Приблизительная идентичность

В математике , особенно в функциональном анализе и теории колец , приближенное тождество — это сеть в банаховой алгебре или кольце (обычно без тождества), которая действует как замена единичного элемента .

Определение

Правое приближенное тождество в банаховой алгебре A — это сеть $\{e_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}$ такой, что для каждого элемента a из A , $\lim _{\lambda \in \Lambda }\lVert ae_{\lambda }-a\rVert =0.$ Аналогично, левое приближенное тождество в банаховой алгебре A — это сеть $\{e_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}$ такой, что для каждого элемента a из A , $\lim _{\lambda \in \Lambda }\lVert e_{\lambda }a-a\rVert =0.$ Приближенное тождество — это сеть, которая является одновременно правым приближенным тождеством и левым приближенным тождеством.

C*-алгебры

Для С*-алгебр правое (или левое) приближенное тождество, состоящее из самосопряженных элементов, совпадает с приближенным тождеством. Сеть всех положительных элементов из A нормы ≤ 1 с ее естественным порядком является приближенным тождеством для любой C*-алгебры. Это называется каноническим приближенным тождеством С*-алгебры. Приблизительные тождества не уникальны. Например, для компактных операторов, действующих в гильбертовом пространстве , сеть, состоящая из проекций конечного ранга, была бы еще одним приближенным тождеством.

Если аппроксимативное тождество представляет собой последовательность , мы называем его секвенциальным аппроксимативным тождеством , а C*-алгебру с секвенциальным аппроксимативным тождеством называют σ-унитальной . Всякая сепарабельная C*-алгебра является σ-единичной, хотя обратное неверно. Коммутативная C*-алгебра является σ-унитальной тогда и только тогда, когда ее спектр σ -компактен . В общем случае C*-алгебра A является σ-единичной тогда и только тогда, когда A содержит строго положительный элемент, т. е. существует h в A ₊ такой, что наследственная C*-подалгебра, порожденная h, есть A .

Иногда рассматривают приблизительные тождества, состоящие из элементов определенного типа. Например, С*-алгебра имеет нулевой вещественный ранг тогда и только тогда, когда каждая наследственная С*-подалгебра имеет приближенное тождество, состоящее из проекций. В более ранней литературе это было известно как свойство (HP).

Алгебры свертки

Приближенное тождество в алгебре свертки играет ту же роль, что и последовательность приближений функции к дельта-функции Дирака (которая является тождественным элементом для свертки). Например, ядра Фейера теории рядов Фурье приводят к приближенному тождеству.

Кольца

В теории колец приближенное тождество определяется аналогичным образом, за исключением того, что кольцу задается дискретная топология , так что a = ae _λ для некоторого λ.

Модуль что над кольцом с аппроксимативной единицей называется невырожденным , если для каждого m в модуле существует некоторый λ такой, m = me _λ .

См. также

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics