Фуксова теория
Фуксова теория линейных дифференциальных уравнений , названная в честь Лазаря Иммануила Фукса , дает характеристику различных типов особенностей и отношений между ними.
В любой обыкновенной точке однородного линейного дифференциального уравнения порядка существует фундаментальная система линейно независимые решения степенных рядов. Необычная точка называется особенностью. В особенности максимальное число решений линейно независимых степенных рядов может быть меньше порядка дифференциального уравнения.
Обобщенные серийные решения
[ редактировать ]Обобщенный ряд при определяется
который известен как ряд Фробениуса , из-за связи с методом рядов Фробениуса . Решения ряда Фробениуса являются формальными решениями дифференциальных уравнений. Формальная производная от , с , определяется так, что . Позволять обозначим ряд Фробениуса относительно , затем
где обозначает падающий факториал. [1]
Основное уравнение
[ редактировать ]Позволять быть рядом Фробениуса относительно . Позволять — линейный дифференциальный оператор порядка с однозначными коэффициентными функциями . Пусть все коэффициенты разложить в ряд Лорана с конечной главной частью в точке . Тогда существует наименьшее такой, что это мощный сериал для всех . Следовательно, представляет собой ряд Фробениуса вида , с определенным степенным рядом в . Индициальный полином определяется формулой который является многочленом от , то есть, равен коэффициенту с самой низкой степенью в . Для каждого формального решения ряда Фробениуса из , должен быть корнем определяющего многочлена в точке , то есть, необходимо решить основное уравнение . [1]
Если — обычная точка, результирующее основное уравнение имеет вид . Если является регулярной особенностью , то и если является нерегулярной особенностью , держит. [2] Это иллюстрируется последующими примерами. Основное уравнение относительно определяется основным уравнением , где обозначает дифференциальный оператор преобразованный который является линейным дифференциальным оператором в , в . [3]
Пример: регулярная сингулярность
[ редактировать ]Дифференциальный оператор порядка , , имеет регулярную особенность при . Рассмотрим решение ряда Фробениуса относительно , с .
Это означает, что степень определяющего полинома относительно равен порядку дифференциального уравнения, .
Пример: неправильная особенность
[ редактировать ]Дифференциальный оператор порядка , , имеет нерегулярную особенность при . Позволять быть решением ряда Фробениуса относительно .
Разумеется, хотя бы один коэффициент при младших производных сдвигает показатель степени вниз. Неизбежно коэффициент при младшей производной имеет наименьший показатель степени. Степень определяющего полинома относительно меньше порядка дифференциального уравнения, .
Формальные фундаментальные системы
[ редактировать ]Мы дали однородное линейное дифференциальное уравнение порядка с коэффициентами, разлагаемыми в ряд Лорана с конечной главной частью. Цель состоит в том, чтобы получить фундаментальный набор формальных решений ряда Фробениуса относительно любой точки. . Это можно сделать с помощью метода рядов Фробениуса , который гласит: начальные показатели степени задаются решениями определяющего уравнения, а коэффициенты описывают полиномиальную рекурсию. Влог, предположим .
Фундаментальная система в обычной точке
[ редактировать ]Если является обычной точкой, фундаментальная система образуется линейно независимые формальные решения ряда Фробениуса , где обозначает формальный степенной ряд в с , для . Поскольку начальные показатели степени являются целыми числами, ряд Фробениуса является степенным рядом. [1]
Фундаментальная система в регулярной сингулярности
[ редактировать ]Если является регулярной особенностью, необходимо обратить внимание на корни определяющего многочлена, отличающиеся на целые числа. В этом случае для некоторых корней рекуррентное вычисление коэффициентов ряда Фробениуса прекращается и метод рядов Фробениуса не дает -мерное пространство решений. Независимо от расстояния между корнями определяющего многочлена можно показать следующее: Пусть быть -кратный корень определяющего полинома относительно . Тогда часть фундаментальной системы, соответствующая дается линейно независимые формальные решения
где обозначает формальный степенной ряд в с , для . Получается фундаментальный набор линейно независимые формальные решения, поскольку определяющий полином относительно регулярной особенности имеет степень . [4]
Общий результат
[ редактировать ]Можно показать, что линейное дифференциальное уравнение порядка всегда имел линейно независимые решения вида
где и и формальный степенной ряд . [5]
является иррегулярной особенностью тогда и только тогда, когда существует решение с . Следовательно, дифференциальное уравнение имеет фуксовский тип тогда и только тогда, когда для всех существует фундаментальная система решений рядов Фробениуса с в .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (1963). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. стр. Урок 40. ISBN 9780486649405 .
- ^ Инс, Эдвард Линдси (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. стр. 160 . ISBN 9780486158211 .
- ^ Инс, Эдвард Линдси (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. стр. 370 . ISBN 9780486158211 .
- ^ Инс, Эдвард Линдси (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. стр. Раздел 16.3. ISBN 9780486158211 .
- ^ Кауэрс, Мануэль; Пол, Питер (2011). Бетонный тетраэдр . Вена, Австрия: Springer-Verlag. с. Теорема 7.3. ISBN 9783709104453 .
- Инс, Эдвард Линдси (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. ISBN 9780486158211 .
- Пул, Эдгар Жирар Крокер (1936). Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Кларендон Пресс.
- Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (1963). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. стр. Лекция 40. ISBN 9780486649405 .
- Хорн, Джейкоб (1905). Обыкновенные дифференциальные уравнения произвольного порядка . Лейпциг, Германия: GJ Göschensche Verlagshandlung.
- Шлезингер, Людвиг Линдси (1897). Справочник по теории линейных дифференциальных уравнений (Том 2, Часть 1) . Лейпциг, Германия: БГТойбнер. стр. 241 и далее.