Сопряженный ряд Фурье

В математической области анализа Фурье сопряженный ряд Фурье возникает в результате формальной реализации ряда Фурье как граничных значений вещественной части на голоморфной функции единичном круге . Мнимая часть этой функции затем определяет сопряженный ряд. Зигмунд (1968) изучал деликатные вопросы сходимости этого ряда и его связь с преобразованием Гильберта .

Подробно рассмотрим тригонометрический ряд вида

$f(\theta )={\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos n\theta +b_{n}\sin n\theta \right)$

в котором коэффициенты a _n и b _n являются действительными числами . Этот ряд является настоящей частью степенного ряда.

$F(z)={\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-ib_{n})z^{n}$

вдоль единичной окружности с $z=e^{i\theta }$. Мнимая часть F ( z ) называется сопряженным рядом f и обозначается

${\tilde {f}}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\sin n\theta -b_{n}\cos n\theta \right).$

См. также

• Гармоническое сопряжение

Ссылки

• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье , Тексты для аспирантов по математике, том. 249 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-09432-8 , ISBN  978-0-387-09431-1 , МР   2445437
• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN  978-0-521-35885-9