Тропическое полукольцо

В идемпотентном анализе тропическое полукольцо представляет собой полукольцо расширенных действительных чисел , в котором операции минимума (или максимума ) и сложения заменяют обычные («классические») операции сложения и умножения соответственно.

Тропическое полукольцо имеет различные приложения (см. Тропический анализ ), составляет основу тропической геометрии . Название тропический является отсылкой к уроженцу Венгрии ученому-компьютерщику Имре Симону , названному так потому, что он жил и работал в Бразилии. ^[1]

Определение

The мин тропическое полукольцо (или полукольцо мин-плюс или мин-плюс алгебра ) — полукольцо ( $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ , $\oplus$ , $\otimes$ ), с операциями:

x\oplus y=\min\{x,y\},

x\otimes y=x+y.

Операции $\oplus$ и $\otimes$ называются тропическим сложением и тропическим умножением соответственно. Элемент идентификации для $\oplus$ является $+\infty$ и элемент идентификации для $\otimes$ равен 0.

Аналогичным образом, макс тропическое полукольцо (или полукольцо макс-плюс или алгебра макс-плюс или арктическое полукольцо ) — полукольцо ( $\mathbb {R} \cup \{-\infty \}$ , $\oplus$ , $\otimes$ ), с операциями:

x\oplus y=\max\{x,y\},

x\otimes y=x+y.

Блок идентификационных элементов для $\oplus$ является $-\infty$ и единица идентификационного элемента для $\otimes$ равен 0.

Оба полукольца изоморфны относительно отрицания. $x\mapsto -x$ и обычно выбирают одно из них и называют его просто тропическим полукольцом . Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют минимальное соглашение, некоторые — максимальное .

Два тропических полукольца являются пределом (« троппиализация », «деквантование») логарифмического полукольца при стремлении основания к бесконечности ⁠ $b\to \infty$ ⁠ (макс-плюс полукольцо) или в ноль ⁠ $b\to 0$ ⁠ (мин-плюс полукольцо).

Тропическое сложение идемпотентно , поэтому примером идемпотентного полукольца является тропическое полукольцо .

Тропическое полукольцо еще называют тропическая алгебра , ^[2] хотя это не следует путать с ассоциативной алгеброй над тропическим полукольцом.

Тропическое возведение в степень определяется обычным способом как повторяющееся тропическое произведение.

Значимые поля

Операции тропического полукольца моделируют поведение оценок при сложении и умножении в значимом поле . Поле с действительным значением $K$ это поле, оснащенное функцией

v:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}

который удовлетворяет следующим свойствам для всех $a$ , $b$ в $K$ :

v(a)=\infty

тогда и только тогда, когда

a=0,

v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),

v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),

с равенством, если

v(a)\neq v(b).

Следовательно, нормирование v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может нарушиться, когда два элемента с одинаковым нормированием складываются вместе.

Некоторые общие поля значений:

$\mathbb {Q}$ или $\mathbb {C}$ с тривиальной оценкой, $v(a)=0$ для всех $a\neq 0$ ,
$\mathbb {Q}$ или его расширения с p-адическим нормированием , $v(p^{n}a/b)=n$ для $a$ и $b$ взаимно простой с $p$ ,
поле формальных рядов Лорана $K((t))$ (целые степени), или поле ряда Пюизо $K\{\{t\}\}$ , или поле ряда Хана , где оценка возвращает наименьший показатель степени $t$ появляющийся в сериале.