Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное вейвлет -преобразование сигнала частотного пробоя. Использовался симлет с 5 исчезающими моментами.

В математике непрерывное вейвлет-преобразование ( CWT ) — это формальный (то есть нечисловой) инструмент, который обеспечивает неполное представление сигнала, позволяя параметру перевода и масштабирования вейвлетов непрерывно изменяться.

Определение

Непрерывное вейвлет-преобразование функции $x(t)$ в масштабе $a\in \mathbb {R^{+*}}$ и переводческая ценность $b\in \mathbb {R}$ выражается следующим интегралом

$$X_{w}(a,b)={\frac {1}{|a|^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} t$$

где $\psi (t)$ — это непрерывная функция как во временной, так и в частотной области, называемая материнским вейвлетом, а верхняя линия представляет собой операцию комплексного сопряжения . Основная цель материнского вейвлета — предоставить исходную функцию для генерации дочерних вейвлетов, которые представляют собой просто преобразованные и масштабированные версии материнского вейвлета. Чтобы восстановить исходный сигнал $x(t)$, можно использовать первое обратное непрерывное вейвлет-преобразование.

$x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{|a|^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ {\frac {\mathrm {d} a}{a^{2}}}$

${\tilde {\psi }}(t)$ это двойная функция $\psi (t)$ и

$C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,\mathrm {d} \omega$

– допустимая константа, где шляпка означает оператор преобразования Фурье. Иногда, ${\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)$, то допустимая константа принимает вид

$C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2}}{\left|\omega \right|}}\,\mathrm {d} \omega$

Традиционно эту константу называют допустимой константой вейвлета. Вейвлет, допустимая константа которого удовлетворяет

$0<C_{\psi }<\infty$

называется допустимым вейвлетом. Чтобы восстановить исходный сигнал $x(t)$, можно использовать второе обратное непрерывное вейвлет-преобразование.

$x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,\mathrm {d} b\ \mathrm {d} a$

Это обратное преобразование предполагает, что вейвлет следует определять как

$\psi (t)=w(t)\exp(it)$

где $w(t)$ это окно. Такой определенный вейвлет можно назвать анализирующим вейвлетом, поскольку он допускает частотно-временной анализ. Чтобы быть допустимым, анализирующий вейвлет необязателен.

Масштабный коэффициент

Масштабный коэффициент $a$ либо расширяет, либо сжимает сигнал. Когда масштабный коэффициент относительно низок, сигнал более сжат, что, в свою очередь, приводит к более подробному результирующему графику. Однако недостатком является то, что низкий масштабный коэффициент не сохраняется в течение всей продолжительности сигнала. С другой стороны, когда масштабный коэффициент высок, сигнал растягивается, а это означает, что результирующий график будет представлен менее подробно. Тем не менее, обычно оно длится всю продолжительность сигнала.

Свойства непрерывного вейвлет-преобразования

По определению, непрерывное вейвлет-преобразование представляет собой свертку последовательности входных данных с набором функций, сгенерированных материнским вейвлетом. Свертку можно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Обычно вывод $X_{w}(a,b)$ является вещественнозначной функцией, за исключением случаев, когда материнский вейвлет является комплексным. Комплексный материнский вейвлет преобразует непрерывное вейвлет-преобразование в комплексную функцию. Спектр мощности непрерывного вейвлет-преобразования можно представить как ${\frac {1}{a}}\cdot |X_{w}(a,b)|^{2}$.

Визуализация эффекта изменения вейвлета Морле $\sigma$ параметр, который интерполирует исходный временной ряд и преобразование Фурье . Здесь частотно-модулированный тон (плюс шум); анализируется $1/\sigma$ регулируется от 1 до 200 с шагом единицы.

Применение вейвлет-преобразования

Одним из наиболее популярных применений вейвлет-преобразования является сжатие изображений. Преимущество использования вейвлет-кодирования при сжатии изображений заключается в том, что оно обеспечивает значительное улучшение качества изображения при более высоких коэффициентах сжатия по сравнению с традиционными методами. Поскольку вейвлет-преобразование обладает способностью разлагать сложную информацию и закономерности на элементарные формы, оно обычно используется в акустической обработке и распознавании образов, но оно также было предложено в качестве мгновенного средства оценки частоты. Кроме того, вейвлет-преобразования могут применяться в следующих областях научных исследований: обнаружение краев и углов, решение уравнений в частных производных, обнаружение переходных процессов, разработка фильтров, анализ электрокардиограммы (ЭКГ), анализ текстуры, анализ деловой информации и анализ походки. Вейвлет-преобразования также можно использовать при анализе данных электроэнцефалографии (ЭЭГ) для выявления эпилептических спайков, возникающих в результате эпилепсии . Вейвлет-преобразование также успешно использовалось для интерпретации временных рядов оползней. и оседание земли, и для расчета меняющейся периодичности эпидемий.

Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) очень эффективно при определении коэффициента затухания осциллирующих сигналов (например, при идентификации затухания в динамических системах). CWT также очень устойчив к шуму в сигнале.

См. также

• Непрерывный вейвлет
• S-преобразование
• Частотно-временной анализ
• Вейвлет Коши

Ссылки

• А. Гроссманн и Дж. Морле, 1984, Разложение функций Харди в квадратные интегрируемые вейвлеты постоянной формы, Soc. Межд. Являюсь. Математика. (СИАМ), J. Math. Анализ., 15, 723–736.
• Линтао Лю и Хаутсе Сюй (2012) «Инверсия и нормализация частотно-временного преобразования» AMIS 6 № 1S, стр. 67S-74S.
• Стефан Малла , «Вейвлет-тур по обработке сигналов», 2-е издание, Academic Press, 1999, ISBN   0-12-466606-X
• Дин, Цзянь-Цзюнь (2008), Частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование , просмотрено 19 января 2008 г.
• Поликар, Роби (2001), The Wavelet Tutorial , просмотрено 19 января 2008 г.
• WaveMetrics (2004), Временно-частотный анализ , просмотрено 18 января 2008 г.
• Валенс, Клеменс (2004), Действительно дружелюбное руководство по вейвлетам , просмотрено 18 сентября 2018 г.]
• Непрерывное вейвлет-преобразование Mathematica
• Левалле, Жак: Непрерывное вейвлет-преобразование , просмотрено 6 февраля 2010 г.

Внешние ссылки

• Вейвлеты: математический микроскоп на YouTube