Номограмма

Эта статья о типе графического калькулятора. Чтобы узнать о типе головоломки, см. Nonogram . Чтобы узнать о типе мотива, см. Монограмма .

Типичная номограмма параллельного масштаба. В этом примере вычисляется значение T, когда в уравнение подставляются S = 7,30 и R = 1,17. Изоплет пересекает шкалу Т чуть ниже 4,65.

Номограмма греческого (от вычислительное nomos νόμος , «закон» и grammē γραμμή , «линия»), также называемая номограммой , диаграммой выравнивания или abac , представляет собой графическое устройство , двумерную диаграмму, предназначенную для приблизительного графического расчета функция математическая . Область номографии была изобретена в 1884 году французским инженером Филбером Морисом д'Оканем (1862–1938) и в течение многих лет широко использовалась для обеспечения инженеров быстрыми графическими расчетами сложных формул с практической точностью. Номограммы используют параллельную систему координат, изобретенную д'Оканем, а не стандартные декартовы координаты .

Номограмма состоит из набора из n шкал, по одной для каждой переменной в уравнении. Зная значения n-1 переменных, можно найти значение неизвестной переменной или, зафиксировав значения некоторых переменных, изучить связь между незафиксированными. Результат получается путем наложения линейки на известные значения весов и считывания неизвестного значения в том месте, где оно пересекает шкалу для этой переменной. Виртуальная или нарисованная линия, созданная линейкой, называется индексной линией или изоплетом .

Номограммы процветали во многих различных контекстах в течение примерно 75 лет, поскольку они позволяли выполнять быстрые и точные вычисления до эпохи карманных калькуляторов. Результаты номограммы можно получить очень быстро и надежно, просто проведя одну или несколько линий. Пользователю не обязательно знать, как решать алгебраические уравнения, искать данные в таблицах, использовать логарифмическую линейку или подставлять числа в уравнения для получения результатов. Пользователю даже не нужно знать основное уравнение, которое представляет номограмма. Кроме того, номограммы естественным образом включают неявные или явные знания предметной области в свой дизайн . Например, чтобы создать номограммы большего размера для большей точности, номограф обычно включает только диапазоны масштабов, которые являются разумными и представляют интерес для проблемы. Многие номограммы включают другие полезные обозначения, такие как ссылочные метки и цветные области. Все это дает пользователю полезные ориентиры.

Диаграмма Смита для расчета электрического импеданса без нанесения значений; хотя это и не номограмма, она основана на аналогичных принципах

Как и логарифмическая линейка, номограмма представляет собой графическое аналоговое вычислительное устройство. Как и в случае с логарифмической линейкой, ее точность ограничена точностью, с которой физические отметки могут быть нарисованы, воспроизведены, просмотрены и выровнены. устройства В отличие от логарифмической линейки, которая является вычислительным устройством общего назначения, номограмма предназначена для выполнения конкретного расчета с таблицами значений, встроенными в шкалы . Номограммы обычно используются в приложениях, для которых уровень точности, который они обеспечивают, достаточен и полезен. Альтернативно, номограмму можно использовать для проверки ответа, полученного путем более точного, но подверженного ошибкам расчета.

Другие типы графических калькуляторов, такие как диаграммы пересечений , трилинейные диаграммы и шестиугольные диаграммы , иногда называются номограммами. Эти устройства не соответствуют определению номограммы как графического калькулятора, решение которого находится с помощью одной или нескольких линейных изоплет.

Описание

Компоненты номограммы параллельного масштаба

Номограмма для уравнения с тремя переменными обычно имеет три шкалы, хотя существуют номограммы, в которых две или даже все три шкалы являются общими. Здесь две шкалы представляют известные значения, а третья — это шкала, по которой считывается результат. Простейшим таким уравнением является u ₁ + u ₂ + u ₃ = 0 для трех переменных u ₁ , u ₂ и u ₃ . Пример номограммы этого типа показан справа и снабжен терминами, используемыми для описания частей номограммы.

Более сложные уравнения иногда можно выразить как сумму функций трех переменных. Например, номограмму в начале этой статьи можно построить как номограмму параллельного масштаба, поскольку ее можно выразить в виде такой суммы после логарифмирования обеих частей уравнения.

Шкала неизвестной переменной может находиться между двумя другими шкалами или вне их. На шкалах этих переменных отмечаются известные значения расчета, между этими отметками проводится линия. Результат считывается с неизвестной шкалы в точке пересечения линии с этой шкалой. На шкалах имеются деления для указания точного местоположения чисел, а также они могут включать обозначенные эталонные значения. Эти шкалы могут быть линейными , логарифмическими или иметь более сложные отношения.

Образец изоплеты, показанный красным на номограмме в верхней части этой статьи, рассчитывает значение T при S = ​​7,30 и R = 1,17. Изоплет пересекает шкалу Т чуть ниже 4,65; более крупная цифра, напечатанная с высоким разрешением на бумаге, даст T = 4,64 с точностью до трех цифр. Обратите внимание, что любую переменную можно вычислить на основе значений двух других — эта особенность номограмм особенно полезна для уравнений, в которых переменная не может быть алгебраически изолирована от других переменных.

Прямые шкалы полезны для относительно простых расчетов, но для более сложных расчетов может потребоваться использование простых или сложных изогнутых шкал. Номограммы для более чем трех переменных могут быть построены путем включения сетки шкал для двух переменных или путем объединения отдельных номограмм с меньшим количеством переменных в составную номограмму.

Приложения

Номограммы использовались во многих приложениях. Образец включает в себя:

• Оригинальное приложение д'Оканя для автоматизации сложных расчетов выемки и насыпи при выемке грунта при строительстве французской национальной железнодорожной системы. Это было важным доказательством концепции, поскольку расчеты нетривиальны, а результаты привели к значительной экономии времени, усилий и денег.
• Конструкция каналов, труб и проводов для регулирования потока воды.
• Работа Лоуренса Хендерсона , в которой номограммы использовались для корреляции множества различных аспектов физиологии крови. Это было первое крупное использование номограмм в Соединенных Штатах, а также первые медицинские номограммы в мире.
• Медицинские области, такие как фармация и онкология.
• Баллистические расчеты до систем управления огнем, где время расчета имело решающее значение.
• Расчеты в механическом цеху для преобразования размеров чертежа и выполнения расчетов на основе размеров и свойств материала. Эти номограммы часто включали маркировку стандартных размеров и имеющихся в наличии деталей.
• Статистика для сложных расчетов свойств распределений и исследования операций, включая разработку приемочных испытаний для контроля качества.
• Исследование операций для получения результатов в различных задачах оптимизации.
• Химия и химическая инженерия, чтобы инкапсулировать как общие физические взаимосвязи, так и эмпирические данные для конкретных соединений.
• Воздухоплавание, в котором номограммы десятилетиями использовались в кабинах самолетов всех мастей. В качестве средства навигации и управления полетом номограммы представляли собой быстрые, компактные и простые в использовании калькуляторы.
• Астрономические расчеты, как в орбитальных расчетах спутника-1 после запуска П.Е. Эльясберга.
• Инженерные работы всех видов: электрическое проектирование фильтров и линий электропередачи, механические расчеты напряжений и нагрузок, оптические расчеты и т.д.
• Военные, где сложные расчеты необходимо производить в полевых условиях быстро и надежно, не зависимо от электрических устройств.
• Сейсмология , где были разработаны номограммы для оценки магнитуды землетрясений и представления результатов вероятностного сейсмической опасности . анализа

Примеры

Параллельное сопротивление/тонкая линза

параллельного электрического сопротивления Номограмма

Номограмма ниже выполняет расчет:

$$f(A,B)={\frac {1}{1/A+1/B}}={\frac {AB}{A+B}}$$

Эта номограмма интересна тем, что она выполняет полезные нелинейные вычисления, используя только прямолинейные шкалы с одинаковой градуировкой. Хотя диагональная линия имеет масштаб ${\sqrt {2}}$ раз больше, чем масштабы осей, числа на нем точно совпадают с числами непосредственно под ним или слева от него, и поэтому его можно легко создать, нарисовав прямую линию по диагонали на листе миллиметровой бумаги .

A и B вводятся по горизонтальной и вертикальной шкале, а результат считывается по диагональной шкале. Поскольку эта формула пропорциональна среднему гармоническому значению A и B , она имеет несколько применений. Например, это формула параллельного сопротивления в электронике и уравнение тонкой линзы в оптике .

В примере красная линия показывает, что параллельные резисторы сопротивлением 56 и 42 Ом имеют общее сопротивление 24 Ом. Также показано, что объект на расстоянии 56 см от линзы с фокусным расстоянием 24 см формирует реальное изображение на расстоянии 42 см.

Вычисление теста хи-квадрат

распределения хи-квадрат Номограмма

Приведенную ниже номограмму можно использовать для приблизительного расчета некоторых значений, необходимых при выполнении знакомого статистического теста — критерия хи-квадрат Пирсона . Данная номограмма демонстрирует использование изогнутых шкал с неравномерно расположенными делениями.

Соответствующее выражение:

$${\frac {(OBS-EXP)^{2}}{EXP}}$$

Шкала вверху используется для пяти различных диапазонов наблюдаемых значений: A, B, C, D и E. Наблюдаемое значение находится в одном из этих диапазонов, а отметка, используемая на этой шкале, находится непосредственно над ним. Затем кривая шкала, используемая для ожидаемого значения, выбирается на основе диапазона. Например, для наблюдаемого значения 9 будет использоваться отметка над цифрой 9 в диапазоне A, а для ожидаемого значения будет использоваться кривая шкала A. Для наблюдаемого значения 81 будет использоваться отметка выше 81 в диапазоне E, а для ожидаемого значения будет использоваться изогнутая шкала E. Это позволяет объединить пять различных номограмм в одну диаграмму.

Таким образом, синяя линия демонстрирует вычисление:

      (9 − 5) ² / 5 = 3.2

а красная линия демонстрирует вычисление:

      (81 − 70) ² / 70 = 1.7

При выполнении теста поправка Йейтса на непрерывность часто применяется , которая просто включает вычитание 0,5 из наблюдаемых значений. Номограмму для проведения теста с поправкой Йейтса можно было бы построить, просто сдвигая каждую «наблюдаемую» шкалу на полединицы влево так, чтобы деления 1,0, 2,0, 3,0,... располагались там, где находятся значения 0,5, 1,5, 2,5. , ... появляются на настоящем графике.

Оценка продовольственного риска

продовольственного риска оценки Номограмма

Хотя номограммы представляют собой математические отношения, не все они выведены математически. Следующий вариант был разработан графически для достижения соответствующих конечных результатов, которые можно было бы легко определить через произведение их отношений в субъективных единицах, а не в числовых значениях. Использование непараллельных осей позволило включить в модель нелинейные зависимости.

Числа в квадратных прямоугольниках обозначают оси, требующие ввода после соответствующей оценки.

Пара номограмм в верхней части изображения определяет вероятность возникновения и доступность, которые затем включаются в нижнюю многоступенчатую номограмму.

Линии 8 и 10 являются «связующими линиями» или «опорными линиями» и используются для перехода между этапами номограммы соединения.

Последняя пара параллельных логарифмических шкал (12) не является номограммами как таковыми, а шкалами отсчета для перевода оценки риска (11, от отдаленной до чрезвычайно высокой) в частоту выборки для рассмотрения аспектов безопасности и других аспектов «защиты потребителей» соответственно. . На этом этапе требуется политическая поддержка, балансирующая затраты и риск. В примере используется трехлетняя минимальная частота для каждого, хотя конец шкалы высокого риска различен для двух аспектов, что дает разную частоту для двух, но оба подлежат общему минимальному отбору проб каждого продукта питания, по крайней мере, для всех аспектов. раз в три года.

Эта номограмма оценки риска была разработана Службой общественных аналитиков Великобритании при финансовой поддержке Агентства по пищевым стандартам Великобритании для использования в качестве инструмента для определения соответствующей частоты отбора проб и анализа пищевых продуктов в целях официального контроля пищевых продуктов, предназначенного для использования для оценки всех потенциальных рисков. проблемы со всеми продуктами питания, хотя еще не приняты.

Другие быстрые номограммы

С помощью линейки можно легко прочитать недостающий член закона синусов или корни квадратного и кубического уравнения.

• 
  Номограмма для закона синусов
• 
  Номограмма для решения квадратичного уравнения x^2+px+q=0
• 
  Номограмма для решения кубической задачи x^3+px+q=0

См. также

• Картограмма
• Тринадцатая проблема Гильберта
• Теорема о представлении Колмогорова–Арнольда
• Грузовая линия (электроника)
• Лог-логарифм
• Полулогарифмический график

Дальнейшее чтение

• Д. П. Адамс, Номография: теория и применение , (Archon Books) 1964.
• Х. Дж. Олкок, Дж. Реджинальд Джонс и Дж. Г. Л. Мишель, Номограмма. Теория и практическое построение вычислительных диаграмм , 5-е изд. (Лондон: Sir Isaac Pitman & Sons, Ltd.), 1963 г. ( 1-е издание, 1932 г. )
• С. Бродецкий, Первый курс номографии (Лондон, Г. Белл и сыновья), 1920.
• Д. С. Дэвис, Эмпирические уравнения и номография (Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co.), 1943.
• М. д'Окань: Трактат о номографии , (Готье-Виллар, Париж) 1899 г.
• М. д'Окан: (1900) О номографическом разрешении уравнения седьмой степени . Отчеты (Париж), 131, 522–524.
• Р. Д. Дуглас и Д. П. Адамс, Элементы номографии (Нью-Йорк: McGraw-Hill), 1947.
• Р. П. Хельшер и др., Графические средства инженерных вычислений (Нью-Йорк: McGraw-Hill), 1952.
• Л. Иван Эпштейн, Номография (Нью-Йорк: Interscience Publishers), 1958.
• Л. Х. Джонсон, Номография и эмпирические уравнения (Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья), 1952.
• М. Каттан и Дж. Мараско. (2010) Что такое настоящая номограмма? , Семинары по онкологии, 37(1), 23–26.
• А.С. Левенс, Номография , 2-е изд. (Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc.), 1959.
• Ф. Т. Мэвис, Построение номографических диаграмм (Скрэнтон, Международный учебник), 1939.
• Э. Отто, Номография (Нью-Йорк: The Macmillan Company) 1963.
• Х. А. Ившем История и развитие номографии (Бостон: Docent Press), 2010. ISBN   9781456479626
• Т.Х. Гронуолл, Р. Дорфлер, А. Глухофф и С. Гутери, Вычисление кривых: математика, история и эстетическая привлекательность номографических работ Т.Х. Гронуолла , (Бостон: Docent Press), 2012. ISBN   9780983700432

Внешние ссылки

• Искусство номографии описывает создание номограмм с использованием геометрии, определителей и преобразований.
• «Утраченное искусство номографии» — это статья в математическом журнале, посвященная области номографии.
• Номограммы для варгеймов, но также представляют общий интерес.
• PyNomo – программное обеспечение с открытым исходным кодом для построения номограмм.
• Java-апплет для построения простых номограмм.
• Номограммы для визуализации связей между тремя переменными - видео и слайды приглашенного доклада Джонатана Ружье для useR!2011.