Волновая функция Кулона

Нерегулярная волновая функция Кулона G, построенная от 0 до 20 с учетом отталкивающих и притягивающих взаимодействий в Mathematica 13.1

добавлено изображение сложного графика регулярной волновой функции Кулона

В математике волновая функция Кулона — это решение волнового уравнения Кулона , названного в честь Шарля-Огюстена де Кулона . Они используются для описания поведения заряженных частиц в кулоновском потенциале и могут быть записаны в терминах вырожденных гипергеометрических функций или функций Уиттекера мнимого аргумента.

Уравнение кулоновской волны

Волновое уравнение Кулона для одиночной заряженной частицы массы $m$ представляет собой уравнение Шрёдингера с кулоновским потенциалом

$\left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,$

где $Z=Z_{1}Z_{2}$ – произведение зарядов частицы и источника поля (в единицах элементарного заряда , $Z=-1$ для атома водорода), $\alpha$ – константа тонкой структуры , а $\hbar ^{2}k^{2}/(2m)$ это энергия частицы. Решение, которое представляет собой волновую функцию Кулона, можно найти, решив это уравнение в параболических координатах.

$\xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.$

В зависимости от выбранных граничных условий решение имеет различный вид. Два решения:

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,$

где $M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)$ – вырожденная гипергеометрическая функция , $\eta =Zmc\alpha /(\hbar k)$ и $\Gamma (z)$ это гамма-функция . Здесь используются два граничных условия:

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,$

которые соответствуют ${\vec {k}}$Асимптотические состояния -ориентированной плоской волны до или после ее приближения к источнику поля в начале координат соответственно. Функции $\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}$ связаны между собой формулой

$\psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.$

Частичное волновое расширение

Волновая функция $\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})$ можно разложить на парциальные волны (т. е. относительно углового базиса), чтобы получить независимые от угла радиальные функции $w_{\ell }(\eta ,\rho )$. Здесь $\rho =kr$.

$\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.$

Единственный член разложения можно выделить скалярным произведением с определенной сферической гармоникой.

$\psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.$

Уравнение для одиночной парциальной волны $w_{\ell }(\eta ,\rho )$ можно получить, переписав лапласиан в волновом уравнении Кулона в сферических координатах и ​​спроецировав уравнение на конкретную сферическую гармонику $Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})$

${\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.$

Решения также называются кулоновскими (частичными) волновыми функциями или сферическими функциями Кулона. положить $z=-2i\rho$ преобразует волновое уравнение Кулона в уравнение Уиттекера , поэтому волновые функции Кулона можно выразить через функции Уиттекера с мнимыми аргументами $M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )$ и $W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )$. Последнее можно выразить через вырожденные гипергеометрические функции $M$ и $U$. Для $\ell \in \mathbb {Z}$, определяются специальные решения

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,$

где

$\sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )$

называется кулоновским фазовым сдвигом. Также определяются действительные функции

$F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,$

Регулярная волновая функция Кулона F, построенная от 0 до 20 с учетом отталкивающих и притягивающих взаимодействий в Mathematica 13.1

$G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.$

В частности, у одного есть

$F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.$

Асимптотическое поведение сферических функций Кулона $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$, $F_{\ell }(\eta ,\rho )$, и $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ в целом $\rho$ является

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,$

$F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,$

$G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,$

где

$\theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.$

Решения $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ соответствуют приходящим и уходящим сферическим волнам. Решения $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ и $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ действительны и называются регулярными и нерегулярными волновыми функциями Кулона.В частности, имеется следующее парциальное волновое разложение волновой функции: $\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})$

$\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,$

Свойства функции Кулона

Радиальные части для данного углового момента ортонормированы. При нормировке по шкале волновых чисел ( k -шкала) радиальные волновые функции континуума удовлетворяют

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')$

Другие распространенные нормировки волновых функций континуума находятся в шкале приведенных волновых чисел ( $k/2\pi$-шкала),

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,$

и по энергетической шкале

$\int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.$

Радиальные волновые функции, определенные в предыдущем разделе, нормированы на

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')$

в результате нормализации

$\int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.$

Кулоновские волновые функции континуума (или рассеяния) также ортогональны всем связанным кулоновским состояниям.

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0$

из-за того, что они являются собственными состояниями одного и того же эрмитова оператора ( гамильтониана ) с разными собственными значениями.

Дальнейшее чтение

• Бейтман, Гарри (1953), Высшие трансцендентные функции (PDF) , том. 1, McGraw-Hill, заархивировано из оригинала (PDF) 11 августа 2011 г. , получено 30 июля 2011 г.
• Джагер, JC; Халм, HR (1935), «Внутреннее преобразование γ-лучей с образованием электронов и позитронов», Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки , 148 (865): 708–728, Bibcode : 1935RSPSA.148..708J , doi : 10.1098/rspa.1935.0043 , ISSN   0080-4630 , JSTOR   96298
• Слейтер, Люси Джоан (1960), Вытекающие гипергеометрические функции , Издательство Кембриджского университета , MR   0107026 .