Постоянная времени

В физике и технике , постоянная времени обычно обозначаемая греческой буквой $τ$ (тау), является параметром , характеризующим реакцию на входной сигнал линейной нестационарной (LTI) системы первого порядка. ^[1]^{[примечание 1]} Постоянная времени является основной характеристической единицей системы LTI первого порядка.

Во временной области обычный выбор для исследования временной характеристики — это переходная характеристика на входной сигнал шага или импульсная характеристика на входной сигнал дельта-функции Дирака . ^[2] В частотной области (например, рассматривая преобразование Фурье переходного процесса или используя входные данные, представляющие собой простую синусоидальную функцию времени) постоянная времени также определяет полосу пропускания нестационарной системы первого порядка, то есть , частота, на которой мощность выходного сигнала падает до половины значения, которое она имеет на низких частотах.

Постоянная времени также используется для характеристики частотной характеристики различных систем обработки сигналов — магнитных лент , радиопередатчиков и приемников , оборудования для резки и воспроизведения записей, а также цифровых фильтров — которые могут быть смоделированы или аппроксимированы системами LTI первого порядка. Другие примеры включают постоянную времени, используемую в системах управления для контроллеров интегрального и дифференциального действия, которые часто являются пневматическими , а не электрическими.

Постоянные времени являются особенностью анализа сосредоточенной системы (метода анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, используемого, когда объекты охлаждаются или нагреваются равномерно под влиянием конвективного охлаждения или потепления. ^[3]

Физически постоянная времени представляет собой время, необходимое для того, чтобы реакция системы затухала до нуля, если бы система продолжала затухать с начальной скоростью, поскольку из-за постепенного изменения скорости затухания значение реакции фактически уменьшится до $1. / e \approx 36,8%$ за это время (скажем, со ступенчатого уменьшения). системы В возрастающей системе постоянная времени — это время, в течение которого переходная реакция достигает $1 - 1 / e \approx 63,2%$ от ее конечного (асимптотического) значения (скажем, при ступенчатом увеличении). При радиоактивном распаде постоянная времени связана с постоянной распада ( λ ) и представляет собой как среднее время жизни распадающейся системы (например, атома) до ее распада, так и время, которое требуется для всех атомов, кроме 36,8%. распадаться. По этой причине постоянная времени больше, чем период полураспада , за который распадается только 50% атомов.

Дифференциальное уравнение [ править ]

Системы LTI первого порядка характеризуются дифференциальным уравнением

\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)

где $τ$ представляет собой константу экспоненциального затухания , а $V$ является функцией времени $t$

V=V(t).

Правая часть — это вынуждающая функция

f (t)

, описывающая внешнюю движущую функцию времени, которую можно рассматривать как вход системы , на которую

V (t)

является ответом , или выход системы. Классическими примерами

f (t)

являются:

, Ступенчатая функция Хевисайда часто обозначаемая $u (t)$ :

u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}

импульсная функция , часто обозначаемая

δ (t)

, а также синусоидальная входная функция:

f(t)=A\sin(2\pi ft)

или

f(t)=Ae^{j\omega t},

где

A

— амплитуда вынуждающей функции,

f

— частота в герцах, а

ω = 2 π f

— частота в радианах в секунду.

Пример решения [ править ]

Пример решения дифференциального уравнения с начальным значением $V 0$ и без вынуждающей функции:

V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }

где

V_{0}=V(t=0)

начальное значение $V.$ — Таким образом, ответ представляет собой экспоненциальное затухание с постоянной времени $τ$ .

Обсуждение [ править ]

Предполагать

V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }.

Такое поведение называется «затухающей» экспоненциальной функцией. Время $τ$ (тау) называется «постоянной времени» и может использоваться (как в этом случае) для указания того, насколько быстро затухает экспоненциальная функция.

Здесь:

$t$ - время (обычно $t > 0$ в технике управления)
$V 0$ — начальное значение (см. «особые случаи» ниже).

Конкретные случаи [ править ]

Позволять $t=0$ ; затем $V=V_{0}e^{0}$ , и так $V=V_{0}$
Позволять $t=\tau$ ; затем $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$
Позволять $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$ , и так ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$
Позволять $t=5\tau$ ; затем $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$

По прошествии периода одной постоянной времени функция достигает $e -1$ = примерно 37% от первоначального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от исходного. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция упала до нуля - как правило, в технике управления устойчивой системой является та, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.

Связь постоянной времени с полосой пропускания [ править ]

Предположим, что вынуждающая функция выбрана синусоидальной, поэтому:

\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.

(Отклик на входной сигнал действительного косинуса или синусоидальной волны можно получить, взяв действительную или мнимую часть конечного результата на основании формулы Эйлера .) Общее решение этого уравнения для времен $t \geq 0 с$ , предполагая $V (t = 0 ) = V 0$ это:

{\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\[1ex]&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {\frac {1}{\tau }}{j\omega +{\frac {1}{\tau }}}}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}

В течение длительного времени затухающие экспоненты становятся незначительными, и стационарное решение или долговременное решение имеет вид:

V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.

Величина этого ответа:

|V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.

По соглашению, полоса пропускания этой системы — это частота, где

| В \infty | 2

падает до половины значения, или где

ωτ = 1

. Это обычное соглашение о полосе пропускания , определяемое как диапазон частот, в котором мощность падает менее чем наполовину (максимум –3 дБ). Используя частоту в герцах, а не радианах/с (

ω = 2 πf

):

f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.

Обозначение $f 3dB$ связано с выражением мощности в децибелах и наблюдением, что половинная мощность соответствует падению значения $| В \infty |$ на коэффициент 1/2 или на 3 децибела.

Таким образом, постоянная времени определяет пропускную способность этой системы.

Переходный процесс с условиями произвольными начальными

Предположим, что принудительная функция выбрана в качестве входного шага, поэтому:

{\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),

где $u (t) —$ единичная ступенчатая функция . Общее решение этого уравнения для времени $t \geq 0 с$ , предполагая, что $V (t = 0) = V 0$ , выглядит следующим образом:

V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).

(Можно заметить, что этот отклик представляет собой $предел ω \to 0$ вышеуказанного ответа на синусоидальный входной сигнал.)

Долговременное решение не зависит от времени и начальных условий:

V_{\infty }=A\tau .

Постоянная времени остается неизменной для одной и той же системы независимо от начальных условий. Проще говоря, система приближается к своему окончательному, установившемуся состоянию с постоянной скоростью, независимо от того, насколько близко она находится к этому значению в любой произвольной начальной точке.

Например, рассмотрим электродвигатель, запуск которого хорошо моделируется системой LTI первого порядка. Предположим, что при запуске из состояния двигателя двигатель принимает 1/8 . мин секунды для достижения 63% номинальной скорости в 100 об/мин или 63 об/мин — недостаток в 37 об/ Тогда окажется, что после следующего 1/8 . За секунды двигатель ускорился еще на 23 об/мин, что составляет 63% от разницы в 37 об/мин Это доводит его до 86 об/мин — все еще на 14 об/мин ниже. После третьего 1/8 За секунды двигатель наберет дополнительные 9 об/мин (63% от разницы в 14 об/мин), что соответствует 95 об/мин.

Фактически, при любой начальной скорости s ≤ 100 об/мин Через 1/8 ) оборотов в минуту секунды этот конкретный двигатель наберет дополнительные 0,63 × (100 - с .

Примеры [ править ]

Постоянные времени в электрических цепях [ править ]

В цепи RL, состоящей из одного резистора и катушки индуктивности, постоянная времени $\tau$ (в секундах )

\tau ={\frac {L}{R}}

где R — сопротивление (в Омах ), а L — индуктивность (в генри ).

Аналогично, в RC-цепи , состоящей из одного резистора и конденсатора, постоянная времени $\tau$ (в секундах):

\tau =RC

где R — сопротивление (в Омах ), а C — емкость (в фарадах ).

Электрические цепи часто более сложны, чем эти примеры, и могут иметь несколько постоянных времени (некоторые примеры см. в разделе «Переходная характеристика и разделение полюсов» ). В случае присутствия обратной связи система может демонстрировать нестабильные, возрастающие колебания. Кроме того, физические электрические цепи редко являются по-настоящему линейными системами, за исключением возбуждений с очень низкой амплитудой; однако широко используется приближение линейности.

В цифровых электронных схемах еще одна мера - FO4 часто используется . Это можно преобразовать в единицы постоянной времени с помощью уравнения $5\tau ={\text{FO4}}$ . ^[4]

Термическая постоянная времени [ править ]

Постоянные времени являются особенностью анализа сосредоточенных систем (метода анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, используемого, когда объекты охлаждаются или нагреваются равномерно под влиянием конвективного охлаждения или нагревания . При этом передача тепла от тела к окружающей среде в данный момент времени пропорциональна разности температур тела и окружающей среды: ^[5]

F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),

где h — коэффициент теплопередачи , а As _— площадь поверхности, T — температурная функция, т. е. T ( t ) — температура тела в момент времени t , а T _a — постоянная температура окружающей среды. Положительный знак указывает на то, что F является положительным, когда тепло покидает тело, поскольку его температура выше температуры окружающей среды ( F — поток наружу). Если тепло теряется в окружающую среду, эта теплопередача приводит к падению температуры тела, определяемой по формуле: ^[5]

\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,

где ρ = плотность, c _p = удельная теплоемкость и V – объем тела. Знак минус указывает на падение температуры при передаче тепла наружу от тела (т. е. при F > 0). Приравнивая эти два выражения для теплопередачи,

\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).

Очевидно, что это система LTI первого порядка, которую можно представить в виде:

{\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},

с

\tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.

Другими словами, большие массы ρV с более высокими теплоемкостями c _p приводят к более медленному изменению температуры (большая постоянная времени τ ), а большие площади поверхности A _s с большей теплоотдачей h приводят к более быстрому изменению температуры (меньшая постоянная времени τ ).

Сравнение с вводным дифференциальным уравнением предполагает возможное обобщение на случай изменяющихся во времени температур окружающей среды T _a . Однако, сохраняя простой пример с постоянной средой, подставляя переменную Δ T ≡ ( T - T _a ), можно найти:

{\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.

Говорят, что системы, для которых охлаждение удовлетворяет приведенному выше экспоненциальному уравнению, удовлетворяют закону охлаждения Ньютона . Решение этого уравнения предполагает, что в таких системах разница между температурой системы и ее окружения Δ T как функция времени t определяется выражением:

\Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },

где Δ T ₀ — начальная разница температур в момент времени t = 0. Другими словами, тело принимает ту же температуру, что и окружающая среда, с экспоненциально медленной скоростью, определяемой постоянной времени.

Постоянные времени в биофизике [ править ]

В возбудимой клетке, такой как мышца или нейрон , постоянная времени мембранного потенциала $\tau$ является

\tau =r_{m}c_{m}

где r _m — сопротивление мембраны, а c _m — емкость мембраны.

Сопротивление мембраны зависит от количества открытых ионных каналов , а емкость — от свойств липидного бислоя .

Постоянная времени используется для описания подъема и падения мембранного напряжения, где подъем описывается выражением

V(t)=V_{\textrm {max}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)

и падение описывается

V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }

где напряжение указано в милливольтах, время — в секундах, а $\tau$ это в секундах.

V _max определяется как максимальное изменение напряжения от потенциала покоя , где

V_{\textrm {max}}=r_{m}I

где r _m — сопротивление мембраны, а I — мембранный ток.

Настройка для t = $\tau$ для подъема устанавливают V ( t ) равным 0,63 В _max . Это означает, что постоянная времени — это время, прошедшее после 63 % от V _max достижения .

Настройка для t = $\tau$ для падения устанавливает V ( t ) равным 0,37 В _max , что означает, что константа времени — это время, прошедшее после того, как оно упало до 37% от V _max .

Чем больше постоянная времени, тем медленнее нарастает или падает потенциал нейрона. Большая постоянная времени может привести к временному суммированию или алгебраическому суммированию повторяющихся потенциалов. Короткая постоянная времени скорее создает детектор совпадений посредством пространственного суммирования .

Экспоненциальный распад [ править ]

При экспоненциальном распаде , например, радиоактивного изотопа, постоянную времени можно интерпретировать как среднее время жизни . Период полураспада T _HL или T _1/2 связан с константой экспоненциального распада. $\tau$ к

T_{1/2}=T_{\text{HL}}=\tau \ln 2.

Обратная константа времени называется постоянной затухания и обозначается

\lambda =1/\tau

.

Метеорологические датчики [ править ]

— Постоянная времени это количество времени, которое требуется метеорологическому датчику, чтобы отреагировать на быстрое изменение показателя, и до тех пор, пока он не начнет измерять значения в пределах допуска точности, обычно ожидаемого от датчика.

Чаще всего это касается измерений температуры, температуры точки росы, влажности и давления воздуха. Особенно страдают радиозонды из-за их быстрого увеличения высоты.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Конкретно, система LTI первого порядка - это система, которую можно смоделировать одним дифференциальным уравнением первого порядка во времени. Примерами могут служить простейшие однокаскадные электрические RC-цепи и RL-цепи .

Ссылки [ править ]

^ Бела Г. Липтак (2003). Справочник приборостроителя: Управление процессами и оптимизация (4-е изд.). ЦРК Пресс. п. 100. ИСБН 978-0-8493-1081-2 .
^ Бонг Ви (1998). Динамика и управление космическим аппаратом . Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 100 . ISBN 978-1-56347-261-9 .
^ ГР Норт (1988). «Уроки моделей энергетического баланса» . В Майкле Э. Шлезингере (ред.). Физически обоснованное моделирование и моделирование климата и климатических изменений (изд. Института перспективных исследований НАТО по физическому моделированию). Спрингер. п. 627. ИСБН 978-90-277-2789-3 . {{cite book}}: Неизвестный параметр |agency= игнорируется ( помогите )
^ Харрис, Д.; Сазерленд, И. (2003). «Логическое усилие сумматоров переноса и распространения». Тридцать седьмая Асиломарская конференция по сигналам, системам и компьютерам, 2003 г. стр. 873–878. дои : 10.1109/ACSSC.2003.1292037 . ISBN 0-7803-8104-1 . S2CID 7880203 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Роланд Винн Льюис; Перумал Нитиарасу; К. Н. Ситхараму (2004). Основы метода конечных элементов для определения потоков тепла и жидкости . Уайли. п. 151. ИСБН 978-0-470-84789-3 .

Внешние ссылки [ править ]

[2] Конкретно, система LTI первого порядка - это система, которую можно смоделировать одним дифференциальным уравнением первого порядка во времени. Примерами могут служить простейшие однокаскадные электрические RC-цепи и RL-цепи .

[Lipták-1] Бела Г. Липтак (2003). Справочник приборостроителя: Управление процессами и оптимизация (4-е изд.). ЦРК Пресс. п. 100. ИСБН 978-0-8493-1081-2 .

[Wie-3] Бонг Ви (1998). Динамика и управление космическим аппаратом . Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 100 . ISBN 978-1-56347-261-9 .

[NATO-4] ГР Норт (1988). «Уроки моделей энергетического баланса» . В Майкле Э. Шлезингере (ред.). Физически обоснованное моделирование и моделирование климата и климатических изменений (изд. Института перспективных исследований НАТО по физическому моделированию). Спрингер. п. 627. ИСБН 978-90-277-2789-3 . {{cite book}}: Неизвестный параметр |agency= игнорируется ( помогите )

[5] Харрис, Д.; Сазерленд, И. (2003). «Логическое усилие сумматоров переноса и распространения». Тридцать седьмая Асиломарская конференция по сигналам, системам и компьютерам, 2003 г. стр. 873–878. дои : 10.1109/ACSSC.2003.1292037 . ISBN 0-7803-8104-1 . S2CID 7880203 .

[Lewis-6] Перейти обратно: ^а ^б Роланд Винн Льюис; Перумал Нитиарасу; К. Н. Ситхараму (2004). Основы метода конечных элементов для определения потоков тепла и жидкости . Уайли. п. 151. ИСБН 978-0-470-84789-3 .

[1]

[примечание 1]

[2]

[3]

[4]

[5]