Гармоническое вейвлет-преобразование

В математике обработки сигналов гармоническое вейвлет-преобразование , введенное Дэвидом Эдвардом Ньюлендом в 1993 году, представляет собой основанное на вейвлетах линейное преобразование заданной функции в частотно-временное представление . Он сочетает в себе преимущества кратковременного преобразования Фурье и непрерывного вейвлет-преобразования . Его можно выразить с помощью повторяющихся преобразований Фурье , а его дискретный аналог можно эффективно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье .

Гармонические вейвлеты

Преобразование использует семейство «гармонических» вейвлетов, индексированных двумя целыми числами j («уровень» или «порядок») и k («перевод»), определяемыми формулой $w(2^{j}t-k)\!$, где

$w(t)={\frac {e^{i4\pi t}-e^{i2\pi t}}{i2\pi t}}.$

Эти функции ортогональны, а их преобразования Фурье представляют собой квадратную оконную функцию (постоянную в определенной октавной полосе и нулевую в другом месте). В частности, они удовлетворяют:

$\int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot w(2^{j'}t-k')\,dt={\frac {1}{2^{j}}}\delta _{j,j'}\delta _{k,k'}$

$\int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot w(2^{j'}t-k')\,dt=0$

где «*» обозначает комплексное сопряжение , а $\delta$ является дельтой Кронекера .

По мере увеличения порядка j эти вейвлеты становятся более локализованными в пространстве Фурье (частоте) и в более высоких частотных диапазонах и, наоборот, становятся менее локализованными во времени ( t ). Следовательно, когда они используются в качестве основы для расширения произвольной функции, они представляют поведение функции в разных масштабах времени (и при разных временных смещениях для разных k ).

Однако можно объединить все отрицательные порядки ( j < 0) вместе в одно семейство «масштабирующих» функций. $\varphi (t-k)$ где

$\varphi (t)={\frac {e^{i2\pi t}-1}{i2\pi t}}.$

Функция φ ортогональна сама себе для разных k , а также ортогональна вейвлет-функциям для неотрицательных j :

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=\delta _{k,k'}$

$\int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0$

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0$

$\int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0.$

Таким образом, при гармоническом вейвлет-преобразовании произвольная действительная или комплексная функция $f(t)$ (в L2 ) разлагается на основе гармонических вейвлетов (для всех целых чисел j ) и их комплексно-сопряженных чисел:

$f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right],$

или, альтернативно, в основе вейвлетов для неотрицательного j, дополненных масштабирующими функциями φ :

$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{k}\varphi (t-k)+{\tilde {a}}_{k}\varphi ^{*}(t-k)\right]+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right].$

Тогда коэффициенты разложения, в принципе, можно вычислить с использованием соотношений ортогональности:

${\begin{aligned}a_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w^{*}(2^{j}t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w(2^{j}t-k)\,dt\\a_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi ^{*}(t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi (t-k)\,dt.\end{aligned}}$

Для вещественной функции f ( t ), ${\tilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}$ и ${\tilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}$ поэтому можно сократить количество независимых коэффициентов разложения вдвое.

Это разложение обладает свойством, аналогичным теореме Парсеваля :

${\begin{aligned}&\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(|a_{k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{k}|^{2}\right)+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.\end{aligned}}$

Однако вместо того, чтобы вычислять коэффициенты разложения непосредственно из соотношений ортогональности, это можно сделать, используя последовательность преобразований Фурье. Это гораздо более эффективно в дискретном аналоге этого преобразования (дискретном t ), где можно использовать быстрого преобразования Фурье алгоритмы .

Ссылки

• Ньюленд, Дэвид Э. (8 октября 1993 г.). «Гармонический вейвлет-анализ». Труды Лондонского королевского общества . А. 443 (1917): 203–225. Бибкод : 1993RSPSA.443..203N . дои : 10.1098/rspa.1993.0140 . JSTOR   52388 . S2CID   122912891 .
• Сильверман, BW; Василикос, Дж. К., ред. (2000). Вейвлеты: ключ к прерывистой информации? . Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-850716-Х .
• Боашаш, Буалем, изд. (2003). Анализ и обработка частотно-временных сигналов: полный справочник . Эльзевир . ISBN  0-08-044335-4 .