Фуксова теория

Фуксова теория линейных дифференциальных уравнений , названная в честь Лазаря Иммануила Фукса , дает характеристику различных типов особенностей и отношений между ними.

В любой обыкновенной точке однородного линейного дифференциального уравнения порядка $n$ существует фундаментальная система $n$ линейно независимые решения степенных рядов. Необычная точка называется особенностью. В особенности максимальное число решений линейно независимых степенных рядов может быть меньше порядка дифференциального уравнения.

Обобщенные серийные решения

Обобщенный ряд при $\xi \in \mathbb {C}$ определяется

$(z-\xi )^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-\xi )^{k},{\text{ with }}\alpha ,c_{k}\in \mathbb {C} {\text{ and }}c_{0}\neq 0,$

который известен как ряд Фробениуса , из-за связи с методом рядов Фробениуса . Решения ряда Фробениуса являются формальными решениями дифференциальных уравнений. Формальная производная от $z^{\alpha }$, с $\alpha \in \mathbb {C}$, определяется так, что $(z^{\alpha })'=\alpha z^{\alpha -1}$. Позволять $f$ обозначим ряд Фробениуса относительно $\xi$, затем

${d^{n}f \over dz^{n}}=(z-\xi )^{\alpha -n}\sum _{k=0}^{\infty }(\alpha +k)^{\underline {n}}c_{k}(z-\xi )^{k},$

где ${\textstyle \alpha ^{\underline {n}}:=\prod _{i=0}^{n-1}(\alpha -i)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}$ обозначает падающий факториал.

Основное уравнение

Позволять ${\textstyle f:=(z-\xi )^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-\xi )^{k}}$ быть рядом Фробениуса относительно $\xi \in \mathbb {C}$. Позволять $Lf=f^{(n)}+q_{1}f^{(n-1)}+\cdots +q_{n}f$ — линейный дифференциальный оператор порядка $n$ с однозначными коэффициентными функциями $q_{1},\dots ,q_{n}$. Пусть все коэффициенты $q_{1},\dots ,q_{n}$ разложить в ряд Лорана с конечной главной частью в точке $\xi$. Тогда существует наименьшее $N\in \mathbb {N}$ такой, что $(z-\xi )^{N}q_{i}$ это мощный сериал для всех $i\in \{1,\dots ,n\}$. Следовательно, $Lf$ представляет собой ряд Фробениуса вида $Lf=(z-\xi )^{\alpha -n-N}\psi (z)$, с определенным степенным рядом $\psi (z)$ в $(z-\xi )$. Индициальный полином определяется формулой $P_{\xi }:=\psi (0)$ который является многочленом от $\alpha$, то есть, $P_{\xi }$ равен коэффициенту $Lf$ с самой низкой степенью в $(z-\xi )$. Для каждого формального решения ряда Фробениуса $f$ из $Lf=0$, $\alpha$ должен быть корнем определяющего многочлена в точке $\xi$, то есть, $\alpha$ необходимо решить основное уравнение $P_{\xi }(\alpha )=0$.

Если $\xi$ — обычная точка, результирующее основное уравнение имеет вид $\alpha ^{\underline {n}}=0$. Если $\xi$ является регулярной особенностью , то $\deg(P_{\xi }(\alpha ))=n$ и если $\xi$ является нерегулярной особенностью , $\deg(P_{\xi }(\alpha ))<n$ держит. Это иллюстрируется последующими примерами. Основное уравнение относительно $\xi =\infty$ определяется основным уравнением ${\widetilde {L}}f$, где ${\widetilde {L}}$ обозначает дифференциальный оператор $L$ преобразованный $z=x^{-1}$который является линейным дифференциальным оператором в $x$, в $x=0$.

Пример: регулярная сингулярность

Дифференциальный оператор порядка $2$, $Lf:=f''+{\frac {1}{z}}f'+{\frac {1}{z^{2}}}f$, имеет регулярную особенность при $z=0$. Рассмотрим решение ряда Фробениуса относительно $0$, $f:=z^{\alpha }(c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots )$ с $c_{0}\neq 0$.

${\begin{aligned}Lf&=z^{\alpha -2}(\alpha (\alpha -1)c_{0}+\cdots )+{\frac {1}{z}}z^{\alpha -1}(\alpha c_{0}+\cdots )+{\frac {1}{z^{2}}}z^{\alpha }(c_{0}+\cdots )\\[5pt]&=z^{\alpha -2}c_{0}(\alpha (\alpha -1)+\alpha +1)+\cdots .\end{aligned}}$

Это означает, что степень определяющего полинома относительно $0$ равен порядку дифференциального уравнения, $\deg(P_{0}(\alpha ))=\deg(\alpha ^{2}+1)=2$.

Пример: неправильная особенность

Дифференциальный оператор порядка $2$, $Lf:=f''+{\frac {1}{z^{2}}}f'+f$, имеет нерегулярную особенность при $z=0$. Позволять $f$ быть решением ряда Фробениуса относительно $0$.

${\begin{aligned}Lf&=z^{\alpha -2}(\alpha (\alpha -1)c_{0}+\cdots )+{\frac {1}{z^{2}}}z^{\alpha -1}(\alpha c_{0}+\cdots )+z^{\alpha }(c_{0}+\cdots )\\[5pt]&=z^{\alpha -3}c_{0}\alpha +z^{\alpha -2}(c_{0}\alpha (\alpha -1)+c_{1})+\cdots .\end{aligned}}$

Разумеется, хотя бы один коэффициент при младших производных сдвигает показатель степени $z$ вниз. Неизбежно коэффициент при младшей производной имеет наименьший показатель степени. Степень определяющего полинома относительно $0$ меньше порядка дифференциального уравнения, $\deg(P_{0}(\alpha ))=\deg(\alpha )=1<2$.

Формальные фундаментальные системы

Мы дали однородное линейное дифференциальное уравнение $Lf=0$ порядка $n$ с коэффициентами, разлагаемыми в ряд Лорана с конечной главной частью. Цель состоит в том, чтобы получить фундаментальный набор формальных решений ряда Фробениуса относительно любой точки. $\xi \in \mathbb {C}$. Это можно сделать с помощью метода рядов Фробениуса , который гласит: начальные показатели степени задаются решениями определяющего уравнения, а коэффициенты описывают полиномиальную рекурсию. Влог, предположим $\xi =0$.

Фундаментальная система в обычной точке

Если $0$ является обычной точкой, фундаментальная система образуется $n$ линейно независимые формальные решения ряда Фробениуса $\psi _{1},z\psi _{2},\dots ,z^{n-1}\psi _{n}$, где ${\textstyle \psi _{i}\in \mathbb {C} [[z]]}$ обозначает формальный степенной ряд в $z$ с $\psi (0)\neq 0$, для $i\in \{1,\dots ,n\}$. Поскольку начальные показатели степени являются целыми числами, ряд Фробениуса является степенным рядом.

Фундаментальная система в регулярной сингулярности

Если $0$ является регулярной особенностью, необходимо обратить внимание на корни определяющего многочлена, отличающиеся на целые числа. В этом случае для некоторых корней рекуррентное вычисление коэффициентов ряда Фробениуса прекращается и метод рядов Фробениуса не дает $n$-мерное пространство решений. Независимо от расстояния между корнями определяющего многочлена можно показать следующее: Пусть $\alpha \in \mathbb {C}$ быть $\mu$-кратный корень определяющего полинома относительно $0$. Тогда часть фундаментальной системы, соответствующая $\alpha$ дается $\mu$ линейно независимые формальные решения

${\begin{aligned}&z^{\alpha }\psi _{0}\\&z^{\alpha }\psi _{1}+z^{\alpha }\log(z)\psi _{0}\\&z^{\alpha }\psi _{2}+2z^{\alpha }\log(z)\psi _{1}+z^{\alpha }\log ^{2}(z)\psi _{0}\\&\qquad \vdots \\&z^{\alpha }\psi _{\mu -1}+\cdots +{\binom {\mu -1}{k}}z^{\alpha }\log ^{k}(z)\psi _{\mu -k}+\cdots +z^{\alpha }\log ^{\mu -1}(z)\psi _{0}\end{aligned}}$

где ${\textstyle \psi _{i}\in \mathbb {C} [[z]]}$ обозначает формальный степенной ряд в $z$ с $\psi (0)\neq 0$, для $i\in \{0,\dots ,\mu -1\}$. Получается фундаментальный набор $n$ линейно независимые формальные решения, поскольку определяющий полином относительно регулярной особенности имеет степень $n$.

Общий результат

Можно показать, что линейное дифференциальное уравнение порядка $n$ всегда имел $n$ линейно независимые решения вида

$\exp(u(z^{-1/s}))\cdot z^{\alpha }(\psi _{0}(z^{1/s})+\cdots +\log ^{k}(z)\psi _{k}(z^{1/s})+\cdots +\log ^{w}(z)\psi _{w}(z^{1/s}))$

где $s\in \mathbb {N} \setminus \{0\},u(z)\in \mathbb {C} [z]$ и $u(0)=0,\alpha \in \mathbb {C} ,w\in \mathbb {N}$и формальный степенной ряд $\psi _{0}(z),\dots ,\psi _{w}\in \mathbb {C} [[z]]$.

$0$ является иррегулярной особенностью тогда и только тогда, когда существует решение с $u\neq 0$. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет фуксовский тип тогда и только тогда, когда для всех $\xi \in \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ существует фундаментальная система решений рядов Фробениуса с $u=0$ в $\xi$.

Ссылки

• Инс, Эдвард Линдси (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. ISBN  9780486158211 .
• Пул, Эдгар Жирар Крокер (1936). Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Кларендон Пресс.
• Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (1963). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. стр. Лекция 40. ISBN  9780486649405 .
• Хорн, Джейкоб (1905). Обыкновенные дифференциальные уравнения произвольного порядка . Лейпциг, Германия: GJ Göschensche Verlagshandlung.
• Шлезингер, Людвиг Линдси (1897). Справочник по теории линейных дифференциальных уравнений (Том 2, Часть 1) . Лейпциг, Германия: БГТойбнер. стр. 241 и далее.