Неравенство треугольника

Эта статья об основном неравенстве $c\leq a+b$. Другие неравенства, связанные с треугольниками, см. в разделе «Список неравенств треугольников» .

Три примера неравенства треугольника для треугольников со сторонами длиной x , y , z . В верхнем примере показан случай, когда z намного меньше суммы x + y двух других сторон, а в нижнем примере показан случай, когда сторона z лишь немного меньше x + y .

В математике гласит неравенство треугольника , что для любого треугольника сумма длин любых двух сторон должна быть больше или равна длине оставшейся стороны. Это утверждение допускает включение вырожденных треугольников , но некоторые авторы, особенно пишущие об элементарной геометрии, исключают эту возможность, тем самым упуская из виду возможность равенства. Если a , b и c — длины сторон треугольника, то неравенство треугольника гласит, что

$c\leq a+b,$

с равенством только в вырожденном случае треугольника нулевой площади.

В евклидовой геометрии и некоторых других геометриях неравенство треугольника — это теорема о векторах и их длинах ( нормах ):

$\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|,$

где длина третьей стороны заменена длиной векторной суммы u + v . Когда u и v — действительные числа , их можно рассматривать как векторы в $\mathbb {R} ^{1}$, а неравенство треугольника выражает связь между абсолютными значениями .

В евклидовой геометрии для прямоугольных треугольников неравенство треугольника является следствием теоремы Пифагора , а для общих треугольников — следствием закона косинусов , хотя его можно доказать и без этих теорем. Неравенство можно рассматривать интуитивно либо в $\mathbb {R} ^{2}$ или $\mathbb {R} ^{3}$. На рисунке справа показаны три примера, начиная с явного неравенства (вверху) и приближаясь к равенству (внизу). В евклидовом случае равенство возникает только в том случае, если треугольник имеет угол 180° и два угла 0° , что делает три вершины коллинеарными , как показано в нижнем примере. Таким образом, в евклидовой геометрии кратчайшим расстоянием между двумя точками является прямая линия.

В сферической геометрии кратчайшее расстояние между двумя точками — это дуга большого круга , но неравенство треугольника сохраняется при условии, что сделано ограничение, согласно которому расстояние между двумя точками на сфере равно длине меньшего сферического отрезка линии (т. е. один с центральным углом в [0, π ] ) с этими конечными точками.

Неравенство треугольника является определяющим свойством и норм мер расстояния . Это свойство должно быть установлено в виде теоремы для любой функции, предложенной для таких целей для каждого конкретного пространства: например, таких пространств, как действительные числа , евклидовы пространства , L ^п пространства ( p ≥ 1 ) и пространства внутреннего произведения .

Евклидова геометрия

Конструкция Евклида для доказательства неравенства треугольника в геометрии плоскости.

Евклид доказал неравенство треугольника для расстояний в плоской геометрии, используя конструкцию, изображенную на рисунке. Начиная с треугольника ABC , строится равнобедренный треугольник, одна сторона которого принимается за BC , а другая равна катету BD вдоль продолжения стороны AB . Затем утверждается, что угол β имеет большую величину, чем угол α , поэтому сторона AD длиннее стороны AC . Однако:

${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}},$

следовательно, сумма длин сторон AB и BC больше длины AC . Это доказательство появляется в «Началах» Евклида , книга 1, предложение 20.

Математическое выражение ограничения на стороны треугольника

Для правильного треугольника неравенство треугольника, как оно сформулировано словами, буквально переводится в три неравенства (учитывая, что правильный треугольник имеет длины сторон a , b , c, которые все положительны, и исключает вырожденный случай нулевой площади):

$a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b.$

Можно показать, что более сжатая форма этой системы неравенства:

$|a-b|<c<a+b.$

Другой способ заявить об этом:

$\max(a,b,c)<a+b+c-\max(a,b,c)$

подразумевая

$2\max(a,b,c)<a+b+c$

и, таким образом, длина самой длинной стороны меньше полупериметра .

Математически эквивалентная формулировка состоит в том, что площадь треугольника со сторонами a , b , c должна быть действительным числом, большим нуля. Формула Герона для площади:

${\begin{aligned}4\cdot {\text{area}}&={\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}.\end{aligned}}$

С точки зрения любого выражения площади неравенство треугольника, наложенное на все стороны, эквивалентно условию, что выражение под знаком квадратного корня действительно и больше нуля (поэтому выражение площади действительно и больше нуля).

Неравенство треугольника обеспечивает еще два интересных ограничения для треугольников, стороны которых равны a , b , c , где a ≥ b ≥ c и $\phi$ это золотое сечение , так как

$1<{\frac {a+c}{b}}<3$

$1\leq \min \left({\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}}\right)<\phi .$

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник с равными сторонами AB = AC, разделенный на два прямоугольных треугольника высотой, проведенной из одного из двух углов при основании.

В случае прямоугольных треугольников неравенство треугольника сводится к утверждению, что гипотенуза больше любой из двух сторон и меньше их суммы.

Вторая часть этой теоремы уже установлена ​​выше для любой стороны любого треугольника. Первая часть устанавливается с помощью нижнего рисунка. На рисунке рассмотрим прямоугольный треугольник ADC . Равнобедренный треугольник ABC построен с равными сторонами AB = AC . Согласно постулату треугольника , углы в прямоугольном треугольнике ADC удовлетворяют:

$\alpha +\gamma =\pi /2\ .$

Аналогично в равнобедренном треугольнике ABC углы удовлетворяют:

$2\beta +\gamma =\pi \ .$

Поэтому,

$\alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {while} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,$

и поэтому, в частности,

$\alpha <\beta \ .$

Это означает, что сторона AD , противоположная углу α , короче стороны AB , противоположной большему углу β . Но АВ = АС . Следовательно:

${\overline {AC}}>{\overline {AD}}\ .$

Аналогичная конструкция показывает AC > DC , что доказывает теорему.

Альтернативное доказательство (также основанное на постулате треугольника) основано на рассмотрении трех положений точки B : (i) как изображено (что необходимо доказать), или (ii) B совпадает с D (что означало бы, что равнобедренный треугольник имел два прямых угла в качестве основных углов плюс угол при вершине γ , что нарушило бы постулат треугольника ), или наконец, (iii) B внутри прямоугольного треугольника между точками A и D (в этом случае угол ABC является внешним углом прямоугольного треугольника BDC и, следовательно, больше π /2 , что означает, что другой основной угол равнобедренного треугольника также равен больше π /2 и их сумма превышает π в нарушение постулата треугольника).

Эта теорема, устанавливающая неравенства, уточнена теоремой Пифагора до равенства, согласно которому квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Примеры использования

Рассмотрим треугольник, стороны которого находятся в арифметической прогрессии , и пусть стороны равны a , a + d , a + 2 d . Тогда неравенство треугольника требует, чтобы

${\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&2a+3d,\\0&<&a+d&<&2a+2d,\\0&<&a+2d&<&2a+d.\end{array}}$

Для удовлетворения всех этих неравенств требуется

$a>0{\text{ and }}-{\frac {a}{3}}<d<a.$

Когда d выбирается так, что d = a /3 , получается прямоугольный треугольник, который всегда подобен тройке Пифагора со сторонами 3 , 4 , 5 .

Теперь рассмотрим треугольник, стороны которого находятся в геометрической прогрессии , и пусть стороны равны a , ar , ar. ² . Тогда неравенство треугольника требует, чтобы

${\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2},\\0&<&ar&<&a+ar^{2},\\0&<&\!ar^{2}&<&a+ar.\end{array}}$

Первое неравенство требует a > 0 ; следовательно, его можно разделить и устранить. При a > 0 среднее неравенство требует только r > 0 . Теперь первое и третье неравенства должны удовлетворять

${\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}$

Первое из этих квадратных неравенств требует, чтобы r находился в области, превышающей значение положительного корня квадратного уравнения r. ² + r − 1 = 0 , т. е. r > φ − 1, где φ — золотое сечение . Второе квадратное неравенство требует, чтобы r находился в диапазоне от 0 до положительного корня квадратного уравнения r. ² - р - 1 знак равно 0 , т.е. 0 < р < φ . Объединение требований приводит к тому, что r ограничивается диапазоном

$\varphi -1<r<\varphi \,{\text{ and }}a>0.$

Когда r общее отношение выбирается так, что r = √ φ, оно образует прямоугольный треугольник, который всегда подобен треугольнику Кеплера .

Обобщение на любой многоугольник

распространить Неравенство треугольника можно путем математической индукции на произвольные ломаные пути, показав, что общая длина такого пути не меньше длины прямой между его концами. Следовательно, длина любой стороны многоугольника всегда меньше суммы длин других сторон многоугольника.

Пример обобщенного неравенства многоугольника для четырехугольника

Рассмотрим четырехугольник, стороны которого находятся в геометрической прогрессии , и пусть стороны равны a , ar , ar ² , с ³ . Тогда обобщенное неравенство многоугольника требует, чтобы

${\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar&<&a+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar^{2}&<&a+ar+ar^{3}\\0&<&ar^{3}&<&a+ar+ar^{2}.\end{array}}$

Эти неравенства при a > 0 сводятся к следующему

$r^{3}+r^{2}+r-1>0$

$r^{3}-r^{2}-r-1<0.$

Левые части полиномов этих двух неравенств имеют корни, которые являются константой Трибоначчи и обратной ей величиной. Следовательно, r ограничено диапазоном 1/ t < r < t , где t — константа Трибоначчи.

Связь с кратчайшими путями

Длина дуги кривой определяется как наименьшая верхняя граница длин полигональных аппроксимаций.

Это обобщение можно использовать, чтобы доказать, что кратчайшая кривая между двумя точками в евклидовой геометрии представляет собой прямую линию.

Ни один многоугольный путь между двумя точками не короче линии между ними. Это означает, что ни одна кривая не может иметь длину дуги меньше расстояния между ее конечными точками. По определению, длина дуги кривой — это наименьшая верхняя граница длин всех полигональных аппроксимаций кривой. Результат для полигональных путей показывает, что прямая линия между конечными точками является самой короткой из всех полигональных аппроксимаций. Поскольку длина дуги кривой больше или равна длине каждой полигональной аппроксимации, сама кривая не может быть короче прямой линии.

Конверсы

Верно и обратное утверждение теоремы о неравенстве треугольника: если три действительных числа таковы, что каждое из них меньше суммы других, то существует треугольник, длины сторон которого являются этими числами, и с положительной площадью; и если одно число равно сумме двух других, существует вырожденный треугольник (то есть с нулевой площадью) с этими числами в качестве длин сторон.

В любом случае, если длины сторон равны a , b , c, мы можем попытаться разместить треугольник в евклидовой плоскости, как показано на схеме. Нам нужно доказать, что существует действительное число h, соответствующее значениям a , b и c , и в этом случае этот треугольник существует.

Треугольник с высотой h разрезает основание c на d + ( c − d ) .

По теореме Пифагора имеем b ² = час ² + д ² и ​ ² = час ² + ( с - d ) ² согласно рисунку справа. Вычитание этих значений дает ² − б ² = с ² − 2 компакт-диска . Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.$

Для высоты треугольника имеем h ² = б ² - д ² . Заменив d формулой, приведенной выше, получим

$h^{2}=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}.$

Чтобы действительное число h удовлетворяло этому требованию, h ² должно быть неотрицательным:

${\begin{aligned}0&\leq b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\[4pt]0&\leq \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\\[4pt]0&\leq \left(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\end{aligned}}$

что справедливо, если неравенство треугольника выполняется для всех сторон. Следовательно, существует действительное число $h$ в соответствии со сторонами $a,b,c$, и треугольник существует. Если каждое неравенство треугольника выполняется строго , $h>0$ и треугольник невырожден (имеет положительную площадь); но если одно из неравенств выполняется с равенством, то $h=0$, треугольник вырожден.

Обобщение на более высокие измерения

См. Также: Геометрия расстояния § Определители Кэли – Менгера.

Площадь треугольной грани тетраэдра меньше или равна сумме площадей трех других треугольных граней. евклидовом пространстве гиперобъем ( n - 1) - грани n симплекса - В более общем смысле, в меньше или равен сумме гиперобъемов других n граней.

Подобно тому, как неравенство треугольника обобщается на неравенство многоугольника, неравенство для симплекса любой размерности обобщается на многогранник любой размерности: гиперобъем любой грани многогранника меньше или равен сумме гиперобъемов остальных граней. .

В некоторых случаях тетраэдрическое неравенство сильнее некоторых применений неравенства треугольника. Например, неравенство треугольника, по-видимому, допускает возможность существования четырех точек A , B , C и Z в евклидовом пространстве, таких что расстояния

АВ = ВС = СА = 26

и

AZ = BZ = CZ = 14 .

Однако точки с такими расстояниями существовать не могут: площадь 26–26–26 равностороннего треугольника ABC равна ${\textstyle 169{\sqrt {3}}}$, что больше, чем в три раза ${\textstyle 39{\sqrt {3}}}$, площадь равнобедренного треугольника 26–14–14 (все по формуле Герона ), поэтому такое расположение запрещено тетраэдрическим неравенством.

Нормированное векторное пространство

Неравенство треугольника для норм векторов.

В нормированном векторном пространстве V одним из определяющих свойств нормы является неравенство треугольника:

$\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|\quad \forall \,\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$

То есть норма суммы двух векторов не превышает суммы норм двух векторов. Это также называется субаддитивностью . Чтобы любая предложенная функция вела себя как норма, она должна удовлетворять этому требованию.

Если нормированное пространство евклидово или, шире, строго выпуклое , то $\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|$ тогда и только тогда, когда треугольник, образованный u , v и u + v , вырожден, то есть u и v находятся на одном луче, т. е. u = 0 или v = 0 , или u = α v для некоторого α > 0 . Это свойство характеризует строго выпуклые нормированные пространства, такие как пространства ℓ _p с 1 < p < ∞ . Однако существуют нормированные пространства, в которых это неверно. Например, рассмотрим плоскость с нормой ℓ ₁ ( манхэттенское расстояние ) и обозначим u = (1, 0) и v = (0, 1) . Тогда треугольник, образованный u , v и u + v , невырожден, но

$\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|(1,1)\|=|1|+|1|=2=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.$

Примеры норм

Абсолютное значение является нормой для реальной линии ; при необходимости абсолютное значение удовлетворяет неравенству треугольника для любых действительных чисел u и v . Если u и v имеют одинаковый знак или любой из них равен нулю, то $|u+v|=|u|+|v|.$ Если и и v имеют противоположные знаки, то без ограничения общности считаем $|u|>|v|.$ Затем $|u+v|=|u|-|v|<|u|+|v|.$ Объединение этих случаев:

$$|u+v|\leq |u|+|v|.$$

Неравенство треугольника полезно в математическом анализе для определения наилучшей верхней оценки размера суммы двух чисел с точки зрения размеров отдельных чисел. Существует также нижняя оценка, которую можно найти с помощью неравенства обратного треугольника которое гласит, что для любых действительных чисел u и v , $|u-v|\geq {\bigl |}|u|-|v|{\bigr |}.$

Норма такси или 1-норма - это одно обобщение абсолютного значения для более высоких измерений. Чтобы найти норму вектора $v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),$ просто сложите абсолютное значение каждого компонента отдельно, $$\|v\|_{1}=|v_{1}|+|v_{2}|+\dotsb +|v_{n}|.$$

Евклидова норма или 2-норма определяет длину векторов сдвига в n -мерном евклидовом пространстве в терминах декартовой системы координат . Для вектора $v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),$ его длина определяется с помощью n -мерной теоремы Пифагора : $$\|v\|_{2}={\sqrt {|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2}+\dotsb +|v_{n}|^{2}}}.$$

Внутренний продукт является нормой в любом пространстве внутреннего продукта , обобщении евклидовых векторных пространств, включая бесконечномерные примеры. Неравенство треугольника следует из неравенства Коши – Шварца следующим образом: заданные векторы $u$ и $v$и обозначая внутренний продукт как $\langle u,v\rangle$:

$\|u+v\|^{2}$	$=\langle u+v,u+v\rangle$
	$=\|u\|^{2}+\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle +\|v\|^{2}$
	$\leq \|u\|^{2}+2|\langle u,v\rangle |+\|v\|^{2}$
	$\leq \|u\|^{2}+2\|u\|\|v\|+\|v\|^{2}$ (по неравенству Коши–Шварца)
	$=\left(\|u\|+\|v\|\right)^{2}$.

Неравенство Коши–Шварца превращается в равенство тогда и только тогда, когда u и v линейно зависимы. Неравенство $\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle \leq 2\left|\left\langle u,v\right\rangle \right|$ превращается в равенство для линейно зависимых $u$ и $v$ тогда и только тогда, когда один из векторов u или v является неотрицательным скаляром другого. Извлечение квадратного корня из конечного результата дает неравенство треугольника.

p : -норма является обобщением норм такси и евклидовых норм с использованием произвольного положительного целочисленного показателя степени $$\|v\|_{p}={\bigl (}|v_{1}|^{p}+|v_{2}|^{p}+\dotsb +|v_{n}|^{p}{\bigr )}^{1/p},$$ где v _i являются компонентами вектора v .

За исключением случая p = 2 , p является -норма не нормой скалярного произведения, поскольку она не удовлетворяет закону параллелограмма . Неравенство треугольника для общих значений p называется неравенством Минковского . Он принимает форму: $$\|u+v\|_{p}\leq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}\ .$$

Метрическое пространство

В метрическом пространстве M с метрикой d неравенство треугольника является требованием к расстоянию :

$d(A,\ C)\leq d(A,\ B)+d(B,\ C)\ ,$

для всех A , B и C в M. точек То есть расстояние от А до С не превышает суммы расстояний от А до В расстояний от В до С. и

Неравенство треугольника отвечает за большую часть интересной структуры метрического пространства, а именно за сходимость. Это связано с тем, что остальные требования к метрике по сравнению с ними довольно упрощены. Например, тот факт, что любая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве является последовательностью Коши, является прямым следствием неравенства треугольника, потому что если мы выберем любые x _n и x _m такие, что d ( x _n , x ) < ε /2 и d ( x _m , x ) < ε /2 , где ε > 0 задано и произвольно (как в определении предела в метрическом пространстве), то по неравенству треугольника d ( x _n , x _m ) ≤ d ( x _n , x ) + d ( x _m , x ) < ε /2 + ε /2 = ε , так что последовательность { x _n } является последовательностью Коши по определению.

Эта версия неравенства треугольника сводится к указанной выше в случае нормированных векторных пространств, где метрика индуцируется через d ( u , v ) ≔ ‖ u − v ‖ , где u − v является вектором, указывающим из точки v в u .

Неравенство обратного треугольника

Неравенство обратного треугольника — это логически эквивалентная альтернативная формулировка неравенства треугольника, которая дает нижние границы вместо верхних. Для плоской геометрии утверждение следующее:

Любая сторона треугольника больше или равна разности двух других сторон .

В случае нормированного векторного пространства утверждение выглядит следующим образом:

${\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|,$

или для метрических пространств, $|d(A,C)-d(B,C)|\leq d(A,B)$.Это означает, что норма $\|\cdot \|$ а также расстояние от- $z$ функция $d(z,\cdot )$ непрерывны по Липшицу с константой Липшица 1 и поэтому, в частности, равномерно непрерывны .

Для доказательства обратного неравенства треугольника от обычного используется $\|v-u\|=\|{-}1(u-v)\|=|{-}1|\cdot \|u-v\|=\|u-v\|$ найти:

$\|u\|=\|(u-v)+v\|\leq \|u-v\|+\|v\|\Rightarrow \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|,$

$\|v\|=\|(v-u)+u\|\leq \|v-u\|+\|u\|\Rightarrow \|u\|-\|v\|\geq -\|u-v\|,$

Объединение этих двух утверждений дает:

$-\|u-v\|\leq \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|\Rightarrow {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|.$

Обратно, доказательство неравенства треугольника из обратного неравенства треугольника работает в двух случаях:

Если $\|u+v\|-\|u\|\geq 0,$ тогда по обратному неравенству треугольника $\|u+v\|-\|u\|={\big |}\|u+v\|-\|u\|{\big |}\leq \|(u+v)-u\|=\|v\|\Rightarrow \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|$,

и если $\|u+v\|-\|u\|<0,$ тогда тривиально $\|u\|+\|v\|\geq \|u\|>\|u+v\|$ по неотрицательности нормы.

Таким образом, в обоих случаях мы получаем, что $\|u\|+\|v\|\geq \|u+v\|$.

Для метрических пространств доказательство неравенства обратного треугольника находится аналогично:

$d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)\Rightarrow d(A,B)\geq d(A,C)-d(B,C)$

$d(C,A)+d(A,B)\geq d(C,B)\Rightarrow d(A,B)\geq d(B,C)-d(A,C)$

Сложив эти уравнения вместе, находим:

$d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|$

И в обратном порядке, начиная с обратного неравенства треугольника, мы снова можем использовать два случая:

Если $d(A,C)-d(B,C)\geq 0$, затем $d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|=d(A,C)-d(B,C)\Rightarrow d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)$,

и если $d(A,C)-d(B,C)<0,$ затем $d(A,B)+d(B,C)\geq d(B,C)>d(A,C)$ снова по неотрицательности метрики.

Таким образом, в обоих случаях мы получаем, что $d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)$.

Неравенство треугольника для косинусного подобия

Дополнительная информация: косинусное подобие.

Применяя функцию косинуса к неравенству треугольника и обратному неравенству треугольника для длин дуг и используя формулы сложения и вычитания углов для косинусов, сразу же следует, что

$$\operatorname {sim} (u,w)\geq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)-{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}$$

и

$$\operatorname {sim} (u,w)\leq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)+{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}\,.$$

С помощью этих формул нужно вычислить квадратный корень для каждой исследуемой тройки векторов { u , v , w } , а не arccos(sim( u , v )) пары векторов { u , v } для каждой исследуемой , и может быть улучшение производительности, если количество проверенных троек меньше количества проверенных пар.

Обращение в пространстве Минковского

Метрика Минковского пространства $\eta _{\mu \nu }$ не является положительно определенным, что означает, что $\|u\|^{2}=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }$ может иметь либо знак, либо нуль, даже если вектор u отличен от нуля. Более того, если u и v являются времениподобными векторами, лежащими в световом конусе будущего, неравенство треугольника меняется на противоположное:

$\|u+v\|\geq \|u\|+\|v\|.$

Физическим примером этого неравенства является парадокс близнецов в специальной теории относительности . Та же обратная форма неравенства справедлива, если оба вектора лежат в световом конусе прошлого и если один или оба являются нулевыми векторами. Результат сохраняется в $n+1$ размеры для любых $n\geq 1$. Если плоскость, определяемая $u$ и $v$ подобно пространству (и, следовательно, является евклидовым подпространством), то выполняется обычное неравенство треугольника.

См. также

• Субаддитивность
• Неравенство Минковского
• Неравенство Птолемея

Ссылки

• Педо, Дэниел (1988). Геометрия: Комплексный курс . Дувр. ISBN  0-486-65812-0 .
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN  0-07-054235-Х .

Внешние ссылки

• Неравенство треугольника в ProofWiki