ядро Ландау

Ядро Ландау названо в честь немецкого теоретика чисел Эдмунда Ландау . Ядро представляет собой ядро ​​суммируемости, определяемое как:

$$L_{n}(t)={\begin{cases}{\frac {(1-t^{2})^{n}}{c_{n}}}&{\text{if }}-1\leq t\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$где коэффициенты $c_{n}$ определяются следующим образом

$$c_{n}=\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt$$

Визуализация

Используя интегрирование по частям, можно показать, что: $$c_{n}={\frac {(n!)^{2}\,2^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)}}.$$Следовательно, это означает, что ядро ​​Ландау можно определить следующим образом: $$L_{n}(t)={\begin{cases}(1-t^{2})^{n}{\frac {(2n)!(2n+1)}{(n!)^{2}\,2^{2n+1}}}&{\text{for t}}\in [-1,1]\\0&{\text{elsewhere}}\end{cases}}$$

Построение графика этой функции для различных значений n показывает, что при стремлении n к бесконечности $L_{n}(t)$ приближается к дельта-функции Дирака , как видно на изображении, где построены следующие функции.

Характеристики

Некоторые общие свойства ядра Ландау заключаются в том, что оно неотрицательно и непрерывно на $\mathbb {R}$. Эти свойства будут более конкретизированы в следующем разделе.

Последовательности Дирака

Определение: Последовательность Дирака . Последовательность Дирака — это последовательность { $K_{n}(t)$} функций $K_{n}(t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ который удовлетворяет следующим свойствам:

• $K_{n}(t)\geq 0,\,\,\forall t\in \mathbb {R} {\text{ and }}\forall n\in \mathbb {Z}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }K_{n}(t)\,dt=1,\,\forall n$
• $\forall \epsilon >0,\,\forall \delta >0,\,\exists N\in \mathbb {Z} _{+}{\text{ such that }}\forall n\geq N:\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{-\delta }K_{n}(t)\,dt+\int _{\delta }^{\infty }K_{n}(t)\,dt<\epsilon$

Третий пункт означает, что площадь под графиком функции $y=K_{n}(t)$ становится все более концентрированным вблизи начала координат по мере того, как n приближается к бесконечности. Это определение приводит нас к следующей теореме.

Теорема . Последовательность ядер Ландау является последовательностью Дирака.

Доказательство : Мы докажем только третье свойство. Для этого введем следующую лемму:

Лемма . Коэффициенты удовлетворяют следующему соотношению: $c_{n}\geq {\frac {2}{n+1}}$

Доказательство леммы:

Используя приведенное выше определение коэффициентов, мы находим, что подынтегральная функция четная, мы можем написать $${\frac {c_{n}}{2}}=\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt=\int _{0}^{1}(1-t)^{n}(1+t)^{n}\,dt\geq \int _{0}^{1}(1-t)^{n}\,dt={\frac {1}{1+n}}$$завершая доказательство леммы. Следствием этой леммы является следующее:

Следствие . Для всего положительного, реального $\delta :$ $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$

См. также

• Пуассоновое ядро
• Очищающее ядро
• Ядро Дирихле