному соотношению

$\sum _{i,j=1}^{5}a_{ij}x_{i}x_{j}=0$

для некоторого симметричного 5 ×; 5 матрица A = ( a _ij ). Класс циклид представляет собой естественное семейство поверхностей в геометрии сфер Ли, а циклиды Дюпена образуют естественное подсемейство.

См. также

• Теорема Декарта также может включать рассмотрение линии как круга бесконечного радиуса.
• Квазисфера

Ссылки

• Вальтер Бенц (2007) Классические геометрии в современных контекстах: Геометрия реальных пространств внутреннего продукта , глава 3: Сферическая геометрия Мёбиуса и Ли, страницы 93–174, Биркхойзер , ISBN   978-3-7643-8541-5 .
• Блашке, Вильгельм (1929), «Дифференциальная геометрия кругов и сфер», Лекции по дифференциальной геометрии , Основные учения математических наук, том. 3, рыцарь .
• Сесил, Томас Э. (1992), Геометрия сферы Ли , Universitext, Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN  978-0-387-97747-8 .
• Хельгасон, Сигурдур (1994), «Софус Ли, математик» (PDF) , Труды конференции памяти Софуса Лия, Осло, август 1992 г. , Осло: Издательство Скандинавского университета, стр. 3–21 .
• Найт, Роберт Д. (2005), «Контактная задача Аполлония и контактная геометрия Ли», Journal of Geometry , 83 (1–2), Базель: Birkhäuser: 137–152, doi : 10.1007/s00022-005-0009-x , ISSN   0047-2468 .
• Милсон, Р. (2000) «Обзор соответствия Линии сфере», стр. 1–10 книги « Геометрическое исследование дифференциальных уравнений» , редакторы Дж. А. Лесли и Т. П. Робарта, Американское математическое общество. ISBN   0-8218-2964-5 .
• Злобец, Борут Юрчич; Мрамор Коста, Нежа (2001), «Конфигурации циклов и проблема Аполлония» , Rocky Mountain Journal of Mathematics , 31 (2): 725–744, doi : 10.1216/rmjm/1020171586 , ISSN   0035-7596 .

Внешние ссылки

• «О комплексах, в частности, комплексах линий и сфер, с приложениями к теории уравнений в частных производных» английский перевод ключевой статьи Ли по этой теме.
• «Ориентированные окружности и трехмерная релятивистская геометрия». Элементарное видео, знакомящее с понятиями геометрии Лагерра (группа преобразований которой является подгруппой группы преобразований Ли). Видео представлено с рациональной тригонометрии. точки зрения