Десятичное представление

Эта статья о десятичном разложении действительных чисел. Чтобы узнать о конечном десятичном представлении, см. Decimal .

Десятичное представление r неотрицательного действительного числа — это его выражение в виде последовательности символов, состоящей из десятичных цифр , традиционно записываемых с одним разделителем:

$$r=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{0}.a_{1}a_{2}\ldots$$

Здесь . — десятичный разделитель , k — целое неотрицательное число , а $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ — это цифры , которые представляют собой символы, представляющие целые числа в диапазоне 0, ..., 9.

Обычно, $b_{k}\neq 0$ если $k\geq 1.$ Последовательность $a_{i}$— цифры после точки — обычно бесконечны . Если оно конечно, недостающие цифры считаются равными 0. Если все $a_{i}$ равны 0 , разделитель также опускается, в результате чего получается конечная последовательность цифр, представляющая натуральное число .

Десятичное представление представляет бесконечную сумму :

$$r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.$$

Каждое неотрицательное действительное число имеет хотя бы одно такое представление; у него есть два таких представления (с $b_{k}\neq 0$ если $k>0$) тогда и только тогда, когда одна имеет конечную бесконечную последовательность 0 , а другая имеет конечную бесконечную последовательность 9 . Из-за взаимно однозначного соответствия между неотрицательными действительными числами и десятичными представлениями десятичные представления с конечной бесконечной последовательностью 9 . иногда исключаются

Целые и дробные части

Натуральное число ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$, называется целой частью r и обозначается цифрой ₀ в оставшейся части статьи . Последовательность $a_{i}$ представляет число

$$0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},$$

который принадлежит интервалу $[0,1),$ и называется дробной частью r ( кроме случаев, когда все $a_{i}$ 9 ) .

Конечные десятичные приближения

Любое действительное число можно аппроксимировать с любой желаемой степенью точности рациональными числами с конечными десятичными представлениями.

Предполагать $x\geq 0$. Тогда для каждого целого числа $n\geq 1$ существует конечная десятичная дробь $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ такой, что:

$$r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.$$

Доказательство : Позволять $r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}$, где $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$. Затем $p\leq 10^{n}x<p+1$, а результат следует из деления всех сторон на $10^{n}$. (Дело в том, что $r_{n}$ имеет конечное десятичное представление, легко установить.)

Неуникальность десятичного представления

Основная статья: 0,999...

Немного реальных цифр $x$иметь два бесконечных десятичных представления. Например, число 1 может быть одинаково представлено как 1,000..., так и 0,999... (где бесконечные последовательности конечных нулей или девяток соответственно обозначаются как "..."). Обычно предпочтительнее десятичное представление без конечных девяток. Более того, в стандартном десятичном представлении $x$, бесконечная последовательность конечных нулей, появляющихся после десятичной точки , опускается вместе с самой десятичной точкой, если $x$ является целым числом.

Некоторые процедуры построения десятичного разложения числа $x$позволит избежать проблемы с конечными девятками. Например, следующая алгоритмическая процедура даст стандартное десятичное представление: $x\geq 0$, мы сначала определяем $a_{0}$ ( часть целая $x$) быть наибольшим целым числом таким, что $a_{0}\leq x$ (т.е. $a_{0}=\lfloor x\rfloor$). Если $x=a_{0}$процедура завершается. В противном случае для ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ уже найдено, определяем $a_{k}$ индуктивно быть наибольшим целым числом, таким, что:

$$a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\leq x.$$

( * )

Процедура завершается всякий раз, когда $a_{k}$найден такой, что равенство выполнено в ( * ); в противном случае он продолжает бесконечно давать бесконечную последовательность десятичных цифр. Можно показать, что ${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$ (традиционно пишется как $x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$), где $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},$ и неотрицательное целое число $a_{0}$представляется в десятичной системе счисления . Эта конструкция распространена на $x<0$ применив описанную выше процедуру к $-x>0$ и обозначая полученное десятичное разложение через $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$.

Типы

Конечный

Десятичное разложение неотрицательного действительного числа x закончится нулями (или девятками) тогда и только тогда, когда x - рациональное число, знаменатель которого имеет вид 2. ^н 5 ^м , где m и n — целые неотрицательные числа.

Доказательство :

Если десятичное представление x закончится нулями или ${\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$ для некоторого n знаменатель x имеет вид 10 ^н = 2 ^н 5 ^н .

Обратно, если знаменатель x имеет вид 2 ^н 5 ^м , $x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$для некоторых п . Хотя x имеет вид $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$, $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$для некоторых н . К $x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$, x будет заканчиваться нулями.

Бесконечный

Повторяющиеся десятичные представления

Основная статья: Повторение десятичной дроби

Некоторые действительные числа имеют десятичное представление, которое со временем зацикливается, бесконечно повторяя последовательность из одной или нескольких цифр:

1 ⁄ 3 = 0.33333...

1 ⁄ 7 = 0.142857142857...

1318 ⁄ 185 = 7.1243243243...

Каждый раз, когда это происходит, число по-прежнему остается рациональным числом (т.е. альтернативно может быть представлено как отношение целого числа к положительному целому числу). Верно и обратное: десятичное разложение рационального числа либо конечно, либо бесконечно повторяется.

Конечные десятичные представления также можно рассматривать как частный случай бесконечных повторяющихся десятичных представлений. Например, 36/25 1,44 = = 1,4400000...; бесконечно повторяющаяся последовательность — это однозначная последовательность «0».

Неповторяющиеся десятичные представления

Другие действительные числа имеют десятичное расширение, которое никогда не повторяется. Это именно иррациональные числа , числа, которые невозможно представить в виде отношения целых чисел. Некоторые известные примеры:

√ 2 = 1.41421356237309504880...

  е = 2,71828182845904523536...

  π = 3,14159265358979323846...

Преобразование в дроби

Дополнительная информация: Дробь § Арифметика с дробями.

Каждое десятичное представление рационального числа можно преобразовать в дробь, преобразуя его в сумму целых, неповторяющихся и повторяющихся частей, а затем преобразуя эту сумму в одну дробь с общим знаменателем.

Например, чтобы преобразовать ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ до дроби следует отметить лемму:

$${\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}$$

Таким образом, конвертируется следующим образом:

$${\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}$$

Если нет повторяющихся цифр, предполагается, что существует вечно повторяющийся 0, например $1.9=1.9{\overline {0}}$, хотя, поскольку это обнуляет повторяющийся член, сумма упрощается до двух членов и более простого преобразования.

Например:

$${\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}$$

См. также

• Десятичная дробь
• Серия (математика)
• ИЭЭЭ 754
• Саймон Стевин

Дальнейшее чтение

• Апостол, Том (1974). Математический анализ (Второе изд.). Аддисон-Уэсли .
• Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2006]. «Десятичные представления» . четырехблок . Архивировано из оригинала 16 июля 2018 г. Проверено 16 июля 2018 г.