Отношение Фукса

В математике соотношение Фукса — это соотношение между начальными показателями решений формальных рядов некоторых линейных дифференциальных уравнений, так называемых фуксовых уравнений . Он назван в честь Лазаря Иммануила Фукса .

Определение Фуксова уравнения

Линейное дифференциальное уравнение , в котором каждая особая точка , включая точку, обращенную на бесконечность, является регулярной особенностью , называется уравнением Фукса или уравнением фуксова типа . Для фуксовых уравнений формальная фундаментальная система существует в любой точке благодаря фуксовой теории .

Коэффициенты фуксова уравнения

Позволять $a_{1},\dots ,a_{r}\in \mathbb {C}$ быть $r$ регулярные особенности в конечной части комплексной плоскости линейного дифференциального уравнения $Lf:={\frac {d^{n}f}{dz^{n}}}+q_{1}{\frac {d^{n-1}f}{dz^{n-1}}}+\cdots +q_{n-1}{\frac {df}{dz}}+q_{n}f$

с мероморфными функциями $q_{i}$. Для линейных дифференциальных уравнений особенности — это в точности особые точки коэффициентов. $Lf=0$ является фуксовым уравнением тогда и только тогда, когда коэффициенты являются рациональными функциями вида

$q_{i}(z)={\frac {Q_{i}(z)}{\psi ^{i}}}$

с полиномом ${\textstyle \psi :=\prod _{j=0}^{r}(z-a_{j})\in \mathbb {C} [z]}$ и некоторые полиномы $Q_{i}\in \mathbb {C} [z]$ для $i\in \{1,\dots ,n\}$, такой, что $\deg(Q_{i})\leq i(r-1)$. Это означает, что коэффициент $q_{i}$ имеет максимум полюсов порядка $i$, для $i\in \{1,\dots ,n\}$.

Отношение Фукса

Позволять $Lf=0$ — фуксово уравнение порядка $n$ с особенностями $a_{1},\dots ,a_{r}\in \mathbb {C}$ и точка в бесконечности. Позволять $\alpha _{i1},\dots ,\alpha _{in}\in \mathbb {C}$ быть корнями определяющего полинома относительно $a_{i}$, для $i\in \{1,\dots ,r\}$. Позволять $\beta _{1},\dots ,\beta _{n}\in \mathbb {C}$ быть корнями определяющего многочлена относительно $\infty$, который определяется определяющим полиномом $Lf$ преобразованный $z=x^{-1}$ в $x=0$. Тогда справедливо так называемое соотношение Фукса :

$\sum _{i=1}^{r}\sum _{k=1}^{n}\alpha _{ik}+\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}={\frac {n(n-1)(r-1)}{2}}$.

Соотношение Фукса можно переписать как бесконечную сумму. Позволять $P_{\xi }$ обозначим исходный полином относительно $\xi \in \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ уравнения Фукса $Lf=0$. Определять $\operatorname {defect} :\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C}$ как

$\operatorname {defect} (\xi ):={\begin{cases}\operatorname {Tr} (P_{\xi })-{\frac {n(n-1)}{2}}{\text{, for }}\xi \in \mathbb {C} \\\operatorname {Tr} (P_{\xi })+{\frac {n(n-1)}{2}}{\text{, for }}\xi =\infty \end{cases}}$

где ${\textstyle \operatorname {Tr} (P):=\sum _{\{z\in \mathbb {C} :P(z)=0\}}z}$ дает след многочлена $P$, то есть, $\operatorname {Tr}$ обозначает сумму корней многочлена, подсчитанную с кратностью.

Это означает, что $\operatorname {defect} (\xi )=0$ для любой обычной точки $\xi$, в связи с тем, что определяющий полином относительно любой обычной точки равен $P_{\xi }(\alpha )=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)$. Преобразование $z=x^{-1}$, которое используется для получения основного уравнения относительно $\infty$, мотивирует смену знака в определении $\operatorname {defect}$ для $\xi =\infty$. Переписанное соотношение Фукса:

$\sum _{\xi \in \mathbb {C} \cup \{\infty \}}\operatorname {defect} (\xi )=0.$

Ссылки

• Инс, Эдвард Линдси (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. ISBN  9780486158211 .
• Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (1963). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк, США: Dover Publications. стр. Лекция 40. ISBN  9780486649405 .
• Хорн, Джейкоб (1905). Обыкновенные дифференциальные уравнения произвольного порядка . Лейпциг, Германия: GJ Göschensche Verlagshandlung.
• Шлезингер, Людвиг (1897). Справочник по теории линейных дифференциальных уравнений (Том 2, Часть 1) . Лейпциг, Германия: БГТойбнер. стр. 241 и далее.