Двойной вейвлет

В математике двойной вейвлет является двойственным вейвлету ​ . В общем, вейвлет-ряд, порожденный интегрируемой с квадратом функцией, будет иметь двойственный ряд в смысле теоремы о представлении Рисса . Однако двойственный ряд сам по себе не может быть представлен функцией, интегрируемой с квадратом.

Определение

Дана интегрируемая с квадратом функция $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$, определите ряд $\{\psi _{jk}\}$ к

$\psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)$

для целых чисел $j,k\in \mathbb {Z}$.

Такая функция называется R -функцией , если линейная оболочка $\{\psi _{jk}\}$ плотный ​ в $L^{2}(\mathbb {R} )$, и если существуют положительные константы A , B с $0<A\leq B<\infty$ такой, что

$A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,$

бибесконечных для всех суммируемых квадратов рядов $\{c_{jk}\}$. Здесь, $\Vert \cdot \Vert _{l^{2}}$ обозначает норму суммы квадратов:

$\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}$

и $\Vert \cdot \Vert _{L^{2}}$ обозначает обычную норму на $L^{2}(\mathbb {R} )$:

$\Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx$

По теореме о представлении Рисса существует единственный двойственный базис $\psi ^{jk}$ такой, что

$\langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}$

где $\delta _{jk}$ это дельта Кронекера и $\langle f\vert g\rangle$ является обычным внутренним произведением на $L^{2}(\mathbb {R} )$. Действительно, существует единственное представление в виде серии для интегрируемой с квадратом функции f, выраженной в этом базисе:

$f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)$

Если существует функция ${\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )$ такой, что

${\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}$

затем ${\tilde {\psi }}$ называется двойственным вейвлетом или вейвлетом, двойственным к ψ . В общем случае для некоторой заданной R -функции ψ двойственная функция не существует. В частном случае $\psi ={\tilde {\psi }}$Вейвлет называется ортогональным вейвлетом .

Пример R -функции без двойственной построить легко. Позволять $\phi$ быть ортогональным вейвлетом. Затем определите $\psi (x)=\phi (x)+z\phi (2x)$ для некоторого комплексного числа z . Нетрудно показать, что этот ψ не имеет двойственного вейвлета.

См. также

• Мультиразрешительный анализ

Ссылки

• Чарльз К. Чуи, Введение в вейвлеты (вейвлет-анализ и его приложения) , (1992), Academic Press, Сан-Диего, ISBN   0-12-174584-8