Регулярная особая точка

В математике , в теории обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости. $\mathbb {C}$ , точки $\mathbb {C}$ подразделяются на обычные точки , в которых коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями , и особые точки , в которых некоторый коэффициент имеет особенность . Тогда среди особых точек делается важное различие между регулярной особой точкой , где рост решений ограничен (в любом малом секторе) алгебраической функцией , и нерегулярной особой точкой , где для полного множества решений требуются функции с более высоким ростом. ставки. Такое различие возникает, например, между гипергеометрическим уравнением с тремя регулярными особыми точками и уравнением Бесселя , которое в некотором смысле является предельным случаем , но аналитические свойства которого существенно различны.

Формальные определения

Точнее, рассмотрим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение $n$ -го порядка $f^{(n)}(z)+\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0$ с $pi мероморфными (z)$ функциями .

Уравнение следует изучать на сфере Римана, чтобы включить бесконечную точку в качестве возможной особой точки. При необходимости можно применить преобразование Мёбиуса для перемещения ∞ в конечную часть комплексной плоскости, см. пример дифференциального уравнения Бесселя ниже.

Тогда метод Фробениуса , основанный на определяющем уравнении, может быть применен для поиска возможных решений, которые представляют собой степенные ряды , умноженные на комплексные степени $(z - a) р$ вблизи любого заданного $a$ на комплексной плоскости, где $r$ не обязательно должно быть целым числом; эта функция может существовать, следовательно, только благодаря разрезу ветки , исходящему из $a$ или на римановой поверхности некоторого проколотого диска вокруг $a$ . Фукс $Лазарус$ Для обычной точки это не представляет труда ( , 1866). Когда $a$ является регулярной особой точкой , что по определению означает, что $p_{n-i}(z)$ имеет полюс порядка не более $i$ в $a$ , метод Фробениуса также можно заставить работать и давать $n$ независимых решений вблизи $a$ .

В противном случае точка $а$ является нерегулярной особенностью . В этом случае группа монодромии, связывающая решения посредством аналитического продолжения, в целом мало что может сказать, и решения труднее изучать, за исключением их асимптотических разложений. Нерегулярность нерегулярной особенности измеряется рангом Пуанкаре ( Арскотт (1995) ).

Условие регулярности — это своего рода условие многоугольника Ньютона в том смысле, что разрешенные полюсы находятся в области, которая при построении графика относительно i ограничена линией под углом 45 ° к осям.

Обыкновенное дифференциальное уравнение, единственные особые точки которого, включая точку на бесконечности, являются регулярными особыми точками, называется фуксовым обыкновенным дифференциальным уравнением.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка

В этом случае приведенное выше уравнение сводится к: $f''(x)+p_{1}(x)f'(x)+p_{0}(x)f(x)=0.$

Различают следующие случаи:

Точка $a$ является обычной точкой , когда функции $p 1 (x)$ и $p 0 (x)$ аналитичны в точке $x = a$ .
Точка $a$ является регулярной особой точкой если $p1, (x)$ имеет полюс до порядка 1 в точке $x = a$ а $p0,$ имеет полюс порядка до 2 в точке $x = a$ .
В противном случае точка $a$ является нерегулярной особой точкой .

Мы можем проверить, существует ли нерегулярная особая точка на бесконечности, используя подстановку $w=1/x$ и отношения: ${\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}$ ${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^{3}{\frac {df}{dw}}$

Таким образом, мы можем преобразовать уравнение в уравнение относительно $w$ и проверить, что происходит при $w = 0$ . Если $p_{1}(x)$ и $p_{2}(x)$ будет нерегулярная особая точка, являются частными многочленов, то в бесконечной x если только многочлен в знаменателе $p_{1}(x)$ имеет степень хотя бы на единицу большую, чем степень его числителя и знаменателя. $p_{2}(x)$ имеет степень как минимум на две степени больше степени своего числителя.

Ниже перечислены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений математической физики, имеющих особые точки и известные решения.

Дифференциальное уравнение Бесселя

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Он находится при решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах : $x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})f=0$ для произвольного действительного или комплексного числа $α$ ( порядка ) функции Бесселя . Самый распространенный и важный частный случай — это когда $α$ — целое число $n$ .

Разделив это уравнение на x ² дает: ${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0.$

В этом случае $p 1 (x) = 1/ x$ имеет полюс первого порядка в точке $x = 0$ . Когда $α \neq 0$ , $п 0 (Икс) знак равно (1 - α 2 / х 2)$ имеет полюс второго порядка в точке $x = 0$ . Таким образом, это уравнение имеет регулярную особенность в точке 0.

Чтобы увидеть, что происходит, когда $x \to \infty,$ нужно использовать преобразование Мёбиуса , например $x=1/w$ . После выполнения алгебры: ${\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0$

Сейчас в $w=0$ , $p_{1}(w)={\frac {1}{w}}$ имеет полюс первого порядка, но $p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}$ имеет полюс четвертого порядка. Таким образом, это уравнение имеет нерегулярную особенность при $w=0$ соответствующий x в точке ∞.

Дифференциальное уравнение Лежандра

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Он находится при решении уравнения Лапласа в сферических координатах : ${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+\ell (\ell +1)f=0.$

Открытие квадратной скобки дает: $\left(1-x^{2}\right){d^{2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+\ell (\ell +1)f=0.$

И разделив на $(1 - x 2)$ : ${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}{\frac {df}{dx}}+{\frac {\ell (\ell +1)}{1-x^{2}}}f=0.$

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в точках ±1 и ∞.

Дифференциальное уравнение Эрмита

С этим обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка можно столкнуться при решении одномерного, независимого от времени уравнения Шредингера. $E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi$ для гармонического осциллятора . В этом случае потенциальная энергия V ( x ) равна: $V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.$

Это приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка: ${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{dx}}+\lambda f=0.$

Это дифференциальное уравнение имеет нерегулярную особенность в точке ∞. Ее решениями являются полиномы Эрмита .

Гипергеометрическое уравнение

Уравнение можно определить как $z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.$

Разделив обе части на $z (1 - z),$ получим: ${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\frac {ab}{z(1-z)}}f=0.$

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в точках 0, 1 и ∞. Решением является гипергеометрическая функция .

Ссылки

Арскотт, FM (1995). «Уравнение Хойна». В А. Ронво (ред.). Дифференциальные уравнения Хойна . Издательство Оксфордского университета. п. 74. ИСБН 0198596952 .
Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл .
Э. Т. Копсон , Введение в теорию функций комплексной переменной (1935)
Федорюк, М.В. (2001) [1994], «Фуксово уравнение» , Энциклопедия Математики , EMS Press
А. Р. Форсайт Теория дифференциальных уравнений Vol. IV: Обыкновенные линейные уравнения (издательство Кембриджского университета, 1906 г.)
Эдуард Гурса , Курс математического анализа, Том II, Часть II: Дифференциальные уравнения, стр. 128-ff. (Джинн и компания, Бостон, 1917 г.)
Э. Л. Инс, Обыкновенные дифференциальные уравнения , Dover Publications (1944).
Ильяшенко, Ю. С. (2001) [1994], «Регулярная особая точка» , Энциклопедия математики , EMS Press
Т.М. МакРоберт Функции комплексной переменной с. 243 (Макмиллан, Лондон, 1917 г.)
Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон. Курс современного анализа, стр. 188-ff. (Издательство Кембриджского университета, 1915 г.)