электронное складывание

В науке ; e -складывание — это временной интервал, в течение которого растущая раз величина увеличивается в e экспоненциально ^[1] это по основанию e аналог удвоения времени . Этот термин часто используется во многих областях науки, например, в химии атмосферы , медицине и теоретической физике , особенно когда космическая инфляция исследуется . Физики и химики часто говорят о e масштабе времени -складывания , который определяется собственным временем , в течение которого длина участка пространства или пространства-времени увеличивается в упомянутый выше коэффициент e .

В финансах логарифмическая доходность или непрерывно начисляемая доходность , также известная как сила процента , является обратной величиной времени электронного складывания.

Термин «время e -свертывания» также иногда используется аналогичным образом в случае экспоненциального затухания для обозначения временной шкалы, в течение которой величина уменьшается до 1/ e от своего предыдущего значения.

Процесс эволюции к равновесию часто характеризуется временной шкалой, называемой временем e -складывания, τ . Это время используется для процессов, которые развиваются экспоненциально к конечному состоянию (равновесию). Другими словами, если мы исследуем наблюдаемую величину X , связанную с системой ( температуру или плотность например, ), то через некоторое время τ начальная разница между начальным значением наблюдаемой величины и равновесным значением Δ X _i , уменьшится до Δ X _i / e , где число e ≈ 2,71828 .

T_{e}={\frac {T_{d}}{\ln(2)}}={\frac {t}{\ln({N(t)}/{N(0)})}}={\frac {t}{\ln(1+r/100)}}

Т е _е - время складывания
N ( t ) количество в момент времени t
N (0) начальная сумма
T _d время удвоения
ln(2) ≈ 0,693 натуральный логарифм от 2
r % темп роста за время t

Пример срока службы как электронного складывания времени

Понятие времени электронного сворачивания может быть использовано при анализе кинетики . Рассмотрим химическую разновидность A, которая распадается на другую химическую разновидность B. Мы могли бы изобразить это в виде уравнения:

{\rm {A}}\rightarrow {\rm {B}}

Предположим, что эта реакция следует кинетике первого порядка, а это означает, что превращение A в B зависит только от концентрации A и константы скорости , которая определяет скорость, с которой это происходит, k . Мы могли бы написать следующую реакцию, чтобы описать этот кинетический процесс первого порядка:

{\frac {d[{\rm {A}}]}{dt}}=-k[{\rm {A}}]

Это обыкновенное дифференциальное уравнение утверждает, что изменение (в данном случае исчезновение) концентрации A, d [A]/ dt , равно константе скорости k, единицы k. умноженной на концентрацию A. Рассмотрим, какими будут . С левой стороны у нас есть концентрация, разделенная на единицу времени. Единицы измерения k должны позволять воспроизводить их в правой части. По этой причине единицы k здесь будут 1/время.

Поскольку это линейное , однородное и разделимое дифференциальное уравнение, мы можем разделить члены так, чтобы уравнение приняло вид:

{\frac {d[{\rm {A}}]}{[{\rm {A}}]}}=-k\,dt

Затем мы можем проинтегрировать обе части этого уравнения, что приведет к включению константы e :

{\begin{aligned}&\int _{[{\rm {A}}]_{i}}^{[{\rm {A}}]_{f}}{\frac {d[{\rm {A}}]}{[{\rm {A}}]}}=\int _{t=0}^{t}-k\,dt\\[6pt]&\ln[{\rm {A}}]_{f}-\ln[{\rm {A}}]_{i}=-kt-k(0)\\[6pt]&\ln {\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=-kt\\[6pt]&{\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=e^{-kt}\end{aligned}}

где [A] _f и [A] _i — конечная и начальная концентрации A. Сравнивая соотношение в левой части с уравнением в правой части, мы приходим к выводу, что соотношение между конечной и начальной концентрациями соответствует формуле которой является e показательная функция, основанием .

Как упоминалось выше, единицей измерения k является обратное время. Если бы мы взяли обратную величину, у нас остались бы единицы времени. По этой причине мы часто утверждаем, что время жизни вида, претерпевающего распад первого порядка, равно величине, обратной величине k . А теперь представьте, что произойдет, если мы присвоим времени t величину , обратную константе скорости k , то есть t = 1/ k . Это дало бы

{\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=e^{-k\left({\frac {1}{k}}\right)}=e^{-1}={\frac {1}{e}}\approx 0.37

Это означает, что после одной жизни (1/ k ) отношение конечной и начальной концентраций равно примерно 0,37. Другими словами, после одной жизни мы имеем

{\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}\approx {\frac {37}{100}}=37\%

а это значит, что мы потеряли (1 - 0,37 = 0,63) 63% А, а осталось всего 37%. Теперь мы знаем, что если у нас прошла одна жизнь, мы прошли через одно «электронное свертывание». Как будут выглядеть два «электронных складывания»? После двух жизней у нас будет t = 1/ k + 1/ k = 2/ k , что приведет к

{\frac {[{\rm {A}}]_{f}}{[{\rm {A}}]_{i}}}=e^{-k\left({\frac {2}{k}}\right)}=e^{-2}={\frac {1}{e^{2}}}\approx 0.14=14\%

где говорится, что осталось только около 14% А. Именно таким образом электронное складывание дает нам простой способ описать количество прошедших жизней. После 1 жизни у нас остается 1/ e . После двух жизней мы имеем 1/ e ² оставшийся. Таким образом, одна жизнь равна одному времени электронного свертывания, что является наиболее наглядным способом описания распада.

См. также

Удвоение времени

Ссылки

^ «Требуется объяснение электронного складывания» . Форумы по физике: научные дискуссии, помощь в выполнении домашних заданий, статьи . 27 февраля 2013 г. Проверено 19 декабря 2023 г.

[1] «Требуется объяснение электронного складывания» . Форумы по физике: научные дискуссии, помощь в выполнении домашних заданий, статьи . 27 февраля 2013 г. Проверено 19 декабря 2023 г.

[1]