Правило 72

В финансах правило 72 , правило 70. ^[1] и правило 69,3 — это методы оценки времени удвоения инвестиций . Номер правила (например, 72) делится на процентную ставку за период (обычно лет), чтобы получить приблизительное количество периодов, необходимых для удвоения. Хотя научные калькуляторы и программы для работы с электронными таблицами имеют функции для определения точного времени удвоения, эти правила полезны для мысленных вычислений только базовый калькулятор . и тогда, когда доступен ^[2]

Эти правила применяются к экспоненциальному росту и поэтому используются для расчета сложных процентов, а не для расчета простых процентов . Их также можно использовать для распада, чтобы сократить время вдвое. Выбор числа в основном зависит от предпочтений: 69 более точно подходит для непрерывного начисления процентов, а 72 хорошо работает в ситуациях с общими процентами и его легче разделить.Существует ряд вариаций правил, повышающих точность. Для периодического начисления процентов точное время удвоения процентной ставки в размере r процентов за период равно

t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}}

,

где t — необходимое количество периодов. Приведенную выше формулу можно использовать не только для расчета времени удвоения. Например, если кто-то хочет узнать время утроения, замените константу 2 в числителе на 3. Другой пример: если вы хотите узнать количество периодов, необходимое для того, чтобы начальное значение увеличилось на 50%, замените константу 2 с 1,5.

Использование правила для оценки периодов начисления процентов

Чтобы оценить количество периодов, необходимых для удвоения первоначальных инвестиций, разделите наиболее удобное «количество по правилу» на ожидаемый темп роста, выраженный в процентах.

Например, если вы должны инвестировать 100 долларов США с начисляемыми процентами по ставке 9% годовых, правило 72 дает 72/9 = 8 лет, необходимых для того, чтобы инвестиция стоила 200 долларов США; точный расчет дает ln(2) /ln(1+0,09) = 8,0432 года.

Аналогичным образом, чтобы определить время, необходимое для того, чтобы стоимость денег уменьшилась вдвое при заданной ставке, разделите количество по правилу на эту ставку.

Чтобы определить момент, когда уменьшится денег покупательная способность вдвое, финансисты делят количество по правилу на уровень инфляции . Таким образом, при инфляции 3,5%, согласно правилу 70 , потребуется примерно 70/3,5 = 20 лет, чтобы стоимость денежной единицы уменьшилась вдвое. ^[1]
Чтобы оценить влияние дополнительных комиссий на финансовую политику (например, комиссионные и расходы взаимных фондов , начисления и расходы по переменным инвестиционным портфелям универсального страхования жизни), разделите 72 на комиссию. Например, если полис Universal Life взимает ежегодную комиссию в размере 3% сверх стоимости основного инвестиционного фонда, то общая стоимость счета будет сокращена до 50% через 72/3 = 24 года, а затем до 25% значение за 48 лет по сравнению с владением точно такими же инвестициями вне политики.

Выбор правила

Значение 72 является удобным выбором числителя, поскольку оно имеет много маленьких делителей : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12. Оно обеспечивает хорошее приближение для годового начисления процентов, а также для начисления процентов по типичным ставкам ( от 6% до 10%); приближения менее точны при более высоких процентных ставках.

Для непрерывного начисления процентов 69 дает точные результаты для любой ставки, поскольку ln (2) составляет около 69,3%; см. вывод ниже. Поскольку ежедневное начисление процентов достаточно близко к непрерывному начислению процентов, для большинства целей 69, 69,3 или 70 лучше, чем 72 для ежедневного начисления процентов. Для более низких годовых ставок, чем указано выше, 69,3 также будет более точным, чем 72. ^[3] Для более высоких годовых ставок более точным будет значение 78.

Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и затухания (тусклые линии), а также их 70/ t и 72/ t аппроксимации . В версии SVG наведите указатель мыши на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Ставка	Фактические годы	Скорость × Фактические годы	Правило 72	Правило 70	Правило 69.3	72 скорректировано	правило ЭМ
0.25%	277.605	69.401	288.000	280.000	277.200	277.667	277.547
0.5%	138.976	69.488	144.000	140.000	138.600	139.000	138.947
1%	69.661	69.661	72.000	70.000	69.300	69.667	69.648
2%	35.003	70.006	36.000	35.000	34.650	35.000	35.000
3%	23.450	70.349	24.000	23.333	23.100	23.444	23.452
4%	17.673	70.692	18.000	17.500	17.325	17.667	17.679
5%	14.207	71.033	14.400	14.000	13.860	14.200	14.215
6%	11.896	71.374	12.000	11.667	11.550	11.889	11.907
7%	10.245	71.713	10.286	10.000	9.900	10.238	10.259
8%	9.006	72.052	9.000	8.750	8.663	9.000	9.023
9%	8.043	72.389	8.000	7.778	7.700	8.037	8.062
10%	7.273	72.725	7.200	7.000	6.930	7.267	7.295
11%	6.642	73.061	6.545	6.364	6.300	6.636	6.667
12%	6.116	73.395	6.000	5.833	5.775	6.111	6.144
15%	4.959	74.392	4.800	4.667	4.620	4.956	4.995
18%	4.188	75.381	4.000	3.889	3.850	4.185	4.231
20%	3.802	76.036	3.600	3.500	3.465	3.800	3.850
25%	3.106	77.657	2.880	2.800	2.772	3.107	3.168
30%	2.642	79.258	2.400	2.333	2.310	2.644	2.718
40%	2.060	82.402	1.800	1.750	1.733	2.067	2.166
50%	1.710	85.476	1.440	1.400	1.386	1.720	1.848
60%	1.475	88.486	1.200	1.167	1.155	1.489	1.650
70%	1.306	91.439	1.029	1.000	0.990	1.324	1.523

Примечание. Наиболее точное значение в каждой строке выделено курсивом, а наиболее точное из более простых правил выделено жирным шрифтом.

История

Раннее упоминание этого правила содержится в « Сумме арифметики» (Венеция, 1494 г., л. 181, № 44) Луки Пачоли (1445–1514). Он представляет правило в дискуссии об оценке времени удвоения инвестиций, но не выводит и не объясняет это правило, и поэтому предполагается, что это правило на какое-то время появилось раньше Пачоли.

Если вы хотите знать каждую величину при норме 100 в год, через сколько лет она удвоит доходность между прибылью и капиталом, имейте в виду правило 72 , которое вы всегда оставите для процентов, и что из этого получается оно за столько лет удвоится. Пример: когда проценты составляют 6 раз по 100 в год, я говорю, что мы начинаем с 72 раз по 6; Придут 12, и через 12 лет капитал увеличится вдвое. (курсив добавлен).

Примерно перевел:

Желая узнать о каком-либо капитале при данном годовом проценте, через сколько лет он удвоится, прибавив проценты к капиталу, имейте в виду, как правило, [число] 72 , которое вы всегда будете делить на проценты, и каковы результаты, за эти годы оно удвоится. Пример: когда проценты составляют 6 процентов в год, я говорю, что нужно разделить 72 на 6; 12 результатов, и через 12 лет капитал удвоится.

Регулировки для более высокой точности

Для более высоких ставок лучше использовать больший числитель (например, для 20% использование 76 для получения 3,8 лет будет иметь скидку всего около 0,002, тогда как использование 72 для получения 3,6 будет примерно 0,2). Это связано с тем, что, как указано выше, правило 72 является лишь приближением, точным для процентных ставок от 6% до 10%.

На каждые три процентных пункта от 8% значение 72 можно скорректировать на 1:

t\approx {\frac {72+(r-8)/3}{r}}

или, для того же результата:

t\approx {\frac {70+(r-2)/3}{r}}

Оба эти уравнения упрощаются до:

t\approx {\frac {208}{3r}}+{\frac {1}{3}}

Обратите внимание, что ${\frac {208}{3}}$ довольно близко к 69,3.

правило ЭМ

Правило второго порядка Эккарта – Макхейла (правило EM) обеспечивает мультипликативную поправку к правилу 69,3, которая очень точна для ставок от 0% до 20%, тогда как правило обычно точно только на самом низком уровне процентных ставок. от 0% до примерно 5%.

Чтобы вычислить приближение EM, умножьте результат правила 69,3 на 200/(200− r ) следующим образом:

t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {200}{200-r}}

.

Например, если процентная ставка составляет 18%, правило 69,3 дает t = 3,85 года, которое правило EM умножает на ${\frac {200}{182}}$ (т.е. 200/(200−18)) что дает время удвоения 4,23 года. Поскольку фактическое время удвоения при такой скорости составляет 4,19 года, правило EM дает более близкое приближение, чем правило 72.

Чтобы получить аналогичную поправку для правила 70 или 72, можно установить один из числителей, а другой отрегулировать так, чтобы их произведение оставалось примерно одинаковым. Таким образом, правило EM можно записать также как

t\approx {\frac {70}{r}}\times {\frac {198}{200-r}}

или

t\approx {\frac {72}{r}}\times {\frac {192}{200-r}}

В этих вариантах мультипликативная поправка становится равной 1 соответственно для r=2 и r=8, значений, для которых правила 70 и 72 наиболее точны.

Аппроксимант Паде

третьего порядка Аппроксимант Паде дает более точный ответ в еще большем диапазоне r , но имеет немного более сложную формулу:

t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {4r+600}{r+600}}

что упрощает:

t\approx {\frac {1386r+207900}{5r^{2}+3000r}}

Вывод

Периодическое начисление процентов

Для периодического начисления процентов будущая стоимость определяется по формуле:

FV=PV\cdot (1+r)^{t}

где $PV$ это текущая стоимость , $t$ количество периодов времени, а $r$ означает процентную ставку за период времени.

Будущая стоимость в два раза превышает текущую стоимость, если:

FV=PV\cdot 2

что представляет собой следующее условие:

(1+r)^{t}=2\,

Это уравнение легко решается для $t$ :

{\begin{aligned}\ln((1+r)^{t})&=\ln 2\\t\ln(1+r)&=\ln 2\\t&={\frac {\ln 2}{\ln(1+r)}}\end{aligned}}

Простая перестановка показывает:

{\frac {\ln {2}}{\ln {(1+r)}}}={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {r}{\ln(1+r)}}{\bigg )}

Если r мало, то ln(1 + r ) примерно равно r (это первый член ряда Тейлора ). То есть последний фактор растет медленно, когда $r$ близко к нулю.

Назовем этот последний фактор $f(r)={\frac {r}{\ln(1+r)}}$ . Функция $f(r)$ показано, что он является точным в приближении $t$ при небольшой положительной процентной ставке, когда $r=.08$ (см. вывод ниже). $f(.08)\approx 1.03949$ , и поэтому мы приближаем время $t$ как:

t={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}f(.08)\approx {\frac {.72}{r}}

Написано в процентах:

{\frac {.72}{r}}={\frac {72}{100r}}

Точность этого приближения возрастает по мере того, как начисление процентов становится непрерывным (см. вывод ниже). $100r$ является $r$ написано в процентах .

Для получения более точных корректировок, представленных выше, следует отметить, что $\ln(1+r)\,$ более точно аппроксимируется $r-{\frac {r^{2}}{2}}$ (с использованием второго члена ряда Тейлора ). ${\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}$ затем может быть дополнительно упрощено с помощью приближений Тейлора:

{\begin{aligned}{\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}&={\frac {69.3}{R-R^{2}/200}}\\&\\&={\frac {69.3}{R}}{\frac {1}{1-R/200}}\\&&\\&\approx {\frac {69.3(1+R/200)}{R}}\\&&\\&={\frac {69.3}{R}}+{\frac {69.3}{200}}\\&&\\&={\frac {69.3}{R}}+0.3465.\end{aligned}}

Замена « R » в R /200 в третьей строке на 7,79 дает 72 в числителе. Это показывает, что правило 72 наиболее точно для периодически начисляемых процентов около 8%. Аналогично, замена « R » в R /200 в третьей строке на 2,02 дает 70 в числителе, показывая, что правило 70 наиболее точно для периодически начисляемых процентов около 2%.

Альтернативно, правило EM получается, если напрямую используется приближение Тейлора второго порядка.

Непрерывное компаундирование

Для непрерывного начисления процентов вывод проще и дает более точное правило:

{\begin{aligned}(e^{r})^{p}&=2\\e^{rp}&=2\\\ln e^{rp}&=\ln 2\\rp&=\ln 2\\p&={\frac {\ln 2}{r}}\\p&\approx {\frac {0.693147}{r}}\end{aligned}}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Донелла Медоуз , «Мышление в системах: учебник для начинающих» , Chelsea Green Publishing , 2008, стр. 33 (вставка «Подсказка об усилении циклов обратной связи и удвоении времени»).
^ Славин, Стив (1989). Вся математика, которая вам когда-либо понадобится . Джон Уайли и сыновья . стр. 153–154 . ISBN 0-471-50636-2 .
^ Калид Азад, раскрывающий тайну натурального логарифма (ln) из BetterExplained

Внешние ссылки

Весы 70 – расширяют правило 72 за рамки роста с фиксированной ставкой на сложный рост с переменной ставкой, включая положительные и отрицательные ставки.

[Meadows-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Донелла Медоуз , «Мышление в системах: учебник для начинающих» , Chelsea Green Publishing , 2008, стр. 33 (вставка «Подсказка об усилении циклов обратной связи и удвоении времени»).

[2] Славин, Стив (1989). Вся математика, которая вам когда-либо понадобится . Джон Уайли и сыновья . стр. 153–154 . ISBN 0-471-50636-2 .

[3] Калид Азад, раскрывающий тайну натурального логарифма (ln) из BetterExplained

[1]

[2]

[3]