Полюс и полярник

«Полярная линия» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о железнодорожной линии, см. «Полярная линия» .

Полярная линия q к точке Q относительно окружности радиуса r с центром в точке O . Точка P является инверсии Q ; точкой полярная линия — это линия, проходящая через и перпендикулярная линии, содержащей O , P и Q. P

В геометрии полюс коническому и поляра представляют собой соответственно точку и линию, которые имеют уникальную обратную связь по отношению к данному сечению .

Полярное возвратно-поступательное движение в данном круге — это преобразование каждой точки плоскости в ее полярную линию и каждой линии плоскости в ее полюс.

Характеристики

Полюс и поляр имеют несколько полезных свойств:

• Если точка P на прямой l , то полюс L прямой l лежит на поляре p точки P. лежит
• Если точка P движется вдоль прямой l , ее поляра p вращается вокруг полюса L линии l .
• Если от полюса к коническому сечению можно провести две касательные, то ее поляра проходит через обе точки касания.
• Если точка лежит на коническом сечении, ее полярой является касательная, проходящая через эту точку к коническому сечению.
• Если точка P лежит на своей полярной линии, то P находится на коническом сечении.
• Каждая прямая имеет относительно невырожденного конического сечения ровно один полюс.

Особый случай кругов

См. Также: инверсная геометрия.

Полюсом линии L в круге C является точка Q , которая является инверсией в C точки P на L , ближайшей к центру круга. И наоборот, полярная линия (или поляра ) точки Q в круге C это линия L что ее ближайшая точка P к центру круга является инверсией Q — в C. такая ,

Если точка A лежит на полярной линии q другой точки Q , то Q на полярной линии a точки A. лежит поляры всех точек на линии q должны проходить через ее полюс Q. В более общем смысле ,

Отношения между полюсами и полярами взаимны. Таким образом, если точка A лежит на полярной линии q точки Q , то точка Q лежать на полярной линии a точки A. должна Две полярные линии a и q не обязательно должны быть параллельны.

Существует и другое описание полярной линии точки Р в случае, если она лежит вне С. окружности проходят две линии В этом случае через P , которые касаются окружности , а полярой P является линия, соединяющая две точки касания (здесь не показано). Это показывает, что и полярная линия являются понятиями проективной геометрии плоскости полюс и обобщаются с любой неособой коникой вместо окружности C .

Полярное взаимное движение

Основная статья: Корреляция (проективная геометрия)

Иллюстрация двойственности между точками и линиями и двойного значения слова «происшествие». Если две прямые a и k проходят через одну точку Q , то поляра q точки Q соединяет полюса A и K прямых a и k соответственно.

были развиты представления о полюсе и его полярной линии В проективной геометрии . Например, полярную линию можно рассматривать как совокупность проективных гармонических сопряжений данной точки, полюса, относительно коники. Операция замены каждой точки ее полярой и наоборот называется полярностью.

Полярность , — это корреляция которая также является инволюцией .

Для некоторой точки P и ее поляры p любая другая точка Q на p является полюсом линии q, через P. проходящей Это предполагает взаимные отношения, при которых случаи сохраняются.

Общие конические сечения

Линия p — это полярная линия, ведущая к точке P , l к L и m к M.

p — полярная линия, ведущая к точке P ; m - полярная линия к M

Понятия полюса, полярности и возвратно-поступательного движения можно обобщить с кругов на другие конические сечения , такие как эллипс , гипербола и парабола . Это обобщение возможно, поскольку конические сечения возникают в результате возвратно-поступательного движения круга в другом круге, а задействованные свойства, такие как падение и перекрестное отношение , сохраняются при всех проективных преобразованиях .

Вычисление поляры точки

Общее коническое сечение можно записать как уравнение второй степени в декартовых координатах ( x , y ) плоскости .

$$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$$

где A _xx , A _xy , A _yy , B _x , B _y и C — константы, определяющие уравнение. Для такого конического сечения полярная линия, ведущая к данной точке полюса ( ξ , η ), определяется уравнением

$$Dx+Ey+F=0\,$$

где D , E и F также являются константами, зависящими от координат полюса ( ξ , η )

$${\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}$$

Вычисление полюса линии

Полюс линии $Dx+Ey+F=0$, относительно невырожденного конического сечения $$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$$можно рассчитать в два этапа.

Сначала вычислите числа x, y и z из

$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}$$

Теперь полюс — это точка с координатами $\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$

Таблицы полюсно-полярных отношений

• Полюсно-полярное соотношение для эллипса
• Полюсно-полярное соотношение для гиперболы
• Полюсно-полярное соотношение для параболы

конический	уравнение	полярная точка $P=(x_{0},y_{0})$
круг	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$
эллипс	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$
гипербола	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$
парабола	$y=ax^{2}$	$y+y_{0}=2ax_{0}x$

конический	уравнение	полюс линии ux + vy = w
круг	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$\left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)$
эллипс	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	$\left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)$
гипербола	$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$	$\left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)$
парабола	$y=ax^{2}$	$\left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)$

Через полный четырехугольник

В проективной геометрии две прямые на плоскости всегда пересекаются. Таким образом, учитывая четыре точки, образующие полный четырехугольник , линии, соединяющие точки, пересекаются в дополнительных трех диагональных точках .

Учитывая точку Z, не лежащую на конике C , проведите две секущие от Z через C, в точках A , B , D и E. пересекающиеся Тогда эти четыре точки образуют полный четырехугольник, а Z находится в одной из диагональных точек. Линия, соединяющая две другие диагональные точки, является полярой Z , а Z — полюсом этой линии.

Приложения

Полюса и поляры были определены Жозефом Диасом Жергонном и играют важную роль в решении им проблемы Аполлония .

В планарной динамике полюс — это центр вращения, поляра — линия действия силы, а коника — матрица массы-инерции. Соотношение полюс-полярь используется для определения центра удара плоского твердого тела. Если полюс является шарнирной точкой, то поляра — это линия действия удара, как описано в теории плоского винта .

См. также

• Двойной полигон
• Двойной многогранник
• Полярная кривая

Библиография

• Джонсон Р.А. (1960). Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 100–105.
• Коксетер Х.С.М. , Грейтцер С.Л. (1967). Возвращение к геометрии . Вашингтон : МАА . стр. 132–136 , 150. ISBN.  978-0-88385-619-2 .
• Грей Джей-Джей (2007). Миры из ничего: Курс истории геометрии XIX века . Лондон: Springer Verlag. стр. 21 . ISBN  978-1-84628-632-2 .
• Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 43–45. LCCN   59014456 . Версия в мягкой обложке, опубликованная Dover Publications, имеет ISBN   978-0-486-41147-7 .
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 190–191 . ISBN  0-14-011813-6 .

Внешние ссылки

• Интерактивная анимация с несколькими полюсами и полярами в Cut-the-Knot
• Интерактивная анимация с одним полюсом и его полярностью
• Интерактивное 3D с цветными несколькими полюсами/полюсами – с открытым исходным кодом
• Вайсштейн, Эрик В. «Полярный» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Взаимность» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Инверсионный полюс» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обратная кривая» . Математический мир .
• Учебник по математике-изобилию