Взаимная корреляция

В сигналов обработке взаимная корреляция — это мера сходства двух рядов как функция смещения одного относительно другого. Это также известно как скользящее скалярное произведение или скользящее внутреннее произведение . Он обычно используется для поиска более короткого известного объекта в длинном сигнале. Он находит применение в распознавании образов , анализе одиночных частиц , электронной томографии , усреднении , криптоанализе и нейрофизиологии . Взаимная корреляция по своей природе аналогична свертке двух функций. При автокорреляции , которая представляет собой взаимную корреляцию сигнала с самим собой, всегда будет пик с нулевой задержкой, а его размер будет энергией сигнала.

В теории вероятности и статистике термин «взаимная корреляция» относится к корреляциям между элементами двух случайных векторов. $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ , а корреляции случайного вектора $\mathbf {X}$ являются корреляциями между записями $\mathbf {X}$ сами по себе те, которые формируют матрицу корреляционную $\mathbf {X}$ . Если каждый из $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ представляет собой скалярную случайную величину, которая неоднократно реализуется во временном ряду , то корреляции различных временных моментов $\mathbf {X}$ известны автокорреляции как $\mathbf {X}$ и взаимные корреляции $\mathbf {X}$ с $\mathbf {Y}$ во времени являются временными взаимными корреляциями. В теории вероятности и статистике определение корреляции всегда включает стандартизирующий фактор, таким образом, корреляции имеют значения от -1 до +1.

Если $X$ и $Y$ две независимые случайные величины с функциями плотности вероятности $f$ и $g$ соответственно, то плотность вероятности разности $Y-X$ формально задается взаимной корреляцией (в смысле обработки сигналов) $f\star g$ ; однако эта терминология не используется в теории вероятности и статистике. Напротив, свертка $f*g$ (эквивалент взаимной корреляции $f(t)$ и $g(-t)$ ) дает функцию плотности вероятности суммы $X+Y$ .

Взаимная корреляция детерминированных сигналов

Для непрерывных функций $f$ и $g$ , взаимная корреляция определяется как: ^[1]^[2]^[3] $(f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt$ что эквивалентно $(f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt$ где ${\overline {f(t)}}$ обозначает комплексно-сопряженное число $f(t)$ , и $\tau$ называется смещением или задержкой. Для высококоррелированных $f$ и $g$ которые имеют максимальную взаимную корреляцию в конкретном $\tau$ , особенность в $f$ в $t$ также происходит позже в $g$ в $t+\tau$ , следовательно $g$ можно описать как отставание $f$ к $\tau$ .

Если $f$ и $g$ обе являются непрерывными периодическими функциями периода $T$ , интегрирование из $-\infty$ к $\infty$ заменяется интегрированием по любому интервалу $[t_{0},t_{0}+T]$ длины $T$ : $(f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt$ что эквивалентно $(f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt$ Аналогично для дискретных функций взаимная корреляция определяется как: ^[4]^[5] $(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m]}}g[m+n]$ что эквивалентно: $(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]$ Для конечных дискретных функций $f,g\in \mathbb {C} ^{N}$ , (круговая) взаимная корреляция определяется как: ^[6] $(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]$ что эквивалентно: $(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]$ Для конечных дискретных функций $f\in \mathbb {C} ^{N}$ , $g\in \mathbb {C} ^{M}$ , взаимная корреляция ядра определяется как: ^[7] $(f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]$ где $K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]$ вектор функций ядра $k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R}$ и $T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}$ является аффинным преобразованием .

Конкретно, $T_{i}(\cdot )$ Это может быть преобразование кругового перемещения, преобразование вращения или масштабное преобразование и т. д. Взаимная корреляция ядра расширяет взаимную корреляцию из линейного пространства в пространство ядра. Взаимная корреляция эквивалентна переводу; кросс-корреляция ядра эквивалентна любым аффинным преобразованиям, включая перемещение, вращение, масштабирование и т. д.

Объяснение

В качестве примера рассмотрим две вещественнозначные функции. $f$ и $g$ отличающиеся лишь неизвестным сдвигом вдоль оси x. Можно использовать взаимную корреляцию, чтобы определить, насколько $g$ необходимо сместить по оси X, чтобы сделать его идентичным $f$ . Формула, по существу, сдвигает $g$ функционируют вдоль оси X, вычисляя интеграл от их произведения в каждой позиции. Когда функции совпадают, значение $(f\star g)$ максимизируется. Это связано с тем, что когда пики (положительные области) совпадают, они вносят большой вклад в интеграл. Аналогичным образом, когда впадины (отрицательные области) совпадают, они также вносят положительный вклад в интеграл, поскольку произведение двух отрицательных чисел положительно.

С комплексными функциями $f$ и $g$ , сопряженное взяв $f$ гарантирует, что совмещенные пики (или совмещенные впадины) с мнимыми компонентами будут вносить положительный вклад в интеграл.

В эконометрике лаговую кросс-корреляцию иногда называют кросс-автокорреляцией. ^[8]^{: с. 74}

Характеристики

Взаимная корреляция функций $f(t)$ и $g(t)$ эквивалентна свертке (обозначаемой $*$ ) из ${\overline {f(-t)}}$ и $g(t)$ . То есть:
$[f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {f(-t)}}*g(t)](t).$
$[f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {g(t)}}\star {\overline {f(t)}}](-t).$
Если $f$ является эрмитовой функцией , то $f\star g=f*g.$
Если оба $f$ и $g$ являются эрмитовыми, то $f\star g=g\star f$ .
$\left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)$ .
По аналогии с теоремой о свертке взаимная корреляция удовлетворяет условию
${\mathcal {F}}\left\{f\star g\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f\right\}}}\cdot {\mathcal {F}}\left\{g\right\},$
где ${\mathcal {F}}$ обозначает преобразование Фурье , а ${\overline {f}}$ снова указывает на комплексно-сопряженное число $f$ , с ${\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}$ . В сочетании с алгоритмами быстрого преобразования Фурье это свойство часто используется для эффективного численного расчета взаимных корреляций. ^[9] (см. круговую взаимную корреляцию ).
Взаимная корреляция связана со спектральной плотностью (см. теорему Винера – Хинчина ).
Взаимная корреляция свертки $f$ и $h$ с функцией $g$ представляет собой свертку взаимной корреляции $g$ и $f$ с ядром $h$ :
$g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h$ .

Взаимная корреляция случайных векторов

Определение

Для случайных векторов $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})$ и $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})$ , каждый из которых содержит случайные элементы которых , ожидаемое значение и дисперсия существуют, матрицу взаимной корреляции $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ определяется ^[10]^{: стр.337} $\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} \right]$ и имеет размеры $m\times n$ . Написано покомпонентно: $\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}$ Случайные векторы $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ не обязательно должны иметь одинаковую размерность, и любое из них может быть скалярным значением.Где $\operatorname {E}$ это математическое ожидание .

Пример

Например, если $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)$ и $\mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)$ являются случайными векторами, то $\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }$ это $3\times 2$ матрица, чья $(i,j)$ -я запись $\operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]$ .

Определение комплексных случайных векторов

Если $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})$ и $\mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})$ представляют собой комплексные случайные векторы , каждый из которых содержит случайные величины, ожидаемое значение и дисперсия которых существуют, матрицу взаимной корреляции $\mathbf {Z}$ и $\mathbf {W}$ определяется $\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]$ где ${}^{\rm {H}}$ обозначает эрмитово транспонирование .

Взаимная корреляция случайных процессов

В анализе временных рядов и статистике взаимная корреляция пары случайных процессов — это корреляция между значениями процессов в разное время как функция двух времен. Позволять $(X_{t},Y_{t})$ быть парой случайных процессов, и $t$ быть в любой момент времени ( $t$ может быть целым числом для процесса с дискретным временем или действительным числом для процесса с непрерывным временем ). Затем $X_{t}$ — это ценность (или реализация ), полученная в результате данного выполнения процесса в определенный момент времени. $t$ .

Функция взаимной корреляции

Предположим, что процесс имеет средства $\mu _{X}(t)$ и $\mu _{Y}(t)$ и отклонения $\sigma _{X}^{2}(t)$ и $\sigma _{Y}^{2}(t)$ во время $t$ , для каждого $t$ . Тогда определение взаимной корреляции между временами $t_{1}$ и $t_{2}$ является ^[10]^{: стр.392} $\operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {Y_{t_{2}}}}\right]$ где $\operatorname {E}$ — оператор ожидаемого значения . Обратите внимание, что это выражение может быть не определено.

Функция перекрестной ковариации

Вычитание среднего значения перед умножением дает перекрестную ковариацию между временами. $t_{1}$ и $t_{2}$ : ^[10]^{: стр.392} $\operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))}}\right]$ Обратите внимание, что это выражение не является четко определенным для всех временных рядов или процессов, поскольку среднее значение или дисперсия могут не существовать.

Определение стационарного случайного процесса в широком смысле

Позволять $(X_{t},Y_{t})$ представляют собой пару случайных процессов , которые совместно являются стационарными в широком смысле . Тогда функция взаимной ковариации и функция взаимной корреляции задаются следующим образом.

Функция взаимной корреляции

$\operatorname {R} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[X_{t}{\overline {Y_{t+\tau }}}\right]$ или эквивалентно $\operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t-\tau }{\overline {Y_{t}}}\right]$

Функция перекрестной ковариации

$\operatorname {K} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right]$ или эквивалентно $\operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[\left(X_{t-\tau }-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t}-\mu _{Y}\right)}}\right]$ где $\mu _{X}$ и $\sigma _{X}$ среднее и стандартное отклонение процесса $(X_{t})$ , которые постоянны во времени из-за стационарности; и аналогично для $(Y_{t})$ , соответственно. $\operatorname {E} [\ ]$ указывает ожидаемое значение . Что взаимная ковариация и взаимная корреляция не зависят от $t$ — это именно дополнительная информация (помимо индивидуальной стационарности в широком смысле), передаваемая требованием, чтобы $(X_{t},Y_{t})$ являются совместно в широком смысле стационарными.

Взаимную корреляцию пары совместных в широком смысле стационарных случайных процессов можно оценить путем усреднения произведения выборок, измеренных в результате одного процесса, и выборок, измеренных в результате другого (и их временных сдвигов). Выборки, включенные в среднее значение, могут представлять собой произвольное подмножество всех выборок в сигнале (например, выборки в пределах конечного временного окна или подвыборку ). ^{[ который? ]} одного из сигналов). Для большого количества выборок среднее значение сходится к истинной взаимной корреляции.

Нормализация

) обычной практикой является В некоторых дисциплинах (например, в статистике и анализе временных рядов нормализация функции взаимной корреляции для получения зависящего от времени коэффициента корреляции Пирсона . Однако в других дисциплинах (например, инженерных) нормализация обычно опускается и термины «взаимная корреляция» и «взаимная ковариация» используются как синонимы.

Определение нормированной взаимной корреляции случайного процесса: $\rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}$ Если функция $\rho _{XX}$ четко определен, его значение должно лежать в диапазоне $[-1,1]$ , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а −1 указывает на идеальную антикорреляцию .

Для совместных стационарных случайных процессов в широком смысле определение таково: $\rho _{XY}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XY}(\tau )}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$ Нормализация важна как потому, что интерпретация автокорреляции как корреляции обеспечивает безмасштабную меру силы статистической зависимости , так и потому, что нормализация влияет на статистические свойства оцененных автокорреляций.

Характеристики

Свойство симметрии

Для совместных стационарных случайных процессов в широком смысле функция взаимной корреляции обладает следующим свойством симметрии: ^[11]^{: стр.173} $\operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1})}}$ Соответственно для совместных процессов ВСС: $\operatorname {R} _{XY}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{YX}(-\tau )}}$

Анализ временных задержек

Взаимная корреляция полезна для определения временной задержки между двумя сигналами, например, для определения временных задержек при распространении акустических сигналов по микрофонной решетке. ^[12]^[13]^{[ нужны разъяснения ]} После расчета взаимной корреляции между двумя сигналами максимум (или минимум, если сигналы отрицательно коррелируют) функции взаимной корреляции указывает момент времени, когда сигналы лучше всего выровнены; т. е. временная задержка между двумя сигналами определяется аргументом максимума или arg max взаимной корреляции , как в $\tau _{\mathrm {delay} }={\underset {t\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}((f\star g)(t))$ Терминология в обработке изображений

Взаимная корреляция с нулевой нормализацией (ZNCC)

Для приложений обработки изображений , в которых яркость изображения и шаблона может меняться в зависимости от условий освещения и экспозиции, изображения можно сначала нормализовать. Обычно это делается на каждом этапе путем вычитания среднего значения и деления на стандартное отклонение . То есть взаимная корреляция шаблона $t(x,y)$ с фрагментом изображения $f(x,y)$ является

${\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(t(x,y)-\mu _{t}\right)$

где $n$ это количество пикселей в $t(x,y)$ и $f(x,y)$ , $\mu _{f}$ среднее значение $f$ и $\sigma _{f}$ стандартное отклонение $f$ .

В терминах функционального анализа это можно рассматривать как скалярное произведение двух нормализованных векторов . То есть, если $F(x,y)=f(x,y)-\mu _{f}$ и $T(x,y)=t(x,y)-\mu _{t}$ то указанная выше сумма равна $\left\langle {\frac {F}{\|F\|}},{\frac {T}{\|T\|}}\right\rangle$ где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является внутренним продуктом и $\|\cdot \|$ это L² норма . Затем Коши-Шварц подразумевает, что ZNCC имеет ряд $[-1,1]$ .

Таким образом, если $f$ и $t$ являются действительными матрицами, их нормированная взаимная корреляция равна косинусу угла между единичными векторами $F$ и $T$ , будучи таким образом $1$ тогда и только тогда, когда $F$ равно $T$ умноженное на положительную скалярную величину.

Нормализованная корреляция — это один из методов, используемых для сопоставления шаблонов , процесса, используемого для поиска экземпляров шаблона или объекта внутри изображения. Это также двумерная версия коэффициента корреляции момента произведения Пирсона .

Нормализованная взаимная корреляция (NCC)

NCC похож на ZNCC с той лишь разницей, что не вычитается локальное среднее значение интенсивности: ${\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}f(x,y)t(x,y)$

Нелинейные системы

Следует соблюдать осторожность при использовании взаимной корреляции для нелинейных систем. В определенных обстоятельствах, которые зависят от свойств входа, взаимная корреляция между входом и выходом системы с нелинейной динамикой может быть полностью невосприимчива к определенным нелинейным эффектам. ^[14] Эта проблема возникает потому, что некоторые квадратичные моменты могут равняться нулю, и это может ошибочно предполагать, что между двумя сигналами существует небольшая «корреляция» (в смысле статистической зависимости), хотя на самом деле эти два сигнала сильно связаны нелинейной динамикой.

См. также

Ссылки

^ Брейсвелл, Р. «Пентаграммная запись для взаимной корреляции». Преобразование Фурье и его приложения. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл, стр. 46 и 243, 1965.
^ Папулис, А. Интеграл Фурье и его приложения. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл, стр. 244–245 и 252–253, 1962.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Взаимная корреляция». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html
^ Рабинер, ЛР; Шафер, RW (1978). Цифровая обработка речевых сигналов . Серия обработки сигналов. Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 147–148 . ISBN 0132136031 .
^ Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 401 . ISBN 0139141014 .
^ Ван, Чен (2019). Обучение ядра зрительного восприятия, глава 2.2.1 (докторская диссертация). Наньянский технологический университет, Сингапур. стр. 17–18 . дои : 10.32657/10220/47835 . hdl : 10356/105527 .
^ Ван, Чен; Чжан, Ле; Юань, Джунсонг; Се, Лихуа (2018). «Кросс-коррелятор ядра» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . Тридцать вторая конференция AAAI по искусственному интеллекту. 32 . Ассоциация по развитию искусственного интеллекта: 4179–4186. дои : 10.1609/aaai.v32i1.11710 . S2CID 3544911 .
^ Кэмпбелл; Ло; МакКинли (1996). Эконометрика финансовых рынков . Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691043019 .
^ Капинчев Константин; Браду, Адриан; Барнс, Фредерик; Подолеану, Адриан (2015). «Реализация кросс-корреляции графическим процессором для генерации изображений в реальном времени». 2015 9-я Международная конференция по системам обработки сигналов и связи (ICSPCS) . стр. 1–6. дои : 10.1109/ICSPCS.2015.7391783 . ISBN 978-1-4673-8118-5 . S2CID 17108908 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и вычислительных машин . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86470-1 .
^ Кун Иль Пак, Основы теории вероятностей и случайных процессов с применением в коммуникациях, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
^ Руди, Мэтью; Брайан Буччи; Джеффри Випперман; Джеффри Алланах; Брюс Абрахам (ноябрь 2009 г.). Методы анализа микрофонных решеток с использованием взаимной корреляции . Материалы Международного конгресса машиностроения ASME 2009 г., Лейк-Буэна-Виста, Флорида. стр. 281–288. дои : 10.1115/IMECE2009-10798 . ISBN 978-0-7918-4388-8 .
^ Руди, Мэтью (ноябрь 2009 г.). Реализация военного классификатора импульсов в реальном времени (дипломная работа MS). Университет Питтсбурга.
^ Биллингс, Ю.А. (2013). Идентификация нелинейных систем: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях . Уайли. ISBN 978-1-118-53556-1 .

Дальнейшее чтение

Тахмасеби, Пейман; Хезархани, Ардешир; Сахими, Мухаммед (2012). «Многоточечное геостатистическое моделирование на основе функций взаимной корреляции». Вычислительные науки о Земле . 16 (3): 779–797. Бибкод : 2012CmpGe..16..779T . дои : 10.1007/s10596-012-9287-1 . S2CID 62710397 .

Внешние ссылки

[1] Брейсвелл, Р. «Пентаграммная запись для взаимной корреляции». Преобразование Фурье и его приложения. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл, стр. 46 и 243, 1965.

[2] Папулис, А. Интеграл Фурье и его приложения. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл, стр. 244–245 и 252–253, 1962.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Взаимная корреляция». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html

[4] Рабинер, ЛР; Шафер, RW (1978). Цифровая обработка речевых сигналов . Серия обработки сигналов. Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 147–148 . ISBN 0132136031 .

[5] Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 401 . ISBN 0139141014 .

[6] Ван, Чен (2019). Обучение ядра зрительного восприятия, глава 2.2.1 (докторская диссертация). Наньянский технологический университет, Сингапур. стр. 17–18 . дои : 10.32657/10220/47835 . hdl : 10356/105527 .

[7] Ван, Чен; Чжан, Ле; Юань, Джунсонг; Се, Лихуа (2018). «Кросс-коррелятор ядра» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . Тридцать вторая конференция AAAI по искусственному интеллекту. 32 . Ассоциация по развитию искусственного интеллекта: 4179–4186. дои : 10.1609/aaai.v32i1.11710 . S2CID 3544911 .

[8] Кэмпбелл; Ло; МакКинли (1996). Эконометрика финансовых рынков . Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691043019 .

[KAP-9] Капинчев Константин; Браду, Адриан; Барнс, Фредерик; Подолеану, Адриан (2015). «Реализация кросс-корреляции графическим процессором для генерации изображений в реальном времени». 2015 9-я Международная конференция по системам обработки сигналов и связи (ICSPCS) . стр. 1–6. дои : 10.1109/ICSPCS.2015.7391783 . ISBN 978-1-4673-8118-5 . S2CID 17108908 .

[Gubner-10] Jump up to: ^а ^б ^с Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и вычислительных машин . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86470-1 .

[KunIlPark-11] Кун Иль Пак, Основы теории вероятностей и случайных процессов с применением в коммуникациях, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

[12] Руди, Мэтью; Брайан Буччи; Джеффри Випперман; Джеффри Алланах; Брюс Абрахам (ноябрь 2009 г.). Методы анализа микрофонных решеток с использованием взаимной корреляции . Материалы Международного конгресса машиностроения ASME 2009 г., Лейк-Буэна-Виста, Флорида. стр. 281–288. дои : 10.1115/IMECE2009-10798 . ISBN 978-0-7918-4388-8 .

[13] Руди, Мэтью (ноябрь 2009 г.). Реализация военного классификатора импульсов в реальном времени (дипломная работа MS). Университет Питтсбурга.

[SAB1-14] Биллингс, Ю.А. (2013). Идентификация нелинейных систем: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях . Уайли. ISBN 978-1-118-53556-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]