Список преобразований, связанных с Фурье

Это список линейных преобразований функций , связанных с анализом Фурье . Такие преобразования отображают функцию в набор коэффициентов базисных функций , где базисные функции синусоидальны и поэтому сильно локализованы в частотном спектре . (Эти преобразования обычно являются обратимыми.) В случае преобразования Фурье каждая базисная функция соответствует одному частотному компоненту.

Непрерывные преобразования

Применительно к функциям непрерывных аргументов преобразования Фурье включают:

Двустороннее преобразование Лапласа
Преобразование Меллина , еще одно тесно связанное интегральное преобразование.
Преобразование Лапласа
Преобразование Фурье с особыми случаями :
- ряд Фурье
  - Когда входная функция/форма сигнала является периодической, выходное преобразование Фурье представляет собой гребенчатую функцию Дирака , модулированную дискретной последовательностью конечнозначных коэффициентов, которые в целом являются комплексными. Они называются коэффициентами ряда Фурье . Термин «ряд Фурье» на самом деле относится к обратному преобразованию Фурье, которое представляет собой сумму синусоид на дискретных частотах, взвешенную по коэффициентам ряда Фурье.
  - Когда ненулевая часть входной функции имеет конечную длительность, преобразование Фурье является непрерывным и конечнозначным. Но дискретного подмножества его значений достаточно, чтобы восстановить/представить проанализированную часть. Тот же дискретный набор получается, если рассматривать длительность отрезка как один период периодической функции и вычислять коэффициенты ряда Фурье.
- Синусное и косинусное преобразование : если входная функция имеет нечетную или четную симметрию относительно начала координат, преобразование Фурье сводится к синусоидальному или косинусному преобразованию.
Преобразование Хартли
Кратковременное преобразование Фурье (или кратковременное преобразование Фурье) (STFT)
- Прямоугольная маска кратковременного преобразования Фурье
Преобразование чирплета
Дробное преобразование Фурье (FRFT)
Преобразование Ханкеля : связано с преобразованием Фурье радиальных функций.
Преобразование Фурье – Броса – Ягольнитцера
Линейное каноническое преобразование

Дискретные преобразования

Для использования на компьютерах , в теории чисел и алгебре дискретные аргументы (например, функции серии дискретных выборок) часто более подходят и обрабатываются преобразованиями (аналогично непрерывным случаям, описанным выше):

Дискретное преобразование Фурье (DTFT) : эквивалент преобразования Фурье «непрерывной» функции, которая создается на основе функции дискретного входа с использованием значений выборки для модуляции гребенки Дирака . Когда значения выборки получены путем выборки функции на действительной линии, ƒ( x ), DTFT эквивалентно периодическому суммированию преобразования Фурье ƒ . Вывод DTFT всегда является периодическим (циклическим). Альтернативная точка зрения состоит в том, что DTFT представляет собой преобразование в частотную область которой ограничена (или конечна , длина ) в один цикл.
- дискретное преобразование Фурье (ДПФ) :
  - Когда входная последовательность является периодической, выходной сигнал DTFT также представляет собой гребенчатую функцию Дирака , модулированную коэффициентами ряда Фурье. ^[1] которое можно вычислить как ДПФ одного цикла входной последовательности. Количество дискретных значений в одном цикле ДПФ такое же, как и в одном цикле входной последовательности.
  - Когда ненулевая часть входной последовательности имеет конечную длительность, DTFT является непрерывным и конечнозначным. Но дискретного подмножества его значений достаточно, чтобы восстановить/представить проанализированную часть. Тот же дискретный набор получается, если рассматривать длительность сегмента как один цикл периодической функции и вычислять ДПФ.
- Дискретное синусоидальное и косинусное преобразование . Когда входная последовательность имеет нечетную или четную симметрию относительно начала координат, DTFT сводится к дискретному синусоидальному преобразованию (DST) или дискретному косинусному преобразованию (DCT).
  - Регрессивный дискретный ряд Фурье , в котором период определяется данными, а не фиксируется заранее.
- Дискретные преобразования Чебышева (на сетке «корней» и сетке «экстремумов» полиномов Чебышева первого рода). Это преобразование имеет большое значение в области спектральных методов решения дифференциальных уравнений, поскольку его можно использовать для быстрого и эффективного перехода от значений точек сетки к коэффициентам ряда Чебышева.
Обобщенное ДПФ (GDFT), обобщение ДПФ и преобразований постоянного модуля, где фазовые функции могут быть линейными с целочисленными и действительными наклонами или даже нелинейными фазами, обеспечивающими гибкость для оптимального проектирования различных метрик, например, авто- и перекрестных измерений. корреляции.
Дискретно-пространственное преобразование Фурье (DSFT) представляет собой обобщение DTFT от 1D-сигналов до 2D-сигналов. Его называют «дискретным пространством», а не «дискретным временем», потому что наиболее распространенным применением является обработка изображений и изображений, где входные аргументы функции представляют собой равноотстоящие друг от друга образцы пространственных координат. $(x,y)$ . Выходные данные DSFT являются периодическими по обеим переменным.
Z-преобразование , обобщение DTFT на всю комплексную плоскость
Модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT)
Дискретное преобразование Хартли (DHT)
Также дискретизированный STFT (см. выше).
Преобразование Адамара ( функция Уолша ).
Преобразование Фурье на конечных группах .
Дискретное преобразование Фурье (общее) .

Использование всех этих преобразований во многом облегчается наличием эффективных алгоритмов, основанных на быстром преобразовании Фурье (БПФ). Теорема выборки Найквиста -Шеннона имеет решающее значение для понимания результатов таких дискретных преобразований.

См. также

Примечания

^ Ряд Фурье представляет $\scriptstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\cdot \delta (t-nT),$ где T — интервал между выборками.

Ссылки

А. Д. Полянин и А. В. Манжиров, Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.
А. Н. Акансу и Х. Агирман-Тосун, « Обобщенное дискретное преобразование Фурье с нелинейной фазой » , Транзакции IEEE по обработке сигналов , том. 58, нет. 9, стр. 4547–4556, сентябрь 2010 г.

[1] Ряд Фурье представляет $\scriptstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\cdot \delta (t-nT),$ где T — интервал между выборками.

[1]