Завершение площади
В элементарной алгебре завершение квадрата — это метод преобразования квадратичного многочлена вида в форму для некоторых значений h и k .
Другими словами, завершение квадрата помещает идеальный квадратный трехчлен внутрь квадратного выражения.
Завершение квадрата используется в
- решение квадратных уравнений ,
- вывод квадратичной формулы ,
- построение графиков квадратичных функций ,
- оценка интегралов в исчислении, таких как интегралы Гаусса с линейным членом в показателе степени, [1]
- нахождение преобразований Лапласа . [2] [3]
В математике завершение квадрата часто применяется в любых вычислениях, включающих квадратичные многочлены.
История
[ редактировать ]Техника завершения квадрата была известна еще в Старовавилонской империи . [4]
Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми , известный эрудит , написавший ранний алгебраический трактат «Аль-Джабр» , использовал технику завершения квадрата для решения квадратных уравнений. [5]
Обзор
[ редактировать ]Фон
[ редактировать ]Формула элементарной алгебры для квадрата бинома : вычисления
Например:
В любом идеальном квадрате коэффициент при x в два раза больше числа p , а постоянный член равен p. 2 .
Базовый пример
[ редактировать ]Рассмотрим следующий квадратичный полином :
Этот квадрат не является точным квадратом, поскольку 28 не является квадратом 5:
Однако можно записать исходное квадратичное уравнение как сумму этого квадрата и константы:
Это называется завершением квадрата .
Общее описание
[ редактировать ]Учитывая любой монический квадратичный можно составить квадрат, у которого первые два члена совпадают:
Этот квадрат отличается от исходного квадратного только значением константысрок. Поэтому мы можем написать где . Эта операция известна как завершение квадрата .Например:
Немонические дома
[ редактировать ]Дан квадратичный многочлен вида можно исключить коэффициент a , а затем возвести в квадрат получившийся монический полином .
Пример: Этот процесс факторизации коэффициента a можно дополнительно упростить, вынеся его только из первых двух членов. Целое число в конце полинома включать не обязательно.
Пример:
Это позволяет записать любой квадратичный многочлен в виде
Формула
[ редактировать ]Скалярный случай
[ редактировать ]Результат заполнения квадрата можно записать в виде формулы. В общем случае имеется [6] с
В частности, когда a = 1 , имеем с
Решив уравнение с точки зрения и реорганизовав полученное выражение , получим квадратную формулу для корней квадратного уравнения :
Матричный корпус
[ редактировать ]Матричный : случай выглядит очень похоже где и . Обратите внимание, что должен быть симметричным .
Если не симметрична, формулы для и необходимо обобщить до:
Связь с графиком
[ редактировать ]В аналитической геометрии график параболу любой квадратичной функции представляет собой в плоскости xy . Дан квадратичный многочлен вида числа h и k можно интерпретировать как декартовы координаты вершины стационарной (или точки ) параболы. То есть h - координата x оси симметрии (т.е. ось симметрии имеет уравнение x = h ), а k - минимальное значение (или максимальное значение, если a < 0) квадратичной функции.
Один из способов убедиться в этом — заметить, что график функции f ( x ) = x 2 — парабола, вершина которой находится в начале координат (0, 0). Следовательно, график функции f ( x − h ) = ( x − h ) 2 — это парабола, сдвинутая вправо на h, вершина которой находится в точке ( h , 0), как показано на верхнем рисунке. Напротив, график функции f ( x ) + k = x 2 + k — это парабола, сдвинутая вверх на k, вершина которой находится в точке (0, k ) , как показано на центральном рисунке. Объединение горизонтального и вертикального сдвигов дает f ( x − h ) + k = ( x − h ) 2 + k — парабола, сдвинутая вправо на h и вверх на k, вершина которой находится в ( h , k ) , как показано на нижнем рисунке.
Решение квадратных уравнений
[ редактировать ]Заполнение квадрата можно использовать для решения любого квадратного уравнения . Например:
Первым шагом является завершение квадрата:
Далее решаем квадрат члена:
Тогда либо и поэтому
Это можно применить к любому квадратному уравнению. Когда х 2 имеет коэффициент, отличный от 1, первым шагом является деление уравнения на этот коэффициент: пример см. в немоническом случае ниже.
Иррациональные и сложные корни
[ редактировать ]В отличие от методов, включающих факторизацию уравнения, которая надежна только в том случае, если корни рациональны , завершение квадрата позволит найти корни квадратного уравнения, даже если эти корни иррациональны или комплексны . Например, рассмотрим уравнение
Завершение квадрата дает так Тогда либо
Более лаконичным языком: так
Таким же образом можно обрабатывать уравнения с комплексными корнями. Например:
Немонические дома
[ редактировать ]Для уравнения, включающего немоническое квадратичное уравнение, первым шагом к его решению является деление на коэффициент при x 2 . Например:
Применение этой процедуры к общей форме квадратного уравнения приводит к квадратной формуле .
Другие приложения
[ редактировать ]Интеграция
[ редактировать ]Заполнение квадрата можно использовать для вычисления любого интеграла формы используя основные интегралы
Например, рассмотрим интеграл
Завершение квадрата в знаменателе дает:
Теперь это можно оценить с помощью замены u = x + 3, что дает
Комплексные числа
[ редактировать ]Рассмотрим выражение где z и b — комплексные числа , z * и б * являются сопряженными числами z комплексно - и b соответственно, а c — действительное число . Использование личности | ты | 2 = его * мы можем переписать это как что, очевидно, является реальной величиной. Это потому, что
Другой пример: выражение где a , b , c , x и y — действительные числа, при этом a > 0 и b > 0, могут быть выражены через квадрат абсолютного значения комплексного числа. Определять
Затем так
Идемпотентная матрица
[ редактировать ]Матрица M идемпотентна , если M 2 = М. Идемпотентные матрицы обобщают идемпотентные свойства 0 и 1. Завершение квадратичного метода решения уравнения показывает, что некоторые идемпотентные матрицы 2×2 параметризуются окружностью в ( a , b )-плоскости:
Матрица будет идемпотентным при условии который после завершения квадрата становится В плоскости ( a , b ) это уравнение окружности с центром (1/2, 0) и радиусом 1/2.
Геометрическая перспектива
[ редактировать ]Рассмотрим завершение квадрата для уравнения
Поскольку х 2 представляет площадь квадрата со стороной длины x , а bx представляет площадь прямоугольника со сторонами b и x , процесс заполнения квадрата можно рассматривать как визуальное манипулирование прямоугольниками.
Простые попытки объединить x 2 а прямоугольники bx в больший квадрат приводят к отсутствию угла. Срок ( б /2) 2 К каждой стороне приведенного выше уравнения добавляется именно площадь недостающего угла, откуда и происходит терминология «завершение квадрата». [7]
Вариация техники
[ редактировать ]Традиционно считается, что завершение квадрата состоит из добавления третьего члена v. 2 к чтобы получить квадрат. когда случаи к Есть также , чтобы получить квадрат.
Пример: сумма положительного числа и обратного ему числа.
[ редактировать ]Написав мы показываем, что сумма положительного числа x и обратного ему числа всегда больше или равна 2. Квадрат действительного выражения всегда больше или равен нулю, что дает установленную оценку; и здесь мы достигаем 2 как раз тогда, когда x равен 1, в результате чего квадрат исчезает.
Пример: факторизация простого полинома четвертой степени
[ редактировать ]Рассмотрим задачу факторизации многочлена
Это поэтому средний член равен 2( x 2 )(18) = 36 х 2 . Таким образом мы получаем (последняя строка добавлена просто для того, чтобы следовать соглашению об уменьшении степеней терминов).
Тот же аргумент показывает, что всегда факторизуется как (Также известно как личность Софи Жермен ).
Завершение куба
[ редактировать ]«Завершение квадрата» состоит в том, чтобы отметить, что два первых члена квадратичного многочлена являются также первыми членами квадрата линейного многочлена , и использовать это для выражения квадратичного многочлена как суммы квадрата и константы.
Завершение куба — это аналогичный метод, который позволяет преобразовать кубический многочлен в кубический многочлен без члена второй степени.
Точнее, если
– многочлен от x такой, что два его первых члена — это два первых члена расширенной формы
Итак, замена переменной
обеспечивает кубический полином в без члена второй степени , который называется депрессивной формой исходного многочлена.
Это преобразование обычно является первым шагом методов решения общего кубического уравнения.
В более общем смысле, аналогичное преобразование можно использовать для удаления членов степени. в полиномах степени , которое называется преобразованием Чирнхауза .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Дионисиос Т. Христопулос (2020). Случайные поля для моделирования пространственных данных: учебник для ученых и инженеров . Спрингер Природа. п. 267. ИСБН 978-94-024-1918-4 . Выдержка со страницы 267
- ^ Джеймс Р. Брэннан; Уильям Э. Бойс (2015). Дифференциальные уравнения: введение в современные методы и приложения (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 314. ИСБН 978-1-118-98122-1 . Выдержка со страницы 314
- ^ Стивен Л. Кэмпбелл; Ричард Хаберман (2011). Введение в дифференциальные уравнения с динамическими системами (иллюстрированное издание). Издательство Принстонского университета. п. 214. ИСБН 978-1-4008-4132-5 . Выдержка со страницы 214
- ^ Тони Филипс, « Завершение квадрата », Тематическая колонка Американского математического общества , 2020.
- ^ Хьюз, Барнабас. «Завершение квадрата — квадратичные вычисления с помощью сложения» . Математическая ассоциация Америки . Проверено 21 октября 2022 г.
- ^ Нарасимхан, Ревати (2008). Предварительное исчисление: построение концепций и связей . Cengage Обучение. стр. 133–134. ISBN 978-0-618-41301-0 . , Формула раздела вершины квадратичной функции , стр. 133–134, рисунок 2.4.8
- ^ Кэрролл, Морин Т.; Риккен, Элин (2018). Геометрия: линия и круг . Учебники AMS/MAA. Американское математическое общество. п. 162. ИСБН 978-1-4704-4843-1 . Проверено 31 марта 2024 г.
- Алгебра 1, Гленко, ISBN 0-07-825083-8 , страницы 539–544.
- Алгебра 2, Саксонский, ISBN 0-939798-62-X , страницы 214–214, 241–242, 256–257, 398–401.