Наследственная C*-подалгебра

В математике наследственная C*-подалгебра C *-алгебры — это особый тип C*-подалгебры, структура которой тесно связана со структурой более крупной C*-алгебры. AC*-подалгебра B группы A является наследственной C*-подалгеброй, если для всех ∈ A и b ∈ B таких , что 0 ⩽ a ⩽ b , имеем a ∈ B. a ^[1]

Характеристики

Наследственная С*-подалгебра аппроксимативно конечномерной С*-алгебры также является AF. Это неверно для подалгебр, которые не являются наследственными. Например, любую абелеву C*-алгебру можно вложить в AF C*-алгебру.
AC*-подалгебра называется полной , если она не содержится ни в одном собственном (двустороннем) замкнутом идеале. Две C*-алгебры A и B называются стабильно изоморфными , если A ⊗ K ≅ B ⊗ K , где K — C*-алгебра компактных операторов в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве . С*-алгебры стабильно изоморфны своим полным наследственным С*-подалгебрам. ^[2] Следовательно, две С*-алгебры стабильно изоморфны, если они содержат стабильно изоморфные полные наследственные С*-подалгебры.
ограничение любого неприводимого представления . Наследственными С*-подалгебрами являются также такие С*-подалгебры, в которых неприводимо и

Соответствие закрытым левым идеалам

существует биективное соответствие Между замкнутыми левыми идеалами и наследственными С*-подалгебрами в А . Если L ⊂ A — замкнутый левый идеал, то через L * обозначим образ L при *-операции. Множество L * является правым идеалом и L * ∩ L является C*-подалгеброй. В действительности, L * ∩ L наследственно и отображение L ↦ L * ∩ L является биекцией. Из этого соответствия следует, что всякий замкнутый идеал является наследственной С*-подалгеброй. Другое следствие состоит в том, что наследственная С*-подалгебра простой С*-алгебры также проста.

Связи с положительными элементами

Если p проекция A (или проекция алгебры мультипликаторов A ) , то pAp — наследственная C*-подалгебра, известная как угол A — . В более общем смысле, при положительном a ∈ A замыкание множества aAa представляет собой наименьшую наследственную C*-подалгебру, содержащую a , обозначаемую Her( a ). Если А сепарабельна , то такой вид имеет всякая наследственная С*-подалгебра.

Эти наследственные C*-подалгебры могут внести некоторое понимание в понятие субэквивалентности Кунца. В частности, если a и b — положительные элементы C*-алгебры A , то $a\precsim b$ если b ∈ Her( a ). Следовательно, a ~ b, если Her( a ) = Her( b ).

Если A унитален и положительный элемент a обратим, то Her( ) = A. a Это наводит на мысль о следующем понятии для неединичного случая: a ∈ A называется строго положительным, Her( a ) = A. если Например, в C*-алгебре K ( H ) компактных операторов, действующих в гильбертовом пространстве , компактный оператор строго положителен тогда и только тогда, когда его образ плотен в H. H Коммутативная С*-алгебра содержит строго положительный элемент тогда и только тогда, когда спектр алгебры σ-компактен . В более общем смысле, C*-алгебра содержит строго положительный элемент тогда и только тогда, когда алгебра имеет секвенциальное аппроксимативное тождество .

Ссылки

^ Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры: теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана . Спрингер. стр. 75–79. ISBN 978-3-540-28517-5 .
^ Браун, Лоуренс Г. (1977). «Стабильный изоморфизм наследственных подалгебр С*-алгебр» . Тихоокеанский математический журнал . 71 (2): 335–348. дои : 10.2140/pjm.1977.71.335 . Збл 0362.46042 .

[1] Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры: теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана . Спрингер. стр. 75–79. ISBN 978-3-540-28517-5 .

[2] Браун, Лоуренс Г. (1977). «Стабильный изоморфизм наследственных подалгебр С*-алгебр» . Тихоокеанский математический журнал . 71 (2): 335–348. дои : 10.2140/pjm.1977.71.335 . Збл 0362.46042 .

[1]

[2]