Список логарифмических тождеств

В математике множество логарифмических тождеств существует . Ниже приводится подборка наиболее известных из них, многие из которых используются в вычислительных целях.

Тривиальные тождества

Тривиальные математические тождества относительно просты (для опытного математика), хотя и не обязательно неважны. Тривиальные логарифмические тождества:

$\log _{b}(1)=0$	потому что	$b^{0}=1$
$\log _{b}(b)=1$	потому что	$b^{1}=b$

Пояснения

По определению мы знаем, что:

$\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}$,

где $\color {blue}b\color {black}\neq 0$ и $\color {blue}b\color {black}\neq 1$.

Параметр $\color {red}x\color {black}=0$,мы можем видеть это: $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{(0)}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}1\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {green}y\color {black}=\color {blue}1\color {black}$. Итак, подставив эти значения в формулу, мы видим, что: $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {blue}1\color {black})=\color {red}0\color {black}$, что дает нам первое свойство.

Параметр $\color {red}x\color {black}=1$,мы можем видеть это: $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{(1)}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {green}y\color {black}=\color {blue}b\color {black}$. Итак, подставив эти значения в формулу, мы видим, что: $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {blue}b\color {black})=\color {red}1\color {black}$, что дает нам второе свойство.

Отмена экспонент

Логарифмы и экспоненты с одинаковым основанием взаимно компенсируют друг друга. Это верно, поскольку логарифмы и экспоненты являются обратными операциями, подобно тому, как умножение и деление являются обратными операциями, а сложение и вычитание — обратными операциями.

$b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ because }}{\mbox{antilog}}_{b}(\log _{b}(x))=x$

$\log _{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log _{b}({\mbox{antilog}}_{b}(x))=x$

Оба вышеизложенных выводятся из следующих двух уравнений, определяющих логарифм:(обратите внимание, что в этом объяснении переменные $\color {red}x\color {black}$ и $x$ возможно, речь идет о разных числах)

$\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}$

Глядя на уравнение $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}$и подставив значение для $\color {red}x\color {black}$ из $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}$, мы получаем следующее уравнение: $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{\log _{b}(y)}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})}\color {black}=\color {green}y\color {black}$, что дает нам первое уравнение.Другой, более грубый способ подумать об этом состоит в том, что $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{\text{something}}\color {black}=\color {green}y\color {black}$,и это то" $\color {red}{\text{something}}$" является $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})$.

Глядя на уравнение $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}$и подставив значение для $\color {green}y\color {black}$ из $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}$, мы получаем следующее уравнение: $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}b^{x}\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}({\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}}\color {black})=\color {red}x\color {black}$, что дает нам второе уравнение.Другой, более грубый способ подумать об этом состоит в том, что $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}{\text{something}}\color {black})=\color {red}x\color {black}$,и это что-то" $\color {green}{\text{something}}$" является $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}$.

Использование более простых операций

Логарифмы можно использовать для облегчения вычислений. Например, два числа можно умножить, просто воспользовавшись таблицей логарифмов и сложив их. Их часто называют логарифмическими свойствами, которые описаны в таблице ниже. Первые три операции ниже предполагают, что x = b ^с и/или y = b ^д , так что log _b ( x ) = c и log _b ( y ) = d . В деривациях также используются определения журналов x = b. ^{журнал _б ( х )} и x = log _b ( b ^х ) .

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	потому что	$b^{c}b^{d}=b^{c+d}$
$\log _{b}({\tfrac {x}{y}})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	потому что	${\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}=b^{c-d}$
$\log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)$	потому что	$(b^{c})^{d}=b^{cd}$
$\log _{b}\left({\sqrt[{y}]{x}}\right)={\frac {\log _{b}(x)}{y}}$	потому что	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$
$x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}$	потому что	$x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=(b^{\log _{b}(y)})^{\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}$
$c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})$	потому что	$\log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})$

Где $b$, $x$, и $y$ являются положительными действительными числами и $b\neq 1$, и $c$ и $d$ являются действительными числами.

Законы возникают в результате отмены экспонент и соответствующего закона индексов. Начиная с первого закона:

$xy=b^{\log _{b}(x)}b^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}\Rightarrow \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$

Закон степеней использует другой закон индексов:

$x^{y}=(b^{\log _{b}(x)})^{y}=b^{y\log _{b}(x)}\Rightarrow \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)$

Тогда действует закон, относящийся к частным:

$\log _{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(xy^{-1})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y^{-1})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

$\log _{b}{\bigg (}{\frac {1}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(y^{-1})=-\log _{b}(y)$

Аналогично, корневой закон получается путем переписывания корня как обратной степени:

$\log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log _{b}(x)$

Вывод правил произведения, частного и степени

Это три основных закона/правила/принципа логарифма: из которого могут быть доказаны другие свойства, перечисленные выше. Каждое из этих свойств логарифма соответствует соответствующему закону экспоненты, и их выводы/доказательства будут зависеть от этих фактов. Существует несколько способов вывести/доказать каждый закон логарифма — это лишь один из возможных методов.

Логарифм произведения

Чтобы формально сформулировать логарифм закона произведения :

$\forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$

Вывод:

Позволять $b\in \mathbb {R} _{+}$, где $b\neq 1$,и пусть $x,y\in \mathbb {R} _{+}$. Мы хотим связать выражения $\log _{b}(x)$ и $\log _{b}(y)$. Это можно сделать проще, переписав в терминах экспонент, свойства которых мы уже знаем. Кроме того, поскольку мы собираемся обратиться к $\log _{b}(x)$ и $\log _{b}(y)$ довольно часто мы даем им имена переменных, чтобы облегчить работу с ними: Пусть $m=\log _{b}(x)$, и пусть $n=\log _{b}(y)$.

Переписав их в экспоненты, мы увидим, что

${\begin{aligned}m&=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x,\\n&=\log _{b}(y)\iff b^{n}=y.\end{aligned}}$

Отсюда мы можем связать $b^{m}$ (т.е. $x$) и $b^{n}$ (т.е. $y$) используя законы экспоненты как

$xy=(b^{m})(b^{n})=b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}$

Для восстановления логарифмов применим $\log _{b}$ в обе стороны равенства.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{m+n})$

Правую часть можно упростить, используя одно из предыдущих свойств логарифма: мы знаем, что $\log _{b}(b^{m+n})=m+n$, давая

$\log _{b}(xy)=m+n$

Теперь мы подставим значения для $m$ и $n$ в наше уравнение, поэтому наше окончательное выражение выражается только через $x$, $y$, и $b$.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$

На этом вывод завершен.

Логарифм частного

Чтобы формально сформулировать логарифм частного закона:

$\forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

Вывод:

Позволять $b\in \mathbb {R} _{+}$, где $b\neq 1$,и пусть $x,y\in \mathbb {R} _{+}$.

Мы хотим связать выражения $\log _{b}(x)$ и $\log _{b}(y)$. Это можно сделать проще, переписав в терминах экспонент, свойства которых мы уже знаем. Кроме того, поскольку мы собираемся обратиться к $\log _{b}(x)$ и $\log _{b}(y)$ довольно часто мы даем им имена переменных, чтобы облегчить работу с ними: Пусть $m=\log _{b}(x)$, и пусть $n=\log _{b}(y)$.

Переписав их в экспоненты, мы увидим, что:

${\begin{aligned}m&=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x,\\n&=\log _{b}(y)\iff b^{n}=y.\end{aligned}}$

Отсюда мы можем связать $b^{m}$ (т.е. $x$) и $b^{n}$ (т.е. $y$) используя законы экспоненты как

${\frac {x}{y}}={\frac {(b^{m})}{(b^{n})}}={\frac {b^{m}}{b^{n}}}=b^{m-n}$

Для восстановления логарифмов применим $\log _{b}$ в обе стороны равенства.

$\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}\left(b^{m-n}\right)$

Правую часть можно упростить, используя одно из предыдущих свойств логарифма: мы знаем, что $\log _{b}(b^{m-n})=m-n$, давая

$\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=m-n$

Теперь мы подставим значения для $m$ и $n$ в наше уравнение, поэтому наше окончательное выражение выражается только через $x$, $y$, и $b$.

$\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

На этом вывод завершен.

Логарифм степени

Чтобы формально сформулировать логарифм степенного закона:

$\forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x\in \mathbb {R} _{+},\forall r\in \mathbb {R} ,\log _{b}(x^{r})=r\log _{b}(x)$

Вывод:

Позволять $b\in \mathbb {R} _{+}$, где $b\neq 1$, позволять $x\in \mathbb {R} _{+}$, и пусть $r\in \mathbb {R}$. Для этого вывода мы хотим упростить выражение $\log _{b}(x^{r})$. Для этого начнем с более простого выражения $\log _{b}(x)$. Поскольку мы будем использовать $\log _{b}(x)$ часто мы будем определять его как новую переменную: Пусть $m=\log _{b}(x)$.

Чтобы упростить манипулирование выражением, мы перепишем его как экспоненту. По определению, $m=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x$, поэтому у нас есть

$b^{m}=x$

Подобно выводам, приведенным выше, мы воспользуемся другим законом экспоненты. Чтобы иметь $x^{r}$ в нашем последнем выражении мы возводим обе части равенства в степень $r$:

${\begin{aligned}(b^{m})^{r}&=(x)^{r}\\b^{mr}&=x^{r}\end{aligned}}$

где мы использовали показательный закон $(b^{m})^{r}=b^{mr}$.

Для восстановления логарифмов применим $\log _{b}$ в обе стороны равенства.

$\log _{b}(b^{mr})=\log _{b}(x^{r})$

Левую часть равенства можно упростить, используя закон логарифма, который гласит, что $\log _{b}(b^{mr})=mr$.

$mr=\log _{b}(x^{r})$

Подставив исходное значение на $m$, перестановка и упрощение дает

${\begin{aligned}\left(\log _{b}(x)\right)r&=\log _{b}(x^{r})\\r\log _{b}(x)&=\log _{b}(x^{r})\\\log _{b}(x^{r})&=r\log _{b}(x)\end{aligned}}$

На этом вывод завершен.

Изменение базы

Чтобы формально сформулировать формулу замены базового логарифма:

$$\forall a,b\in \mathbb {R} _{+},a,b\neq 1,\forall x\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}$$

Это тождество полезно для вычисления логарифмов на калькуляторах. Например, в большинстве калькуляторов есть кнопки для ln и log ₁₀ , но не во всех калькуляторах есть кнопки для логарифма произвольного основания.

Доказательство/вывод

Позволять $a,b\in \mathbb {R} _{+}$, где $a,b\neq 1$ Позволять $x\in \mathbb {R} _{+}$. Здесь, $a$ и $b$ — это два основания, которые мы будем использовать для логарифмов. Они не могут быть равны 1, потому что функция логарифма нечетко определена для основания 1. Число $x$ будет то, что оценивает логарифм, поэтому оно должно быть положительным числом. Поскольку мы будем иметь дело с термином $\log _{b}(x)$ довольно часто мы определяем его как новую переменную: Пусть $m=\log _{b}(x)$.

Чтобы упростить манипулирование выражением, его можно переписать в виде экспоненты.

$$b^{m}=x$$

Применение $\log _{a}$ в обе стороны равенства,

$$\log _{a}(b^{m})=\log _{a}(x)$$

Теперь, используя логарифм степенного свойства, которое гласит, что $\log _{a}(b^{m})=m\log _{a}(b)$,

$$m\log _{a}(b)=\log _{a}(x)$$

изоляция $m$, мы получаем следующее:

$$m={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}$$

Замена $m=\log _{b}(x)$ обратно в уравнение,

$$\log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}$$

Это завершает доказательство того, что $\log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}$.

Эта формула имеет несколько следствий:

$$\log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}$$

$$\log _{b^{n}}a={\log _{b}a \over n}$$

$$b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}$$

$$-\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1/b}a$$

$$\log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},$$

где ${\textstyle \pi }$ — это любая перестановка индексов 1, ..., n . Например

$$\log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.$$

Суммирование/вычитание

Следующее правило суммирования/вычитания особенно полезно в теории вероятностей , когда мы имеем дело с суммой логарифмических вероятностей:

$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)$	потому что	$\left(a+c\right)=a\times \left(1+{\frac {c}{a}}\right)$
$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)$	потому что	$\left(a-c\right)=a\times \left(1-{\frac {c}{a}}\right)$

Обратите внимание, что тождество вычитания не определено, если $a=c$, поскольку логарифм нуля не определен. Также обратите внимание, что при программировании $a$ и $c$ возможно, придется переключиться на правую часть уравнений, если $c\gg a$ чтобы не потерять цифру «1+» из-за ошибок округления. Многие языки программирования имеют специфические log1p(x) функция, которая вычисляет $\log _{e}(1+x)$ без нижнего перелива (когда $x$ небольшой).

В более общем плане:

$$\log _{b}\sum _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)$$

Экспоненты

Полезное тождество с показателями:

$$x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)$$

или более универсально:

$$x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a$$

Другие/результирующие личности

$${\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}+{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{xy}(a)$$

$${\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}-{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{\frac {x}{y}}(a)$$

Неравенства

На основании, и

${\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ for all }}{-1}<x$

${\begin{aligned}{\frac {2x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\[4pt]&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\[4pt]&{\text{ for }}0\leq x{\text{, reverse for }}{-1}<x\leq 0\end{aligned}}$

Все вокруг точны $x=0$, но не для больших чисел.

Исчисление тождеств

Ограничения

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}(x)=0\quad {\mbox{if }}b>0$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0$

Последний предел часто резюмируют как «логарифмы растут медленнее, чем любая степень или корень x ».

Производные логарифмических функций

${d \over dx}\ln x={1 \over x},x>0$

${d \over dx}\ln |x|={1 \over x},x\neq 0$

${d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a},x>0,a>0,{\text{ and }}a\neq 1$

Интегральное определение

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\ dt$

Сумма Римана

$\ln(n+1)=$

$\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{x_{i}}}\Delta x=$

$\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{1+{\frac {i-1}{k}}n}}\cdot {\frac {n}{k}}=$

$\lim _{k\to \infty }\sum _{x=1}^{k\cdot n}{\frac {1}{1+x/k}}\cdot {\frac {1}{k}}=$

$\lim _{k\to \infty }\sum _{x=1}^{k\cdot n}{\frac {1}{k+x}}=\lim _{k\to \infty }\sum _{x=k+1}^{k\cdot n+k}{\frac {1}{x}}=\lim _{k\to \infty }\sum _{x=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{x}}$

для $\Delta x=n/k$ и $x_{i}$ — это точка выборки в каждом интервале.

Представление серии

Натуральный логарифм $\ln(1+x)$ есть известная серия Тейлора расширение, сходящееся для $x$ в открытом-закрытом интервале $(-1,1]$:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{6}}{6}}+\cdots .$

В этом интервале для $x=1$, ряд сходится условно , а при всех остальных значениях сходится абсолютно . Для $x>1$ или $x\leq -1$, ряд не сходится к $\ln(1+x)$. В этих случаях для вычисления логарифма необходимо использовать разные представления или методы.

Разница

, нередко В высшей математике, особенно в аналитической теории чисел и асимптотическом анализе встречаются выражения, включающие разности или отношения чисел гармоник в масштабированных индексах. Тождество, включающее предельную разницу между числами гармоник в масштабированных индексах и ее связь с логарифмической функцией, представляет собой интригующий пример того, как дискретные последовательности могут асимптотически соотноситься с непрерывными функциями . Это тождество выражается как

$\lim _{k\to \infty }(H_{k(n+1)}-H_{k})=\ln(n+1)$

которое характеризует поведение чисел гармоник по мере их увеличения. Это приближение (которое в точности равно $\ln(n+1)$ в пределе) отражает то, как суммирование по возрастающим сегментам гармонического ряда проявляет интегральные свойства , давая представление о взаимодействии между дискретным и непрерывным анализом. Он также показывает, как понимание поведения сумм и рядов в больших масштабах может привести к глубоким выводам об их свойствах. Здесь $H_{k}$ обозначает $k$-й номер гармоники, определяемый как

$H_{k}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j}}$

Гармонические числа — это фундаментальная последовательность в теории чисел и анализе, известная своим логарифмическим ростом. Этот результат использует тот факт, что сумма обратных целых чисел (т.е. гармонических чисел) может быть точно аппроксимирована функцией натурального логарифма плюс константа , особенно при расширении на большие интервалы. Как $k$ стремится к бесконечности, разница между номерами гармоник $H_{k(n+1)}$ и $H_{k}$ сходится к ненулевому значению. Эта устойчивая ненулевая разница, $\ln(n+1)$, исключает возможность приближения гармонического ряда к конечному пределу, обеспечивая тем самым четкое математическое выражение его расхождения. Техника аппроксимации сумм интегралами (в частности, с использованием интегрального теста или аппроксимации прямым интегралом) имеет основополагающее значение для получения таких результатов. Эта конкретная идентичность может быть следствием этих приближений, учитывая:

$\sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}\approx \int _{k}^{k(n+1)}{\frac {dx}{x}}$

предела

Предел исследует рост числа гармоник, когда индексы умножаются на масштабный коэффициент, а затем дифференцируются. Он специально фиксирует сумму из $k+1$ к $k(n+1)$:

$H_{k(n+1)}-H_{k}=\sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}$

Это можно оценить с помощью интегрального теста на сходимость или, более непосредственно, сравнив его с интегралом от $1/x$ от $k$ к $k(n+1)$:

$\lim _{k\to \infty }\sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}=\int _{k}^{k(n+1)}{\frac {dx}{x}}=\ln(k(n+1))-\ln(k)=\ln \left({\frac {k(n+1)}{k}}\right)=\ln(n+1)$

Поскольку нижняя граница окна начинается с $k+1$ а верхняя граница распространяется на $k(n+1)$, оба из которых стремятся к бесконечности, поскольку $k\to \infty$Окно суммирования охватывает все более обширную часть наименьших возможных членов гармонического ряда (с астрономически большими знаменателями), создавая дискретную сумму, которая простирается до бесконечности, что отражает то, как непрерывные интегралы накапливают значение при бесконечно мелком разбиении области. . В пределе интервал фактически составляет от $1$ к $n+1$ где начало $k$ подразумевает эту минимально дискретную область.

Формула двойной серии

гармоник Формула разности чисел для $\ln(m)$ это расширение классической альтернативной идентичности $\ln(2)$:

$\ln(2)=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)$

который можно обобщить как двойной ряд остаткам по $m$:

$\ln(m)=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }\left({\frac {1}{x-r}}-{\frac {1}{x}}\right)=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }{\frac {r}{x(x-r)}}$

где $\langle m\rangle$ является принципиальным идеалом, порожденным $m$. Вычитание $\textstyle {\frac {1}{x}}$ с каждого семестра $\textstyle {\frac {1}{x-r}}$ (т. е. балансировка каждого члена по модулю) уменьшает величину вклада каждого члена, обеспечивая сходимость , контролируя тенденцию ряда к расхождению, как $m$ увеличивается. Например:

$\ln(4)=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n}}\right)$

Этот метод использует мелкие различия между тесно связанными терминами для стабилизации ряда. Сумма по всем остаткам $r\in \mathbb {N}$ гарантирует, что корректировки равномерно применяются ко всем возможным смещениям в каждом блоке $m$ условия. Это равномерное распределение «коррекции» по разным интервалам, определяемое $x-r$ действует аналогично телескопированию очень большой последовательности. Это помогает сгладить несоответствия, которые в противном случае могли бы привести к расходящему поведению в прямом гармоническом ряду.

Доказательство Девечи

Принципиальной особенностью доказательства является накопление вычитаемых $\textstyle {\frac {1}{x}}$ на единичную дробь, то есть $\textstyle {\frac {m}{x}}={\frac {1}{n}}$ для $m\mid x$, таким образом $m=\omega +1$ скорее, чем $m=|\mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} |$, экстремумы где $\mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N}$ являются $[0,\omega ]$ если $\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}$ и $[1,\omega ]$ в противном случае , с минимумом $0$ в последнем случае является неявным из-за структурных требований доказательства. Поскольку мощность ​ $\mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N}$ зависит от выбора одного из двух возможных минимумов, интеграл $\textstyle \int {\frac {1}{t}}dt$, как теоретико-множественная процедура, является функцией максимума $\omega$ (который остается неизменным в обеих интерпретациях) плюс $1$, а не мощность (что неоднозначно из-за различных определений минимума). В то время как разность чисел гармоник вычисляет интеграл в глобальном скользящем окне, двойная серия параллельно вычисляет сумму в локальном скользящем окне — сдвиге $m$-tuple — по гармоническому ряду, сдвигая окно на $m$ позиции для выбора следующего $m$-tuple и смещая каждый элемент каждого кортежа на $\textstyle {\frac {1}{m}}$ относительно абсолютного положения окна. Сумма $\textstyle \sum _{n=1}^{k}\sum {\frac {1}{x-r}}$ соответствует $H_{km}$ который масштабируется $H_{m}$ без ограничений. Сумма $\textstyle \sum _{n=1}^{k}-{\frac {1}{n}}$ соответствует префиксу $H_{k}$ вырезается из серии, чтобы установить движущуюся нижнюю границу окна $k+1$, и $\ln(m)$ — это предел скользящего окна (масштабированное, усеченное ряд):

$\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=1}^{\omega }\left({\frac {1}{mn-r}}-{\frac {1}{mn}}\right)=\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=0}^{\omega }\left({\frac {1}{mn-r}}-{\frac {1}{mn}}\right)$

$=\sum _{n=1}^{k}\left(-{\frac {1}{n}}+\sum _{r=0}^{\omega }{\frac {1}{mn-r}}\right)$

$=-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=0}^{\omega }{\frac {1}{mn-r}}$

$=-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=0}^{\omega }{\frac {1}{(n-1)m+m-r}}$

$=-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{(n-1)m+j}}$

$=-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\left(H_{nm}-H_{m(n-1)}\right)$

$=-H_{k}+H_{mk}$

$\lim _{k\to \infty }=H_{km}-H_{k}=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }\left({\frac {1}{x-r}}-{\frac {1}{x}}\right)=\ln(\omega +1)=\ln(m)$

Интегралы от логарифмических функций

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x(\ln x-1)}{\ln a}}+C$

Чтобы запомнить высшие интегралы, удобно определить

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

где $H_{n}$ это н ^й номер гармоники :

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}$

Затем

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$

Аппроксимация больших чисел

Тождества логарифмов можно использовать для аппроксимации больших чисел. Обратите внимание, что log _b ( a ) + log _b ( c ) = log _b ( ac ) , где a , b и c — произвольные константы. Предположим, что кто-то хочет аппроксимировать 44-е простое число Мерсенна , 2 ^32,582,657 −1 . Чтобы получить логарифм по основанию 10, мы должны умножить 32 582 657 на log ₁₀ (2) , получив 9 808 357,09543 = 9 808 357 + 0,09543 . Тогда мы можем получить 10 ^9,808,357 × 10 ^0.09543 ≈ 1.25 × 10 ^9,808,357 .

Точно так же факториалы можно аппроксимировать путем суммирования логарифмов членов.

Комплексные логарифмические тождества

Комплексный логарифм — это комплексный аналог функции логарифма. Ни одна однозначная функция на комплексной плоскости не может удовлетворять обычным правилам логарифмирования. Однако можно определить многозначную функцию , удовлетворяющую большинству тождеств. Обычно это рассматривают как функцию, определенную на римановой поверхности . Можно определить однозначную версию, называемую главным значением логарифма, которая является разрывной на отрицательной оси x и равна многозначной версии на одном разрезе .

Определения

Далее для главного значения функции используется заглавная первая буква, а для многозначной функции — строчная. Сначала всегда приводится однозначная версия определений и идентификаторов, а затем отдельный раздел для многозначных версий.

• ln( r ) — стандартный натуральный логарифм действительного числа r .
• Arg( z ) — главное значение функции arg ; его значение ограничено (− π , π ] . Его можно вычислить с помощью Arg( x + iy ) = atan2 ( y , x ) .
• Log( z ) — главное значение функции комплексного логарифма и имеет мнимую часть в диапазоне (− π , π ] .
• $\operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)$
• $e^{\operatorname {Log} (z)}=z$

Многозначная версия log( z ) представляет собой набор, но ее легче писать без фигурных скобок, и ее использование в формулах следует очевидным правилам.

• log( z ) — это набор комплексных чисел v, которые удовлетворяют e ^v = г
• arg( z ) — это набор возможных значений функции arg, примененной к z .

Когда k — любое целое число:

$\log(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)$

$\log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik$

$e^{\log(z)}=z$

Константы

Основные формы стоимости:

$\operatorname {Log} (1)=0$

$\operatorname {Log} (e)=1$

Формы нескольких значений для любого k — целого числа:

$\log(1)=0+2\pi ik$

$\log(e)=1+2\pi ik$

Суммирование

Основные формы стоимости:

$\operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

$\operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g., }}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z_{2}>0)$

$\operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

$\operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g., }}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z_{2}>0)$

Несколько форм значений:

$\log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})$

$\log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})$

Полномочия

Комплексная степень комплексного числа может иметь множество возможных значений.

Форма основного значения:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}$

$\operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}$

Несколько форм значений:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}$

Где k ₁ , k ₂ — любые целые числа:

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}$

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}$

См. также

• Список формул, включающих π
• Список интегралов логарифмических функций
• Список математических тождеств
• Списки тем по математике
• Список тригонометрических тождеств - Равенства, в которых участвуют тригонометрические функции.

Внешние ссылки

• Урок по логарифмам можно найти в Викиверситете.
• Логарифм в Mathwords