Интеграл Барнса

В математике интеграл Барнса или интеграл Меллина – Барнса представляет собой контурный интеграл, включающий произведение гамма-функций . Их представил Эрнест Уильям Барнс ( 1908 , 1910 ). Они тесно связаны с обобщенными гипергеометрическими рядами .

Интеграл обычно берется по контуру, который представляет собой деформацию мнимой оси, проходящей справа от всех полюсов множителей вида Γ( a + s ) и слева от всех полюсов множителей вида Γ( a − с ).

Гипергеометрическая серия

Гипергеометрическая функция задается как интеграл Барнса ( Барнс 1908 ) формулой

${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds,$

см. также ( Эндрюс, Аски и Рой 1999 , теорема 2.4.1). Это равенство можно получить, сдвинув контур вправо, подобрав вычеты в точках s = 0, 1, 2,... . для $z\ll 1$и аналитическим продолжением в другом месте. можно связать более общие интегралы Барнса и обобщенные гипергеометрические функции _p F _q При наличии правильных условий сходимости аналогичным образом ( Slater 1966 ).

Леммы Барнса

Первая лемма Барнса ( Barnes 1908 ) гласит:

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c-s)\Gamma (d-s)ds={\frac {\Gamma (a+c)\Gamma (a+d)\Gamma (b+c)\Gamma (b+d)}{\Gamma (a+b+c+d)}}.$

Это аналог Гаусса ₂ F ₁ формулы суммирования , а также расширение бета-интеграла Эйлера . Интеграл в нем иногда называют бета-интегралом Барнса .

Вторая лемма Барнса ( Barnes 1910 ) гласит:

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c+s)\Gamma (1-d-s)\Gamma (-s)}{\Gamma (e+s)}}ds$

$={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)\Gamma (1-d+a)\Gamma (1-d+b)\Gamma (1-d+c)}{\Gamma (e-a)\Gamma (e-b)\Gamma (e-c)}}$

где e = a + b + c − d + 1. Это аналог формулы суммирования Заальшюца .

q-интегралы Барнса

Существуют аналоги интегралов Барнса для основных гипергеометрических рядов , и многие другие результаты также могут быть распространены на этот случай ( Гаспер и Рахман, 2004 , глава 4).

Ссылки

• Эндрюс, GE ; Аски, Р. ; Рой, Р. (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 71. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-62321-9 . МР   1688958 .
• Барнс, EW (1908). «Новое развитие теории гипергеометрических функций» . Учеб. Лондонская математика. Соц . с2-6 : 141–177. дои : 10.1112/plms/s2-6.1.141 . ЯФМ   39.0506.01 .
• Барнс, EW (1910). «Преобразование обобщенного гипергеометрического ряда». Ежеквартальный математический журнал . 41 : 136–140. ЯФМ   41.0503.01 .
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Основной гипергеометрический ряд . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 96 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-83357-8 . МР   2128719 .
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-06483-Х . МР   0201688 . Збл   0135.28101 . (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN   978-0-521-09061-2 )