Экспоненциальный рост

Экспоненциальный рост — это процесс, который увеличивает количество с течением времени с постоянно возрастающей скоростью. Это происходит, когда мгновенная скорость изменения (то есть производная ) величины по времени пропорциональна самой величине. Описанная как функция , величина, претерпевающая экспоненциальный рост, является экспоненциальной функцией времени, то есть переменная, представляющая время, является экспонентой (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ). Экспоненциальный рост является обратным логарифмическому росту .

Если константа пропорциональности отрицательна, то величина уменьшается с течением времени и вместо этого говорят, что она претерпевает экспоненциальное затухание . В случае дискретной области определения с равными интервалами это также называется геометрическим ростом или геометрическим упадком, поскольку значения функции образуют геометрическую прогрессию .

Формула экспоненциального роста переменной $x$ со скоростью роста $r$ , когда время $t$ продолжается в дискретных интервалах (то есть в целые моменты времени 0, 1, 2, 3, ...), имеет вид

$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$

где $x 0$ — значение $x$ рост бактериальной колонии в момент времени 0. Для иллюстрации этого часто используют . Одна бактерия делится на две, каждая из которых делится на четыре, затем на восемь, 16, 32 и так далее. Степень увеличения продолжает увеличиваться, поскольку она пропорциональна постоянно растущему числу бактерий. Подобный рост наблюдается в реальной деятельности или явлениях, таких как распространение вирусной инфекции, рост долга из-за сложных процентов и распространение вирусных видеороликов . В реальных случаях первоначальный экспоненциальный рост часто не длится вечно, а со временем замедляется из-за верхних пределов, вызванных внешними факторами, и переходит в логистический рост .

Такие термины, как «экспоненциальный рост», иногда ошибочно интерпретируются как «быстрый рост». Действительно, то, что растет экспоненциально, на самом деле может поначалу расти медленно. ^[1]^[2]

Примеры

Бактерии демонстрируют экспоненциальный рост при оптимальных условиях.

Биология

Число микроорганизмов в культуре будет увеличиваться в геометрической прогрессии до тех пор, пока необходимое питательное вещество не будет исчерпано, так что этого питательного вещества больше не останется для роста большего числа организмов. Обычно первый организм разделяется на два дочерних организма, каждый из которых затем разделяется, образуя четыре, которые разделяются, образуя восемь, и так далее. Поскольку экспоненциальный рост указывает на постоянную скорость роста, часто предполагается, что экспоненциально растущие клетки находятся в устойчивом состоянии. Однако клетки могут расти экспоненциально с постоянной скоростью, одновременно ремоделируя свой метаболизм и экспрессию генов. ^[3]
Вирус (например, COVID-19 или оспа ) обычно сначала распространяется в геометрической прогрессии, если искусственная иммунизация недоступна. Каждый зараженный человек может заразить несколько новых людей.

Физика

Лавинный пробой диэлектрического материала . Свободный электрон настолько ускоряется внешним электрическим полем , что высвобождает дополнительные электроны при столкновении с атомами или молекулами диэлектрической среды. Эти вторичные электроны также ускоряются, создавая большее количество свободных электронов. Возникающий в результате экспоненциальный рост электронов и ионов может быстро привести к полному диэлектрическому пробою материала.
Цепная ядерная реакция (концепция ядерных реакторов и ядерного оружия ). Каждое урана ядро , подвергающееся делению, производит несколько нейтронов , каждый из которых может быть поглощен соседними атомами урана, вызывая их поочередное деление. Если вероятность поглощения нейтронов превышает вероятность выхода нейтронов ( зависит от формы и массы урана), скорость образования нейтронов и индуцированного деления урана увеличивается экспоненциально в неконтролируемой реакции. «Из-за экспоненциальной скорости роста в любой момент цепной реакции 99% энергии будет высвобождено за последние 4,6 поколения. Разумно считать первые 53 поколения латентным периодом, ведущим к настоящий взрыв, который занимает всего 3–4 поколения». ^[4]
Положительная обратная связь в линейном диапазоне электрического или электроакустического усиления может привести к экспоненциальному росту усиленного сигнала, хотя резонансные эффекты могут отдавать предпочтение некоторым составляющим частотам сигнала по сравнению с другими.

Экономика

Экономический рост выражается в процентах, что подразумевает экспоненциальный рост.

Финансы

Сложные проценты при постоянной процентной ставке обеспечивают экспоненциальный рост капитала. ^[5] См. также правило 72 .
Схемы пирамид или схемы Понци также демонстрируют этот тип роста, что приводит к высоким прибылям для небольшого числа первоначальных инвесторов и потерям среди большого числа инвесторов.

Информатика

Вычислительная мощность компьютеров. См. также закон Мура и технологическая сингулярность . (При экспоненциальном росте сингулярностей нет. Сингулярность здесь — это метафора, призванная передать невообразимое будущее. Связь этой гипотетической концепции с экспоненциальным ростом наиболее громко высказал футурист Рэй Курцвейл .)
В теории вычислительной сложности компьютерные алгоритмы экспоненциальной сложности требуют экспоненциально возрастающего количества ресурсов (например, времени, компьютерной памяти) только для постоянного увеличения размера задачи. Итак, для алгоритма временной сложности $2 х$ , если для решения задачи размера $x = 10$ требуется 10 секунд, а для решения задачи размера $x = 11$ требуется 20 секунд, то для решения задачи размера $x = 12$ потребуется 40 секунд. Этот тип алгоритма обычно становится непригодным для использования при очень небольших размерах задач, часто от 30 до 100 элементов (большинство компьютерных алгоритмов должны быть способны решать гораздо более крупные задачи, до десятков тысяч или даже миллионов элементов за разумное время, что физически невозможно при использовании экспоненциального алгоритма). Кроме того, действие закона Мура не сильно помогает ситуации, поскольку удвоение скорости процессора просто увеличивает возможный размер задачи на константу. Например, если медленный процессор может решить задачи размера $x$ за время $t$ , то процессор, вдвое более быстрый, сможет решить только задачи размера $x + константа$ за то же время $t$ . Таким образом, экспоненциально сложные алгоритмы чаще всего непрактичны, а поиск более эффективных алгоритмов является одной из центральных целей современной информатики.

Интернет-феномены

Интернет-контент, такой как интернет-мемы или видео , может распространяться в геометрической прогрессии, что часто называют « вирусным » по аналогии с распространением вирусов. ^[6] С помощью таких средств массовой информации, как социальные сети , один человек может пересылать один и тот же контент множеству людей одновременно, которые затем распространяют его среди еще большего числа людей и так далее, вызывая быстрое распространение. ^[7] Например, видео Gangnam Style было загружено на YouTube 15 июля 2012 года, его посмотрели сотни тысяч зрителей в первый день, миллионы в двадцатый день, а в общей сложности его просмотрели сотни миллионов менее чем за два месяца. ^[6]^[8]

Основная формула

Величина $x$ зависит экспоненциально от времени $t$ , если $x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$ где константа $a$ — начальное значение $x$ , $x(0)=a\,,$ константа $b$ представляет собой положительный коэффициент роста, а $τ$ — постоянная времени — время, необходимое для $x$ увеличения $в один раз по b$ : $x(t+\tau )=a\cdot b^{\frac {t+\tau }{\tau }}=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\cdot b^{\frac {\tau }{\tau }}=x(t)\cdot b\,.$

Если $τ > 0$ и $b > 1$ , то $x$ имеет экспоненциальный рост. Если $τ < 0$ и $b > 1$ или $τ > 0$ и $0 < b < 1$ , то $x$ имеет экспоненциальное затухание .

Пример: если количество видов бактерий удваивается каждые десять минут, начиная с одной бактерии, сколько бактерий будет присутствовать через час? Вопрос подразумевает $a = 1$ , $b = 2$ и $τ = 10 мин$ .

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}$ $x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.$

Через один час или шесть десятиминутных интервалов появится шестьдесят четыре бактерии.

Многие пары $(b, τ)$ безразмерного неотрицательного числа $b$ и количества времени $τ$ ( физической величины , которая может быть выражена как произведение количества единиц и единицы времени) представляют одинаковую скорость роста, при этом $τ$ пропорционален $log b$ . Для любого фиксированного $b,$ не равного 1 (например, e или 2), скорость роста определяется ненулевым временем $τ$ . Для любого ненулевого времени $τ$ скорость роста определяется безразмерным положительным числом $b$ .

Таким образом, закон экспоненциального роста можно записать в разных, но математически эквивалентных формах, используя другую базу . Наиболее распространенными формами являются следующие: $x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},$ где $x 0$ выражает исходную величину $x (0)$ .

Параметры (отрицательные в случае экспоненциального затухания):

Константа роста $k$ — это частота (количество раз в единицу времени) роста в $е$ раз ; В финансах ее также называют логарифмической доходностью, непрерывно начисляемой доходностью или силой процентов .
Время электронного складывания τ — это время, необходимое для увеличения в e раз .
Время удвоения T — это время, необходимое для удвоения.
Процент увеличения $r$ (безразмерное число) за период $p$ .

Величины $k$ , $τ$ и $T$ , а для данного $p$ также $r$ , имеют однозначную связь, определяемую следующим уравнением (которое можно получить, взяв натуральный логарифм вышеприведенного): $k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}$ где $k = 0$ соответствует $r = 0$ и $τ$ и $T.$ бесконечности

Если $p$ — единица времени, то частное $t / p$ — это просто количество единиц времени. Используя обозначение $t$ для (безразмерного) количества единиц времени, а не для самого времени, $t / p$ можно заменить на $t$ , но в целях единообразия здесь этого удалось избежать. В этом случае деление на $p$ в последней формуле также не является числовым делением, а преобразует безразмерное число в правильную величину, включая единицы.

Популярным приближенным методом расчета времени удвоения по темпу роста является правило 70 ,то есть, $T\simeq 70/r$ .

Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и затухания (тусклые линии), а также их 70/ t и 72/ t аппроксимации . В версии SVG наведите указатель мыши на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Реформулировка как лог-линейный рост

Если переменная $x$ демонстрирует экспоненциальный рост в соответствии с $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ , то логарифм (по любому основанию) $x$ растет линейно с течением времени, как можно увидеть, логарифмируя обе части уравнения экспоненциального роста: $\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).$

Это позволяет моделировать экспоненциально растущую переменную с помощью лог-линейной модели . Например, если кто-то желает эмпирически оценить темпы роста на основе межвременных данных по $x$ , можно выполнить линейную регрессию $log x$ по $t$ .

Дифференциальное уравнение

Показательная функция $x(t)=x_{0}e^{kt}$ удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению : ${\frac {dx}{dt}}=kx$ в момент времени $говоря, что изменение x$ t $пропорционально$ значению $x (t)$ , а $x (t)$ имеет начальное значение $x(0)=x_{0}$ .

Дифференциальное уравнение решается прямым интегрированием: ${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}$ так что $x(t)=x_{0}e^{kt}.$

В приведенном выше дифференциальном уравнении, если $k < 0$ , величина экспоненциально затухает .

Нелинейную логистическая вариацию этой модели роста см. в разделе функция .

Другие темпы роста

В долгосрочной перспективе экспоненциальный рост любого вида обгонит любой линейный рост (что является основой мальтузианской катастрофы ), а также любой полиномиальный рост, то есть для всех $α$ : $\lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.$

Существует целая иерархия возможных темпов роста, которые медленнее экспоненциального и быстрее линейного (в долгосрочной перспективе). См. § Степень многочлена, вычисляемая по значениям функции .

Темпы роста также могут быть быстрее, чем экспоненциальные. В самом крайнем случае, когда рост неограниченно увеличивается за конечное время, его называют гиперболическим ростом . Между экспоненциальным и гиперболическим ростом лежат другие классы поведения роста, такие как гипероперации, начинающиеся с тетрации , и $A(n,n)$ , диагональ функции Аккермана .

Логистический рост

В действительности первоначальный экспоненциальный рост часто не поддерживается вечно. Через некоторое время он будет замедлен внешними факторами или факторами окружающей среды. Например, рост населения может достичь верхнего предела из-за ограниченности ресурсов. ^[9] В 1845 году бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст впервые предложил подобную математическую модель роста, названную « логистическим ростом ». ^[10]

Ограничения моделей

Модели экспоненциального роста физических явлений применимы только в ограниченных регионах, поскольку неограниченный рост физически нереалистичен. Хотя изначально рост может быть экспоненциальным, смоделированные явления в конечном итоге войдут в область, в которой ранее игнорированные факторы отрицательной обратной связи станут значимыми (что приведет к модели логистического роста ), или другие основные предположения модели экспоненциального роста, такие как непрерывность или мгновенная обратная связь, нарушат вниз.

Смещение экспоненциального роста

Исследования показывают, что людям трудно понять экспоненциальный рост. Смещение экспоненциального роста — это тенденция недооценивать сложные процессы роста. Эта предвзятость может иметь и финансовые последствия. ^[11]

Рис на шахматной доске

По легенде, визирь Сисса Бен Дахир подарил индийскому королю Шариму красивую шахматную доску ручной работы . Король спросил, что он хотел бы в обмен на свой подарок, и придворный удивил короля, попросив одно зерно риса на первом квадрате, два зерна на втором, четыре зерна на третьем и так далее. Король с готовностью согласился и попросил принести рис. Поначалу все шло хорошо, но требование на $2 п -1$ зерна на $n$ -м квадрате требовали более миллиона зерен на 21-м квадрате, более миллиона миллионов ( он же триллион ) на 41-м и риса во всем мире просто не хватило на финальные квадраты. (Из Свирски, 2006 г.) ^[12]

« Вторая половина шахматной доски » относится к тому времени, когда экспоненциально растущее влияние оказывает значительное экономическое влияние на общую бизнес-стратегию организации.

Водяная лилия

Французским детям предлагают загадку, которая представляется аспектом экспоненциального роста: «кажущаяся внезапность, с которой экспоненциально растущая величина приближается к фиксированному пределу». Загадка представляет собой растение кувшинки, растущее в пруду. Растение увеличивается в размерах вдвое каждый день, и, если его оставить в покое, оно задушит пруд за 30 дней, убивая все остальные живые существа в воде. День за днем растение растет небольшими темпами, поэтому решено, что оно не будет вызывать беспокойства, пока не покроет половину пруда. Какой это будет день? 29-й день, на спасение пруда остался всего один день. ^[13]^[12]

См. также

Ссылки

^ Сури, Манил (4 марта 2019 г.). «Мнение | Перестаньте говорить «экспоненциально». С уважением, Математик» . Нью-Йорк Таймс .
^ «10 научных слов, которые вы, вероятно, используете неправильно» . Как все работает . 11 июля 2014 г.
^ Славов, Николай; Будник, Богдан А.; Шваб, Дэвид; Айролди, Эдоардо М .; ван Ауденарден, Александр (2014). «Постоянную скорость роста можно поддерживать за счет уменьшения потока энергии и увеличения аэробного гликолиза» . Отчеты по ячейкам . 7 (3): 705–714. дои : 10.1016/j.celrep.2014.03.057 . ISSN 2211-1247 . ПМК 4049626 . ПМИД 24767987 .
^ Субаренда, Кэри. «Введение в физику и проектирование ядерного оружия» . Архив ядерного оружия . Проверено 26 мая 2009 г.
^ Краудер, Эванс и Ноэлл 2008 , стр. 314–315.
^ Jump up to: ^а ^б Ариэль Синтрон-Ариас (2014). «Чтобы стать вирусным». arXiv : 1402.3499 [ physical.soc-ph ].
^ Карин Нахон; Джефф Хемсли (2013). Становится вирусным . Политика. п. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1 .
^ Ютуб (2012). «Gangnam Style vs Call Me Maybe: сравнение популярности» . Тенденции YouTube .
^ Краудер, Брюс; Эванс, Бенни; Ноэлл, Алан (2008). Функции и изменения: подход к моделированию студенческой алгебры . Хоутон Миффлин Харкорт. п. 398. ИСБН 978-1-111-78502-4 .
^ Бернштейн, Рут (2003). Экология населения: введение в компьютерное моделирование . Джон Уайли и сыновья. п. 37. ИСБН 978-0-470-85148-7 .
^ Станго, Виктор; Зинман, Джонатан (2009). «Экспоненциальный рост и финансы домохозяйств». Журнал финансов . 64 (6): 2807–2849. дои : 10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x .
^ Jump up to: ^а ^б Порритт, Джонатан (2005). Капитализм: как будто мир имеет значение . Лондон: Earthscan. п. 49. ИСБН 1-84407-192-8 .
^ Медоуз, Донелла (2004). Пределы роста: обзор за 30 лет . Издательство Челси Грин. п. 21. ISBN 9781603581554 .

Источники

Медоуз, Донелла. Рандерс, Йорген. Медоуз, Деннис. Пределы роста : 30-летний обзор. Издательство Челси Грин, 2004. ISBN 9781603581554
Медоуз, Донелла Х., Деннис Л. Медоуз, Йорген Рандерс и Уильям В. Беренс III. (1972) Пределы роста . Нью-Йорк: Университетские книги. ISBN 0-87663-165-0
Порритт, Дж. Капитализм, как если бы мир имел значение , Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
Свирски, Питер. О литературе и знаниях: исследования в области повествовательных мысленных экспериментов, эволюции и теории игр . Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 0-415-42060-1
Томсон, Дэвид Г. План достижения миллиарда: 7 основных принципов достижения экспоненциального роста , Wiley, декабрь 2005 г., ISBN 0-471-74747-5
Цирель С.В. 2004. О возможных причинах гиперэкспоненциального роста населения Земли . Математическое моделирование социально-экономической динамики / Под ред. М.Г. Дмитриева и А.П. Петрова, стр. 367–9. Москва: Российский государственный социальный университет, 2004.

Внешние ссылки

Рост в конечном мире – устойчивость и экспоненциальная функция – презентация
Доктор Альберт Бартлетт: Арифметика, население и энергия — потоковое видео и аудио 58 мин.

[1] Сури, Манил (4 марта 2019 г.). «Мнение | Перестаньте говорить «экспоненциально». С уважением, Математик» . Нью-Йорк Таймс .

[2] «10 научных слов, которые вы, вероятно, используете неправильно» . Как все работает . 11 июля 2014 г.

[SlavovBudnik2014-3] Славов, Николай; Будник, Богдан А.; Шваб, Дэвид; Айролди, Эдоардо М .; ван Ауденарден, Александр (2014). «Постоянную скорость роста можно поддерживать за счет уменьшения потока энергии и увеличения аэробного гликолиза» . Отчеты по ячейкам . 7 (3): 705–714. дои : 10.1016/j.celrep.2014.03.057 . ISSN 2211-1247 . ПМК 4049626 . ПМИД 24767987 .

[4] Субаренда, Кэри. «Введение в физику и проектирование ядерного оружия» . Архив ядерного оружия . Проверено 26 мая 2009 г.

[FOOTNOTECrauderEvansNoell2008314–315-5] Краудер, Эванс и Ноэлл 2008 , стр. 314–315.

[aca-6] Jump up to: ^а ^б Ариэль Синтрон-Ариас (2014). «Чтобы стать вирусным». arXiv : 1402.3499 [ physical.soc-ph ].

[7] Карин Нахон; Джефф Хемсли (2013). Становится вирусным . Политика. п. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1 .

[8] Ютуб (2012). «Gangnam Style vs Call Me Maybe: сравнение популярности» . Тенденции YouTube .

[9] Краудер, Брюс; Эванс, Бенни; Ноэлл, Алан (2008). Функции и изменения: подход к моделированию студенческой алгебры . Хоутон Миффлин Харкорт. п. 398. ИСБН 978-1-111-78502-4 .

[10] Бернштейн, Рут (2003). Экология населения: введение в компьютерное моделирование . Джон Уайли и сыновья. п. 37. ИСБН 978-0-470-85148-7 .

[11] Станго, Виктор; Зинман, Джонатан (2009). «Экспоненциальный рост и финансы домохозяйств». Журнал финансов . 64 (6): 2807–2849. дои : 10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x .

[Porritt-2005-12] Jump up to: ^а ^б Порритт, Джонатан (2005). Капитализм: как будто мир имеет значение . Лондон: Earthscan. п. 49. ИСБН 1-84407-192-8 .

[Meadows-2004-13] Медоуз, Донелла (2004). Пределы роста: обзор за 30 лет . Издательство Челси Грин. п. 21. ISBN 9781603581554 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

v т и Гипероперации
Primary	Successor (0) Addition (1) Multiplication (2) Exponentiation (3) Tetration (4) Pentation (5) Hexation (6)
Inverse for left argument	Predecessor (0) Subtraction (1) Division (2) Root extraction (3) Super-root (4)
Inverse for right argument	Predecessor (0) Subtraction (1) Division (2) Logarithm (3) Super-logarithm (4)
Related articles	Ackermann function Conway chained arrow notation Grzegorczyk hierarchy Knuth's up-arrow notation Steinhaus–Moser notation