Регулярная особая точка
Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( июнь 2017 г. ) |
В математике , в теории обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости. , точки подразделяются на обычные точки , в которых коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями , и особые точки , в которых некоторый коэффициент имеет особенность . Тогда среди особых точек делается важное различие между регулярной особой точкой , где рост решений ограничен (в любом малом секторе) алгебраической функцией , и нерегулярной особой точкой , где для полного множества решений требуются функции с более высоким ростом. ставки. Такое различие возникает, например, между гипергеометрическим уравнением с тремя регулярными особыми точками и уравнением Бесселя , которое в некотором смысле является предельным случаем , но аналитические свойства которого существенно различны.
Формальные определения
[ редактировать ]Точнее, рассмотрим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с pi мероморфными ( z ) функциями .
Уравнение следует изучать на сфере Римана, чтобы включить бесконечную точку в качестве возможной особой точки. При необходимости можно применить преобразование Мёбиуса для перемещения ∞ в конечную часть комплексной плоскости, см. пример дифференциального уравнения Бесселя ниже.
Тогда метод Фробениуса , основанный на определяющем уравнении, может быть применен для поиска возможных решений, которые представляют собой степенные ряды , умноженные на комплексные степени ( z − a ) р вблизи любого заданного a на комплексной плоскости, где r не обязательно должно быть целым числом; эта функция может существовать, следовательно, только благодаря разрезу ветки , исходящему из a или на римановой поверхности некоторого проколотого диска вокруг a . Фукс Лазарус Для обычной точки это не представляет труда ( , 1866). Когда a является регулярной особой точкой , что по определению означает, что имеет полюс порядка не более i в a , метод Фробениуса также можно заставить работать и давать n независимых решений вблизи a .
В противном случае точка а является нерегулярной особенностью . В этом случае группа монодромии, связывающая решения посредством аналитического продолжения, в целом мало что может сказать, и решения труднее изучать, за исключением их асимптотических разложений. Нерегулярность нерегулярной особенности измеряется рангом Пуанкаре ( Арскотт (1995) ).
Условие регулярности — это своего рода условие многоугольника Ньютона в том смысле, что разрешенные полюсы находятся в области, которая при построении графика относительно i ограничена линией под углом 45 ° к осям.
Обыкновенное дифференциальное уравнение, единственные особые точки которого, включая точку на бесконечности, являются регулярными особыми точками, называется фуксовым обыкновенным дифференциальным уравнением.
Примеры дифференциальных уравнений второго порядка
[ редактировать ]В этом случае приведенное выше уравнение сводится к:
Различают следующие случаи:
- Точка a является обычной точкой , когда функции p 1 ( x ) и p 0 ( x ) аналитичны в точке x = a .
- Точка a является регулярной особой точкой если p1 , ( x ) имеет полюс до порядка 1 в точке x = a а p0 , имеет полюс порядка до 2 в точке x = a .
- В противном случае точка a является нерегулярной особой точкой .
Мы можем проверить, существует ли нерегулярная особая точка на бесконечности, используя подстановку и отношения:
Таким образом, мы можем преобразовать уравнение в уравнение относительно w и проверить, что происходит при w = 0 . Если и будет нерегулярная особая точка, являются частными многочленов, то в бесконечной x если только многочлен в знаменателе имеет степень хотя бы на единицу большую, чем степень его числителя и знаменателя. имеет степень как минимум на две степени больше степени своего числителя.
Ниже перечислены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений математической физики, имеющих особые точки и известные решения.
Дифференциальное уравнение Бесселя
[ редактировать ]Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Он находится при решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах : для произвольного действительного или комплексного числа α ( порядка ) функции Бесселя . Самый распространенный и важный частный случай — это когда α — целое число n .
Разделив это уравнение на x 2 дает:
В этом случае p 1 ( x ) = 1/ x имеет полюс первого порядка в точке x = 0 . Когда α ≠ 0 , п 0 ( Икс ) знак равно (1 - α 2 / х 2 ) имеет полюс второго порядка в точке x = 0 . Таким образом, это уравнение имеет регулярную особенность в точке 0.
Чтобы увидеть, что происходит, когда x → ∞, нужно использовать преобразование Мёбиуса , например . После выполнения алгебры:
Сейчас в , имеет полюс первого порядка, но имеет полюс четвертого порядка. Таким образом, это уравнение имеет нерегулярную особенность при соответствующий x в точке ∞.
Дифференциальное уравнение Лежандра
[ редактировать ]Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Он находится при решении уравнения Лапласа в сферических координатах :
Открытие квадратной скобки дает:
И разделив на (1 − x 2 ) :
Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в точках ±1 и ∞.
Дифференциальное уравнение Эрмита
[ редактировать ]С этим обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка можно столкнуться при решении одномерного, независимого от времени уравнения Шредингера. для гармонического осциллятора . В этом случае потенциальная энергия V ( x ) равна:
Это приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:
Это дифференциальное уравнение имеет нерегулярную особенность в точке ∞. Ее решениями являются полиномы Эрмита .
Гипергеометрическое уравнение
[ редактировать ]Уравнение можно определить как
Разделив обе части на z (1 − z ), получим:
Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в точках 0, 1 и ∞. Решением является гипергеометрическая функция .
Ссылки
[ редактировать ]- Арскотт, FM (1995). «Уравнение Хойна». В А. Ронво (ред.). Дифференциальные уравнения Хойна . Издательство Оксфордского университета. п. 74. ИСБН 0198596952 .
- Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл .
- Э. Т. Копсон , Введение в теорию функций комплексной переменной (1935)
- Федорюк, М.В. (2001) [1994], «Фуксово уравнение» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- А. Р. Форсайт Теория дифференциальных уравнений Vol. IV: Обыкновенные линейные уравнения (издательство Кембриджского университета, 1906 г.)
- Эдуард Гурса , Курс математического анализа, Том II, Часть II: Дифференциальные уравнения, стр. 128-ff. (Джинн и компания, Бостон, 1917 г.)
- Э. Л. Инс, Обыкновенные дифференциальные уравнения , Dover Publications (1944).
- Ильяшенко, Ю. С. (2001) [1994], «Регулярная особая точка» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Т.М. МакРоберт Функции комплексной переменной с. 243 (Макмиллан, Лондон, 1917 г.)
- Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
- Э. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон. Курс современного анализа, стр. 188-ff. (Издательство Кембриджского университета, 1915 г.)