Прямоугольная маска кратковременного преобразования Фурье

В математике и анализе Фурье ( кратковременное преобразование Фурье с прямоугольной маской rec-STFT) имеет простую форму кратковременного преобразования Фурье . Другие типы STFT могут потребовать больше времени вычислений, чем Rec-STFT.

Функцию прямоугольной маски можно определить для некоторой границы ( B) во времени ( t ) как

$w(t)={\begin{cases}\ 1;&|t|\leq B\\\ 0;&|t|>B\end{cases}}$

B = 50, ось X (сек)

Мы можем изменить B для различных компромиссов между желаемым временным разрешением и частотным разрешением.

Рек-СТФТ

$X(t,f)=\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau$

Обратная форма

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(t_{1},f)e^{j2\pi ft}\,df{\text{ where }}t-B<t_{1}<t+B$

Свойство

Rec-STFT имеет аналогичные свойства с преобразованием Фурье.

• Интеграция

(а)

$\int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)\,df=\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi f\tau }\,df\,d\tau =\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )\delta (\tau )\,d\tau ={\begin{cases}\ x(0);&|t|<B\\\ 0;&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

(б)

$\int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)e^{-j2\pi fv}\,df={\begin{cases}\ x(v);&v-B<t<v+B\\\ 0;&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

• Свойство сдвига (смещение по оси X)

$\int _{t-B}^{t+B}x(\tau +\tau _{0})e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau =X(t+\tau _{0},f)e^{j2\pi f\tau _{0}}$

• Свойство модуляции (сдвиг по оси Y )

$\int _{t-B}^{t+B}[x(\tau )e^{j2\pi f_{0}\tau }]d\tau =X(t,f-f_{0})$

• специальный ввод

1. Когда $x(t)=\delta (t),X(t,f)={\begin{cases}\ 1;&|t|<B\\\ 0;&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
2. Когда $x(t)=1,X(t,f)=2B\operatorname {sinc} (2Bf)e^{j2\pi ft}$

• Свойство линейности

Если $h(t)=\alpha x(t)+\beta y(t)\,$, $H(t,f),X(t,f),$и $Y(t,f)\,$являются их Rec-STFT, то

$H(t,f)=\alpha X(t,f)+\beta Y(t,f).$

• Свойство интеграции мощности

$\int _{-\infty }^{\infty }|X(t,f)|^{2}\,df=\int _{t-B}^{t+B}|x(\tau )|^{2}\,d\tau$

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|X(t,f)|^{2}\,df\,dt=2B\int _{-\infty }^{\infty }|x(\tau )|^{2}\,d\tau$

• Свойство суммы энергии ( теорема Парсеваля )

$\int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)Y^{*}(t,f)\,df=\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )y^{*}(\tau )\,d\tau$

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)Y^{*}(t,f)\,df\,dt=2B\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )y^{*}(\tau )\,d\tau$

Пример компромисса с разными B

Спектрограммы , полученные в результате применения Rec-STFT к функции, состоящей из 3 последовательных косинусоидальных волн. (в верхней спектрограмме используется меньшее значение B, равное 0,5, в средней — значение B, равное 1, а в нижней — большее значение B, равное 2.)

Судя по изображению, чем B меньше , тем лучше временное разрешение. В противном случае, когда B больше, разрешение по частоте будет лучше.

Преимущество и недостаток

По сравнению с преобразованием Фурье:

• Преимущество: можно наблюдать мгновенную частоту.
• Недостаток: более высокая сложность вычислений.

По сравнению с другими типами частотно-временного анализа :

• Преимущество: наименьшее время вычислений для цифровой реализации.
• Недостаток: Качество хуже, чем у других типов частотно-временного анализа. Скачки краев прямоугольной маски приводят к появлению артефактов звона Гиббса в частотной области, которые можно устранить с помощью более сглаженных окон .

См. также

• Принцип неопределенности

Ссылки

1. Цзянь-Цзюнь Дин (2014) Частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование