Геометрическое стандартное отклонение

В теории вероятностей и статистике геометрическое стандартное отклонение ( GSD ) описывает, как распределен набор чисел, предпочтительным средним значением которых является среднее геометрическое . Для таких данных его можно предпочесть более обычному стандартному отклонению . Обратите внимание, что в отличие от обычного арифметического стандартного отклонения, геометрическое стандартное отклонение является мультипликативным коэффициентом и, следовательно, является безразмерным , а не имеет ту же размерность , что и входные значения. Таким образом, геометрическое стандартное отклонение правильнее называть геометрическим коэффициентом SD . При использовании коэффициента геометрического стандартного отклонения в сочетании со средним геометрическим его следует описывать как «диапазон от (среднее геометрическое, деленное на коэффициент геометрического отклонения) до (среднее геометрическое, умноженное на коэффициент геометрического отклонения), и нельзя складывать/вычитать «геометрический коэффициент стандартного отклонения» в/из среднего геометрического.

Определение

Если среднее геометрическое набора чисел ${\textstyle {A_{1},A_{2},...,A_{n}}}$ обозначается как ${\textstyle \mu _{\mathrm {g} }}$, то геометрическое стандартное отклонение равно

$$\sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.$$

Вывод

Если среднее геометрическое

$$\mu _{\mathrm {g} }={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}$$

тогда взятие натурального логарифма обеих частей приводит к

$$\ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).$$

Логарифм произведения представляет собой сумму логарифмов (при условии, что ${\textstyle A_{i}}$ позитивен для всех ${\textstyle i}$), так

$$\ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\left[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}\right].$$

Теперь можно увидеть, что $\ln \mu _{\mathrm {g} }$ среднее арифметическое множества $\{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}$, поэтому стандартное арифметическое отклонение этого же набора должно быть равно

$$\ln \sigma _{\mathrm {g} }={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{\mathrm {g} })^{2}}}\,.$$

Это упрощает

$$\sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.$$

Стандартная геометрическая оценка

Геометрическая версия стандартной оценки :

$$z={{\ln x-\ln \mu _{\mathrm {g} }} \over \ln \sigma _{\mathrm {g} }}=\log _{\sigma _{\mathrm {g} }}\left({x \over \mu _{\mathrm {g} }}\right).$$

Если известно среднее геометрическое, стандартное отклонение и z-показатель данных, то необработанный показатель можно восстановить с помощью

$$x=\mu _{\mathrm {g} }{\sigma _{\mathrm {g} }}^{z}.$$

Связь с логнормальным распределением

Геометрическое стандартное отклонение используется как мера логнормальной дисперсии аналогично среднему геометрическому. Поскольку лог-преобразование логарифмически нормального распределения приводит к нормальному распределению, мы видим, чтогеометрическое стандартное отклонение — это возведенное в степень значение стандартного отклонения логарифмически преобразованных значений, т.е. $\sigma _{\mathrm {g} }=\exp(\operatorname {stdev} (\ln A))$.

Таким образом, среднее геометрическое и стандартное геометрическое отклонение выборкиданные из логарифмически нормально распределенной совокупности могут использоваться для определения границ доверительных интервалов аналогично тому, как среднее арифметическое и стандартное отклонение используются для определения доверительных интервалов для нормального распределения. смотрите в обсуждении логнормального распределения Подробности .

Внешние ссылки

• Сайт неньютоновского исчисления