Теорема Паскаля

Линия Паскаля GHK самопересекающегося шестиугольника ABCDEF, вписанного в эллипс. Противоположные стороны шестиугольника имеют одинаковый цвет.

Самопересекающийся шестиугольник ABCDEF , вписанный в окружность. Его стороны расширены так, что пары противоположных сторон пересекаются на линии Паскаля. Каждая пара вытянутых противоположных сторон имеет свой цвет: красный, желтый и синий. Линия Паскаля показана белым цветом.

В проективной геометрии теорема Паскаля (также известная как теорема о гексаграммуме мистикум , что по латыни означает «мистическая гексаграмма» ) гласит, что если шесть произвольных точек выбраны на конике (которая может быть эллипсом , параболой или гиперболой в соответствующей аффинной плоскости ) и соединены отрезки линий в любом порядке образуют шестиугольник , то три пары противоположных сторон шестиугольника ( при необходимости продленных ) встречаются в трех точках, лежащих на прямой линии, называемой линией Паскаля шестиугольника. Он назван в честь Блеза Паскаля .

Теорема также справедлива в евклидовой плоскости , но ее утверждение необходимо скорректировать, чтобы учесть особые случаи, когда противоположные стороны параллельны.

Эта теорема является обобщением теоремы Паппа (шестиугольника) , которая является частным случаем вырожденной коники из двух прямых с тремя точками на каждой прямой.

Евклидовы варианты

Наиболее естественным вариантом теоремы Паскаля является проективная плоскость, поскольку любые две прямые пересекаются, и для параллельных прямых не нужно делать никаких исключений. Однако теорема остается верной и в евклидовой плоскости при правильной интерпретации того, что происходит, когда некоторые противоположные стороны шестиугольника параллельны.

Если ровно одна пара противоположных сторон шестиугольника параллельна, то вывод теоремы состоит в том, что «линия Паскаля», определяемая двумя точками пересечения, параллельна параллельным сторонам шестиугольника. Если две пары противоположных сторон параллельны, то все три пары противоположных сторон образуют пары параллельных прямых и в евклидовой плоскости нет линии Паскаля (в этом случае бесконечная линия расширенной евклидовой плоскости является линией Паскаля шестиугольник).

Связанные результаты

Теорема Паскаля является полярно-обратной и проективно-двойственной теореме Брианшона . Он был сформулирован Блезом Паскалем в записке, написанной в 1639 году, когда ему было 16 лет, и опубликованной в следующем году в виде брошюры под названием «Эссе для коников. Par BP».

Теорема Паскаля является частным случаем теоремы Кэли-Бакараха .

Интересен вырожденный случай теоремы Паскаля (четыре точки); для данных точек ABCD на конике Γ пересечение чередующихся сторон AB ∩ CD , BC ∩ DA вместе с пересечением касательных в противоположных вершинах ( A , C ) и ( B , D ) коллинеарны в четырех точках; касательные представляют собой вырожденные «стороны», взятые в двух возможных положениях на «шестиугольнике» и соответствующей линии Паскаля, разделяющей любое вырожденное пересечение. Это можно доказать независимо, используя свойство полюсно-полярности . Если коника представляет собой круг, то другой вырожденный случай говорит, что для треугольника три точки, которые появляются как пересечение боковой линии с соответствующей боковой линией треугольника Жергонна , лежат на одной прямой.

Шесть — это минимальное количество точек на конике, относительно которого можно сделать специальные утверждения, поскольку пять точек определяют конику .

Обратной является теорема Брейкенриджа-Маклорена , названная в честь британских математиков 18-го века Уильяма Брейкенриджа и Колина Маклорена ( Mills 1984 ), которая утверждает, что если три точки пересечения трех пар линий, проходящих через противоположные стороны шестиугольника, лежат на прямой , то шесть вершин шестиугольника лежат на конике; коника может быть вырожденной, как в теореме Паппа. Теорема Брайкенриджа-Маклорена может быть применена в конструкции Брайкенриджа-Маклорена , которая представляет собой синтетическую конструкцию коники, определяемой пятью точками, путем изменения шестой точки.

Теорема была обобщена Августом Фердинандом Мёбиусом в 1847 году следующим образом: предположим, что многоугольник с 4 n + 2 сторонами вписан в коническое сечение, а противоположные пары сторон продлены до тех пор, пока не встретятся в 2 n + 1 точках. Тогда, если из 2n этих точек лежат на одной прямой, последняя точка тоже будет на этой прямой.

Мистическая гексаграмма

Если на коническом сечении даны шесть неупорядоченных точек, их можно соединить в шестиугольник 60 различными способами, в результате чего получится 60 различных случаев теоремы Паскаля и 60 различных линий Паскаля. Эта конфигурация из 60 линий называется Hexagrammum Mysticum .

Как доказал Томас Киркман в 1849 году, этим 60 линиям можно сопоставить 60 точек таким образом, что каждая точка находится на трёх линиях и каждая линия содержит по три точки. Сформированные таким образом 60 точек теперь известны как точки Киркмана . Линии Паскаля также проходят по три за раз через 20 точек Штейнера . Существует 20 линий Кэли , состоящих из точки Штейнера и трех точек Киркмана. Точки Штайнера также лежат по четыре одновременно на 15 линиях Плюкера . Кроме того, 20 линий Кэли проходят по четыре одновременно через 15 точек, известных как точки Лосося .

Доказательства

Оригинальная заметка Паскаля не имеет доказательства, но существуют различные современные доказательства теоремы.

Достаточно доказать теорему, когда коника является окружностью, поскольку любую (невырожденную) конику можно свести к окружности проективным преобразованием. Это было реализовано Паскалем, первая лемма которого формулирует теорему для окружности. Его вторая лемма утверждает, что то, что истинно в одной плоскости, остается верным и при проекции на другую плоскость. Вырожденные коники следуют по непрерывности (теорема верна для невырожденных коник и, следовательно, верна в пределе вырожденной коники).

Краткое элементарное доказательство теоремы Паскаля в случае круга было найдено ван Изереном (1993) на основе доказательства в ( Гуггенхаймер 1967 ). Это доказательство доказывает теорему для окружности, а затем обобщает ее на коники.

Краткое элементарное вычислительное доказательство в случае вещественной проективной плоскости было найдено Стефановичем (2010) .

можем вывести доказательство из существования изогонально-сопряженного Мы также . Если мы хотим показать, что X = AB ∩ DE , Y = BC ∩ EF , Z = CD ∩ FA коллинеарны для конциклических ABCDEF , то заметим, что △ EYB и △ CYF подобны, и что X и Z будут соответствовать изогональным сопряжены, если перекрыть подобные треугольники. Это означает, что ∠ CYX = ∠ CYZ , что делает XYZ коллинеарным.

Краткое доказательство можно построить, используя сохранение перекрестных отношений. Проецируя тетраду ABCE из D на прямую AB , получаем тетраду ABPX , а проецируя тетраду ABCE из F на прямую BC , получаем тетраду QBCY . Следовательно, это означает, что R ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY ) , где одна из точек в двух тетрадах перекрывается, что означает, что другие линии, соединяющие три другие пары, должны совпадать, чтобы сохранить перекрестное соотношение. Следовательно, XYZ коллинеарны.

Другое доказательство теоремы Паскаля для окружности неоднократно использует теорему Менелая .

Данделин , геометр, открывший знаменитые сферы Одуванчика , придумал прекрасное доказательство, используя технику «3D-подъема», которое аналогично трехмерному доказательству теоремы Дезарга . Доказательство использует то свойство, что для каждого сечения коники можно найти однополостный гиперболоид, проходящий через конику.

Существует также простое доказательство теоремы Паскаля для окружности с использованием закона синусов и подобия .

Доказательство с использованием кубических кривых

Пересечения расширенных противоположных сторон простого вписанного шестиугольника ABCDEF (справа) лежат на линии Паскаля MNP (слева).

Теорема Паскаля имеет краткое доказательство с использованием теоремы Кэли-Бакараха , согласно которой для любых 8 точек общего положения существует уникальная девятая точка, такая что все кубики до первых 8 также проходят через девятую точку. В частности, если 2 общие кубики пересекаются в 8 точках, то любая другая кубика через те же 8 точек встречается с девятой точкой пересечения первых двух кубиков. Теорема Паскаля следует из того, что 8 точек принимаются за 6 точек шестиугольника и две точки (скажем, M и N на рисунке) на предполагаемой линии Паскаля, а девятая точка — за третью точку ( P на рисунке). фигура). Первые две кубики представляют собой два набора из 3 прямых, проходящих через 6 точек шестиугольника (например, набор AB, CD, EF и набор BC, DE, FA ), а третий кубик представляет собой объединение коники и линия МН . Здесь «девятое пересечение» P не может лежать на конике по типичности, а значит, лежит на MN .

Теорема Кэли – Бахараха также используется для доказательства ассоциативности групповой операции на кубических эллиптических кривых. Ту же групповую операцию можно применить к конике, если мы выберем точку E на конике и прямую MP на плоскости. Сумма A и B получается путем нахождения точки пересечения линии AB с MP , которая M. равна Далее A и B складываются во вторую точку пересечения коники с линией EM то есть D. , Таким образом, если Q — вторая точка пересечения коники с прямой EN , то

$(A+B)+C=D+C=Q=A+F=A+(B+C)$

Таким образом, групповая операция ассоциативна. С другой стороны, теорема Паскаля следует из приведенной выше формулы ассоциативности и, следовательно, из ассоциативности групповой операции эллиптических кривых посредством непрерывности.

Доказательство с использованием теоремы Безу

Предположим, f — кубический многочлен, исчезающий на трех прямых, проходящих через AB, CD, EF , а g — кубический многочлен, исчезающий на трех других прямых BC, DE, FA . Выберите общую точку P на конике и выберите λ так, чтобы кубика h = f + λg обращалась в нуль на P . Тогда h = 0 — кубика, имеющая 7 точек A, B, C, D, E, F, P. общих с коникой Но по теореме Безу кубика и коника имеют не более 3 × 2 = 6 общих точек, если только у них нет общей компоненты. Таким образом, кубика h = 0 имеет общий компонент с коникой, который должен быть самой коникой, поэтому h = 0 представляет собой объединение коники и прямой. Теперь легко проверить, что эта строка является строкой Паскаля.

Свойство шестиугольника Паскаля

Снова учитывая шестиугольник на конике из теоремы Паскаля с приведенными выше обозначениями точек (на первом рисунке), имеем

${\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.$

Паскаля

Теорема Паскаля: вырождения

Существуют 5-точечные, 4-точечные и 3-точечные вырожденные случаи теоремы Паскаля. В вырожденном случае две ранее соединенные точки фигуры формально совпадут, а соединяющая линия станет касательной в слившейся точке. См. вырожденные случаи, приведенные в добавленной схеме, и внешнюю ссылку на геометрию круга . Если выбрать подходящие линии фигур Паскаля в качестве линий на бесконечности, можно получить много интересных фигур на параболах и гиперболах .

См. также

• Теорема Дезарга
• Теорема Брианшона
• Уникурсальная гексаграмма

Ссылки

• Биггс, Н.Л. (1981), «Т.П. Киркман, математик», Бюллетень Лондонского математического общества , 13 (2): 97–120, doi : 10.1112/blms/13.2.97 , MR   0608093

• Конвей, Джон ; Рыба, Алекс (2012), «Разоблаченный Паскаль Mysticum», The Mathematical Intelligencer , 34 (3): 4–8, doi : 10.1007/s00283-012-9301-4 , S2CID   122915551
• Коксетер, HSM ; Грейцер, Сэмюэл Л. (1967), Возвращение к геометрии , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , стр. 76
• Гуггенхаймер, Генрих В. (1967), Плоская геометрия и ее группы , Сан-Франциско, Калифорния: Holden – Day Inc., MR   0213943
• Миллс, Стелла (март 1984 г.), «Заметка о теореме Брайкенриджа-Маклорена», Notes and Records of the Royal Society of London , 38 (2), The Royal Society: 235–240, doi : 10.1098/rsnr.1984.0014 , JSTOR   531819 , S2CID   144663075
• Моденов П.С.; Пархоменко, А.С. (2001) [1994], «Теорема Паскаля» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Паскаль, Блез (1640). «Эссе для коников» (факсимиле) . Государственная библиотека Нижней Саксонии, Библиотека Готфрида Вильгельма Лейбница . Проверено 21 июня 2013 г.

• Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике , Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0-486-64690-4
• Стефанович, Неделько (2010), Очень простое доказательство теоремы Паскаля о шестиугольнике и некоторые приложения (PDF) , Индийская академия наук
• Уэллс, Дэвид (1991), Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin , Лондон: Penguin Books, ISBN  0-14-011813-6
• Янг, Джон Уэсли (1930), Проективная геометрия , Математические монографии Каруса, номер четыре, Математическая ассоциация Америки
• ван Изерен, Январь (1993), «Простое доказательство теоремы Паскаля о шестиугольнике», The American Mathematical Monthly , 100 (10), Mathematical Association of America: 930–931, doi : 10.2307/2324214 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2324214 , МР   1252929

Внешние ссылки

• Интерактивная демонстрация теоремы Паскаля (требуется Java) в кратчайшие сроки
• 60 строк Паскаля (требуется Java) в кратчайшие сроки
• Полная фигура Паскаля, графически представленная Дж. Крисом Фишером и Нормой Фуллер (Университет Реджайны)
• Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского (PDF; 891 КБ), Uni Darmstadt, S. 29–35.
• «Как спроецировать сферические коники на плоскость» , Йоичи Маэда (Университет Токай)