Клейн квадрика

В математике линии 3-мерного проективного пространства S можно рассматривать как точки 5-мерного проективного пространства T . В этом 5-мерном пространстве точки, представляющие каждую прямую в S, лежат на квадрике , Q известной как квадрика Клейна .

базовое векторное пространство S V является 4-мерным векторным пространством Λ , то T имеет в качестве базового векторного пространства 6-мерный внешний квадрат Если ²В из В. полученные Координаты линии, таким образом, известны как координаты Плюкера .

Эти координаты Плюккера удовлетворяют квадратичному соотношению

p_{12}p_{34}+p_{13}p_{42}+p_{14}p_{23}=0

определяющий Q , где

p_{ij}=u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i}

— координаты линии, охватываемой двумя векторами u и v .

Трехмерное пространство S может быть снова восстановлено из квадрики Q : плоскости, содержащиеся в Q , распадаются на два класса эквивалентности , где плоскости одного и того же класса встречаются в точке, а плоскости разных классов встречаются на прямой или в пустой набор. Пусть этими классами будут C и C ′. Геометрия S образом : извлекается следующим

Точки S это плоскости в C. —
Линии S являются точками Q .
Плоскости S — это плоскости в C ′.

Тот факт, что геометрии S и Q изоморфны, можно объяснить изоморфизмом диаграмм Дынкина A ₃ и D ₃ .

Ссылки

Альбрехт Бойтельспахер и Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия: от основ к приложениям , стр. 169, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-48277-6
Артур Кэли (1873) «О суперлиниях квадрики поверхности в пятимерном пространстве», Сборник математических статей 9: 79–83.
Феликс Кляйн (1870) «К теории линейных комплексов первой и второй степени», Математические Анналы 2: 198.
Освальд Веблен и Джон Уэсли Янг (1910) Проективная геометрия , том 1, Интерпретация координат линии как координат точки в S5 _, страница 331, Джинн и компания .
Уорд, Ричард Сэмюэл; Уэллс, Раймонд О'Нил младший (1991), Твисторная геометрия и теория поля , издательство Кембриджского университета, бибкод : 1991tgft.book.....W , ISBN 978-0-521-42268-0 .