Вейвлет Коши

В математике вейвлеты Коши представляют собой семейство непрерывных вейвлетов, используемых в непрерывном вейвлет-преобразовании .

Определение

Вейвлет порядка Коши $p$ определяется как:

$\psi _{p}(t)={\frac {\Gamma (p+1)}{2\pi }}\left({\frac {j}{t+j}}\right)^{p+1}$

где $p>0$ и $j={\sqrt {-1}}$
следовательно, его преобразование Фурье определяется как

${\hat {\psi _{p}}}(\xi )=\xi ^{p}e^{-\xi }I_{[\xi \geq 0]}$.

Иногда его определяют как функцию с преобразованием Фурье.

${\hat {\psi _{p}}}(\xi )=\rho (\xi )\xi ^{p}e^{-\xi }I_{[\xi \geq 0]}$

где $\rho (\xi )\in L^{\infty }(\mathbb {R} )$ и $\rho (\xi )=\rho (a\xi )$ для $\xi \in \mathbb {R}$ почти везде и $\rho (\xi )\neq 0$ для всех $\xi \in \mathbb {R}$.

Кроме того, раньше его определяли как

$\psi _{p}(t)=({\frac {j}{t+j}})^{p+1}$

в предыдущих исследованиях вейвлета Коши. Если мы определили вейвлет Коши таким образом, мы можем заметить, что преобразование Фурье вейвлета Коши

$\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi _{p}}}(\xi )\,d\xi =\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi }{\Gamma (p+1)}}\xi ^{p}e^{-\xi }\,d\xi =2\pi$

Более того, мы видим, что максимум преобразования Фурье вейвлета Коши порядка $p$ произошло в $\xi =p$ и преобразование Фурье вейвлета Коши положительно только в $\xi >0$, это означает, что:
(1) когда $p$ низкий уровень, то свертка вейвлета Коши является фильтром нижних частот, и когда $p$ высока, свертка вейвлета Коши представляет собой фильтр верхних частот.
Поскольку вейвлет-преобразование равно свертке с материнским вейвлетом, а свертка с материнским вейвлетом равна умножению между преобразованием Фурье материнского вейвлета и функцией по теореме о свертке .
И,
(2) конструкция вейвлет-преобразования Коши рассматривается с анализом аналитического сигнала.

Поскольку аналитический сигнал является биективным по отношению к реальному сигналу и в аналитическом сигнале есть только положительная частота (реальный сигнал имеет сопряженную частоту между положительной и отрицательной), т.е.

${\overline {FT\{x\}(-\xi )}}=FT\{x\}(\xi )$

где $x(t)$ это реальный сигнал( $x(t)\in \mathbb {R}$, для всех $t\in \mathbb {R}$)
И биекция между аналитическим сигналом и реальным сигналом заключается в том, что

$x_{+}(t)=x(t)+jx_{H}(t)$

$x(t)=Re\{x_{+}(t)\}$

где $x_{+}(t)$ соответствует аналитический сигнал реального сигнала $x(t)$, и $x_{H}(t)$ является Гильберта преобразованием $x(t)$.

Уникальность реконструкции

Проблема поиска фазы

Задача восстановления фазы состоит в восстановлении неизвестной комплексной функции. $f$ из набора бесфазных линейных измерений. Точнее, пусть $V$ быть векторным пространством , векторы которого являются комплексными функциями, на $\mathbb {C}$ и $\{L_{i}\}_{i\in I}$ набор линейных форм из $V$ к $\mathbb {C}$. Нам дан набор всех $\{|L_{i}(f)|\}_{i\in I}$, для чего-то неизвестного $f\in V$ и мы хотим определить $f$.
Эту проблему можно изучать с трех разных точек зрения:
(1) Есть $f$ однозначно определяется $\{|L_{i}(f)|\}_{i\in I}$ (до глобальной фазы)?
(2) Если ответ на предыдущий вопрос положительный, возможно ли обратное применение $\{|L_{i}(f)|\}_{i\in I}\implies f$ является «стабильным»? Например, является ли оно непрерывным ? Равномерно Липшицев ?
(3) Существует ли на практике эффективный алгоритм, который восстанавливает $f$ от $\{|L_{i}(f)|\}_{i\in I}$?

Наиболее известным примером задачи восстановления фазы является случай, когда $L_{i}$ представляют коэффициенты Фурье:
например:

$L_{n}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-jnt}\,dt$, для $n\in \mathbb {Z}$,

где $f$ — комплексная функция на $[-\pi ,\pi ]$
Затем, $f$ можно реконструировать с помощью $L_{n}(f)$ как

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }L_{n}(f)e^{jnt}$.

и на самом деле мы имеем личность Парсеваля

$||f||^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|L_{n}(f)|^{2}$.

где $||f||^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(t)|^{2}\,dt$ т.е. норма, определенная в $L^{2}([-\pi ,\pi ])$.
Следовательно, в этом примере набор индексов $I$ целое число $\mathbb {Z}$, векторное пространство $V$ является $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ и линейная форма $L_{n}$ – коэффициент Фурье . Кроме того, абсолютное значение коэффициентов Фурье $\{|L_{n}(f)|\}_{n\in \mathbb {Z} }$ можно только определить норму $f$ определено в $L^{2}([-\pi ,\pi ])$.

Теорема единственности реконструкции

Во-первых, мы определяем вейвлет-преобразование Коши как:

$W_{\psi _{p}}[x(t)](a,b)={\frac {1}{b}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi _{p}({\frac {t-a}{b}})}}\,dt$.

Тогда теорема такова:

Теорема. Для фиксированного $p>0$, если существуют два разных числа $b_{1},b_{2}>0$ и вейвлет-преобразование Коши, определенное выше. Тогда, если существуют две действительные функции $f,g\in L^{2}(\mathbb {R} )$ удовлетворен

$|W_{\psi _{p}}[f(t)](a,b_{1})|=|W_{\psi _{p}}[g(t)](a,b_{1})|$, $\forall a\in \mathbb {R}$ и

$|W_{\psi _{p}}[f(t)](a,b_{2})|=|W_{\psi _{p}}[g(t)](a,b_{2})|$, $\forall a\in \mathbb {R}$,

тогда есть $\alpha \in \mathbb {R}$ такой, что $f_{+}(t)=e^{j\alpha }g_{+}(t)$.

$f_{+}(t)=e^{j\alpha }g_{+}(t)$ подразумевает, что

$Re\{f_{+}(t)\}=Re\{e^{j\alpha }g_{+}(t)\}\implies f(t)=\cos {\alpha }g(t)-\sin {\alpha }g_{H}(t)$ и

$Im\{f_{+}(t)\}=Im\{e^{j\alpha }g_{+}(t)\}\implies f_{H}(t)=\sin {\alpha }g(t)+\cos {\alpha }g_{H}(t)$.

Следовательно, мы получаем соотношение

$f(t)=(\cos {\alpha }-\sin {\alpha }\tan {\alpha })g(t)-\tan {\alpha }f_{H}(t)$

и $f(t),g_{H}(t)\in span\{f_{H}(t),g(t)\}=span\{f(t),f_{H}(t)\}=span\{g(t),g_{H}(t)\}$.

Возвращаясь к проблеме восстановления фазы, в случае вейвлет-преобразования Коши набор индексов $I$ является $\mathbb {R} \times \{b_{1},b_{2}\}$ с $b_{1}\neq b_{2}$ и $b_{1},b_{2}>0$, векторное пространство $V$ является $L^{2}(\mathbb {R} )$ и линейная форма $L_{(a,b)}$ определяется как $L_{(a,b)}(f)=W_{\psi _{p}}[f(t)](a,b)$. Следовательно, $\{|L_{(a,b)}(f)|\}_{a,b\in \mathbb {R} \times \{b_{1},b_{2}\}}$ определяет двумерное подпространство $span\{f,f_{H}\}$ в $L^{2}(\mathbb {R} )$.