Функция Каннингема

В статистике функция Каннингема или функция Пирсона–Каннингема ω _{m , n} ( x ) является обобщением специальной функции, введенной Пирсоном (1906) и изученной в этой форме Каннингемом (1908) . Его можно определить через вырожденную гипергеометрическую функцию U по формуле

$\displaystyle \omega _{m,n}(x)={\frac {e^{-x+\pi i(m/2-n)}}{\Gamma (1+n-m/2)}}U(m/2-n,1+m,x).$

Функция была изучена Каннингемом. в контексте многомерного обобщения разложения Эджворта для аппроксимации функции плотности вероятности на основе ее (совместных) моментов . В более общем контексте функция связана с решением уравнения диффузии с постоянным коэффициентом в одном или нескольких измерениях.

Функция ω _{m , n} ( x ) является решением дифференциального уравнения относительно X :

$xX''+(x+1+m)X'+(n+{\tfrac {1}{2}}m+1)X.$

Специальная функция, изученная Пирсоном, в его обозначениях задается формулой:

$\omega _{2n}(x)=\omega _{0,n}(x).$

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 13» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 510. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Каннингем, Э. (1908), «ω-функции, класс нормальных функций, встречающихся в статистике», Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера , 81 (548), Королевское общество: 310–331, doi : 10.1098/rspa.1908.0085 , ISSN   0950-1207 , JSTOR   93061
• Пирсон, Карл (1906), Математическая теория случайной миграции , Лондон, Дюлау и компания.
• Уиттакер, ET; Уотсон, Дж. Н. (1963), Курс современного анализа , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-58807-2 См. упражнение 10, глава XVI, с. 353