Четырехугольник

Эта статья о четырехсторонних математических фигурах. Чтобы узнать о других значениях, см. Четырехугольник (значения) .

«Тетрагон» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о съедобном растении, см. Tetragonia Tetragonioides .

Четырехугольник
Некоторые виды четырехугольников
Ребра и вершины	4
Символ Шлефли	{4} (для квадрата)
Область	различные методы; см. ниже
Внутренний угол ( градусы )	90° (для квадрата и прямоугольника)

В геометрии четырехугольник — это четырехсторонний многоугольник , имеющий четыре ребра (стороны) и четыре угла (вершины). Это слово происходит от латинских слов « квадри» (вариант слова «четыре») и «latus» , что означает «сторона». Его также называют тетрагоном , производным от греческого «tetra», означающего «четыре», и «gon», означающего «угол» или «угол», по аналогии с другими многоугольниками (например, пятиугольником ). Поскольку «гон» означает «угол», его по аналогии называют четырехугольником или четырехугольником. Четырехугольник с вершинами $A$, $B$, $C$ и $D$ иногда обозначается как $\square ABCD$.

Четырехугольники бывают простыми (не самопересекающимися) или сложными (самопересекающимися или скрещенными). Простые четырехугольники бывают выпуклыми или вогнутыми .

Внутренние углы простого (и плоского ) четырехугольника ABCD в сумме составляют 360 градусов дуги , то есть

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$

Это частный случай формулы суммы внутренних углов n -угольника: S = ( n - 2) × 180 °.

Все несамопересекающиеся четырехугольники замостили плоскость путем многократного вращения вокруг середин своих ребер.

Простые четырехугольники

Любой четырехугольник, не являющийся самопересекающимся, является простым четырехугольником.

Выпуклый четырехугольник

Диаграмма Эйлера некоторых типов простых четырехугольников. (UK) обозначает британский английский, а (US) — американский английский.

Выпуклые четырехугольники по симметрии, изображенные диаграммой Хассе .

В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

• Неправильный четырехугольник ( британский английский ) или трапеция ( североамериканский английский ): ни одна сторона не является параллельной. (В британском английском это когда-то называлось трапецией . Дополнительную информацию см. в разделе «Трапеция § Трапеция против трапеции» .)
• Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельна . Трапеция (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
• Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельны, а углы при основании равны по мере. Альтернативные определения - это четырехугольник с осью симметрии, делящей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
• Параллелограмм : четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия заключаются в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам. К параллелограммам относятся ромбы (в том числе прямоугольники, называемые квадратами) и ромбоиды (в том числе прямоугольники, называемые продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбоиды, а значит, и все прямоугольники.
• Ромб , ромб: все четыре стороны имеют одинаковую длину (равносторонние). Эквивалентное условие состоит в том, что диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неофициально: «передвинутый квадрат» (но строго включая и квадрат).
• Ромбовидный : параллелограмм, у которого смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы являются косыми (эквивалент, не имеющий прямых углов). Неофициально: «передвинутый продолговатый». Не все ссылки совпадают; некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом.
• Прямоугольник : все четыре угла прямые (равноугольные). Эквивалентным условием является то, что диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и прямоугольники. Неофициально: «коробочка или продолговатая форма» (в том числе квадратная).
• Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны имеют одинаковую длину (равносторонний), и все четыре угла являются прямыми. Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат — это параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (т. е. имеет четыре равные стороны и четыре равных угла).
• Продолговатый : длиннее ширины или шире длины (т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом).
• Кайт : две пары соседних сторон имеют одинаковую длину. Это означает, что одна диагональ делит змей на равные треугольники , и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере. Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбы.

• Касательный четырёхугольник : четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
• Тангенциальная трапеция : трапеция, четыре стороны которой касаются вписанной окружности .
• Циклический четырехугольник : четыре вершины лежат на описанной окружности . Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.
• Правый кайт : воздушный змей с двумя противоположными прямыми углами. Это тип вписанного четырехугольника.
• Гармонический четырехугольник : вписанный четырехугольник, у которого произведения длин противоположных сторон равны.
• Бицентрический четырехугольник : он одновременно тангенциальный и циклический.
• Ортодиагональный четырехугольник : диагонали пересекаются под прямым углом .
• Равнодиагональный четырехугольник : диагонали имеют одинаковую длину.
• Внекасательный четырехугольник : четыре продолжения сторон касаются вписанной окружности .
• Равный четырёхугольник имеет две противоположные равные стороны, которые в вытянутом состоянии сходятся под углом 60°.
• Четырехугольник Ватта — это четырехугольник, у которого пара противоположных сторон одинаковой длины.
• Четырехугольник четырехугольника — это выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата.
• — Диаметральный четырехугольник это вписанный в окружность четырехугольник, одна из сторон которого равна диаметру описанной окружности.
• Четырёхугольник Ельмслева — четырёхугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах.

Вогнутые четырехугольники

В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180°, а одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника.

• Дротик вогнутый (или наконечник стрелы) представляет собой четырехугольник с двусторонней симметрией, подобный воздушному змею, но у которого один внутренний угол является рефлекторным. См . Кайт .

Сложные четырехугольники

Антипараллелограмм

четырехугольник Самопересекающийся называется по-разному: перекрестным четырехугольником , скрещенным четырехугольником , бабочкой четырехугольником- или с галстуком-бабочкой четырехугольником . В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от пересечения (два острых и два рефлекторных , все слева или все справа, как показано на рисунке) в сумме составляют 720°.

• Перекрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): скрещенный четырехугольник, у которого одна пара несмежных сторон параллельна (как у трапеции ).
• Антипараллелограмм : перекрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как в параллелограмме ).
• Перекрещенный прямоугольник : антипараллелограмм, стороны которого представляют собой две противоположные стороны и две диагонали прямоугольника , следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон.
• Скрещенный квадрат : частный случай скрещенного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом.

Специальные сегменты линий

Две диагонали выпуклого четырехугольника — это отрезки , соединяющие противоположные вершины.

Две бимедианы выпуклого четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Они пересекаются в «центроиде вершины» четырехугольника (см . § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

Четыре высоты выпуклого четырехугольника представляют собой перпендикуляры к стороне, проходящие через середину противоположной стороны.

Площадь выпуклого четырехугольника

Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA .

Тригонометрические формулы

Площадь можно выразить в тригонометрических терминах как

$K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,$

где длины диагоналей равны p и q , а угол между ними равен θ . В случае ортодиагонального четырехугольника (например, ромба, квадрата и воздушного змея) эта формула сводится к $K={\tfrac {pq}{2}}$ поскольку θ равен 90° .

Площадь также можно выразить через бимедианы как

$K=mn\sin \varphi ,$

где длины бимедиан равны m и n , а угол между ними равен φ .

Формула Бретшнейдера выражает площадь через стороны и два противоположных угла:

${\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{aligned}}$

где стороны по порядку — a , b , c , d , где s — полупериметр, а A и C — два (фактически любые два) противоположных угла. Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, когда A + C = 180 ° .

Другая формула площади, выражающая стороны и углы, где угол C находится между сторонами b и c , а угол A — между сторонами a и d :

$K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.$

В случае вписанного четырехугольника последняя формула принимает вид $K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.$

В параллелограмме, у которого обе пары противоположных сторон и углов равны, эта формула сводится к $K=ab\cdot \sin {A}.$

В качестве альтернативы мы можем записать площадь через стороны и угол пересечения θ диагоналей , если θ не равен 90 ° :

$K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.$

В случае параллелограмма последняя формула принимает вид $K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.$

Другая формула площади, включающая стороны a , b , c , d :

$K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }$

где x — расстояние между серединами диагоналей, а φ — угол между бимедианами .

Последняя формула тригонометрической площади, включающая стороны a , b , c , d и угол α (между a и b ):

$K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},$

который также можно использовать для определения площади вогнутого четырехугольника (имеющего вогнутую часть, противоположную углу α ), просто изменив первый знак + на - .

Нетригонометрические формулы

Следующие две формулы выражают площадь через стороны a , b , c и d , полупериметр s и диагонали p , q :

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},$

$K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.$

Первый сводится к формуле Брахмагупты в случае циклического четырехугольника, поскольку тогда pq = ac + bd .

Площадь также можно выразить через бимедианы m , n и диагонали p , q :

$K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},$

$K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.$

Фактически, любых трех из четырех значений m , n , p и q достаточно для определения площади, поскольку в любом четырехугольнике четыре значения связаны соотношением $p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).$ Соответствующие выражения:

$K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},$

если заданы длины двух бимедиан и одной диагонали, и

$K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},$

если заданы длины двух диагоналей и одной бимедианы.

Векторные формулы

Площадь четырехугольника ABCD можно вычислить с помощью векторов . Пусть векторы AC и BD образуют диагонали от до C и от B до D. A Тогда площадь четырехугольника равна

$K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,$

что составляет половину величины векторного произведения векторов AC и BD . В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор AC как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x ₁ , y ₁ ) и BD как ( x ₂ , y ₂ ) , это можно переписать как:

$K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.$

Диагонали

Свойства диагоналей в четырехугольниках

В следующей таблице указано, делят ли диагонали в некоторых из самых основных четырехугольников пополам друг друга, перпендикулярны ли их диагонали и имеют ли их диагонали одинаковую длину. Список применим к наиболее общим случаям и исключает именованные подмножества.

Четырехугольник	Биссектрисы диагоналей	Перпендикулярные диагонали	Равные диагонали
Трапеция	Нет	См. примечание 1.	Нет
Равнобедренная трапеция	Нет	См. примечание 1.	Да
Параллелограмм	Да	Нет	Нет
Видеть	См. примечание 2.	Да	См. примечание 2.
Прямоугольник	Да	Нет	Да
Ромб	Да	Да	Нет
Квадрат	Да	Да	Да

• Примечание 1. Наиболее распространенные трапеции и равнобедренные трапеции не имеют перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (непохожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не являются какими-либо другими названными четырехугольниками.
• Примечание 2: В воздушном змее одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (непохожих) воздушных змеев, у которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются какими-либо другими названными четырехугольниками).

Длины диагоналей

Длины диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD можно вычислить, используя закон косинусов в каждом треугольнике, образованном одной диагональю и двумя сторонами четырехугольника. Таким образом

$p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}$

и

$q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.$

Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей:

$p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}$

и

$q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.$

Обобщения закона параллелограмма и теоремы Птолемея.

В любом выпуклом четырехугольнике ABCD сумма квадратов четырех сторон равна сумме квадратов двух диагоналей плюс четырехкратный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей. Таким образом

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}$

где x — расстояние между серединами диагоналей. Это иногда называют теоремой Эйлера о четырехугольниках и является обобщением закона параллелограмма .

Немецкий математик Карл Антон Бретшнейдер вывел в 1842 году следующее обобщение теоремы Птолемея относительно произведения диагоналей в выпуклом четырехугольнике.

$p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.$

Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов четырехугольника. В вписанном четырёхугольнике , где A + C = 180°, оно сводится к pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

Другие метрические отношения

Если X и Y — основания нормалей B и D к диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , то

$XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.$

В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA и диагонали пересекаются в точке E ,

$efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)$

где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE .

Форма и размеры выпуклого четырехугольника полностью определяются длинами его последовательных сторон и одной диагонали между двумя заданными вершинами. Две диагонали p, q и длины четырех сторон a, b, c, d четырехугольника связаны между собой. определителем -Менгера Кэли следующим образом:

$\det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.$

Биссектрисы угла

Биссектрисы внутреннего угла выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник. (то есть четыре точки пересечения соседних биссектрис соприкасаются ) или совпадают . В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником .

В четырехугольнике ABCD , если биссектрисы A C и диагонали пересекаются на диагонали BD , то биссектрисы B и D пересекаются на AC .

Бимедианы

Смотрите также: теорема Вариньона

Параллелограмм Вариньона EFGH.

Бимедианы четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Пересечение бимедиан является центроидом вершин четырехугольника.

Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма , называемого параллелограммом Вариньона . Он имеет следующие свойства:

• Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
• Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
• Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это справедливо для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит.
• Периметр . параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника
• Диагонали параллелограмма Вариньона являются бимедианами исходного четырехугольника.

Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, совпадают и делятся пополам точкой пересечения.

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c, равна

$m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}$

где p и q — длины диагоналей. Длина бимедианы, соединяющей середины сторон b и d, равна

$n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.$

Следовательно

$\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).$

Это также является следствием закона параллелограмма, примененного в параллелограмме Вариньона.

Длины бимедиан также можно выразить через две противоположные стороны и расстояние x между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольниках в приведенных выше формулах. Откуда

$m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}$

и

$n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.$

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах не являются двумя, которые соединяет бимедиана.

существует следующая двойственная связь: В выпуклом четырехугольнике между бимедианами и диагоналями

• Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны .
• Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Тригонометрические тождества

Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам:

$\sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+C)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+D)$

и

${\frac {\tan A\,\tan {B}-\tan C\,\tan D}{\tan A\,\tan C-\tan B\,\tan D}}={\frac {\tan(A+C)}{\tan(A+B)}}.$

Также,

${\frac {\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.$

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым , поскольку tan 90° не определен.

Позволять $a$, $b$, $c$, $d$ — стороны выпуклого четырехугольника, $s$ это полупериметр, и $A$ и $C$ противоположные углы, то

$ad\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}A+bc\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}C=(s-a)(s-d)$

и

$bc\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}C+ad\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}A=(s-b)(s-c)$.

Мы можем использовать эти тождества для вывода формулы Бретшнайдера .

Неравенства

Область

Если выпуклый четырехугольник имеет последовательные стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет условию

$K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$ с равенством только для прямоугольника .

$K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ с равенством только для квадрата .

$K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})$ с равенством только в том случае, если диагонали перпендикулярны и равны.

$K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}$ с равенством только для прямоугольника.

Из формулы Бретшнейдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет условию

$K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является вписанным или вырожденным, так что одна сторона равна сумме трех других (он сжался в отрезок , поэтому площадь равна нулю).

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству

$\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.$

Обозначая периметр как L , имеем

$K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},$

с равенством только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

$K\leq {\tfrac {1}{2}}pq$

для длин диагоналей p и q с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K и диагоналей AC = p , BD = q . Затем

$K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)$ с равенством только для квадрата.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K , тогда имеет место следующее неравенство:

$K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ с равенством только для квадрата.

Диагонали и бимедианы

Следствием теоремы Эйлера о четырехугольниках является неравенство

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом .

Эйлер также обобщил теорему Птолемея , которая представляет собой равенство в вписанном четырехугольнике , в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

$pq\leq ac+bd$

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный. Это часто называют неравенством Птолемея .

В любом выпуклом четырехугольнике бимедианы m, n и диагонали p, q связаны неравенством

$pq\leq m^{2}+n^{2},$

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда диагонали равны. Это следует непосредственно из четырехугольного тождества $m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).$

Стороны

Стороны a , b , c и d любого четырехугольника удовлетворяют условиям

$a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}$

и

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.$

Максимальные и минимальные свойства

Среди всех четырехугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат . Это называется изопериметрической теоремой для четырехугольников . Это прямое следствие неравенства площадей.

$K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}$

где K площадь выпуклого четырехугольника с периметром L. — Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Теорема двойственности утверждает, что из всех четырехугольников заданной площади квадрат имеет наименьший периметр.

Четырехугольник с заданными длинами сторон, имеющий максимальную площадь, является вписанным четырехугольником .

Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник . наибольшую площадь имеет Это прямое следствие того, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет равенству

$K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,$

где θ — угол между диагоналями p и q . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда θ = 90°.

Если P — внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

$AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.$

Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, минимизирующая сумму расстояний до вершин, является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника.

Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике.

Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» возникает из рассмотрения четырехугольника как пустого, но имеющего равные массы в вершинах. «Боковой центроид» возникает из-за того, что стороны имеют постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), возникает из-за того, что поверхность четырехугольника имеет постоянную плотность. Эти три пункта, как правило, не являются одним и тем же.

«Центроид вершины» — это пересечение двух бимедиан . в любом многоугольнике, координаты x и y центроида вершины являются средними арифметическими координатами x и y Как и вершин.

«Центр тяжести площади» четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G _a , G _b , G _c , G _d — центры тяжести треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда «центр тяжести площади» — это пересечение линий G _a G _c и G _b G _d .

В общем выпуклом четырехугольнике нет естественных аналогий центру описанной окружности и ортоцентру треугольника . ABCD Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O _a , Ob _b , O _c , O _d — центры описанных треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно; и обозначим через H _a , H _b , H _c , H _d ортоцентры в тех же треугольниках. Тогда пересечение прямых O _a O _c и O _b O _d называется квазицентром окружности , а пересечение прямых H _a H _c и H _b H _d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружной центр O лежат на одной прямой в этом порядке, и HG = 2 GO .

Также можно определить квазинижнеточечный центр E как пересечение прямых E _a E _c и E _b E _d , где E _a , E _b , E _c , E _d — девятиточечные центры треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда E — середина OH ​ .

Другой замечательной линией в выпуклом четырехугольнике, не являющемся параллелограммом, является линия Ньютона , которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центроидом вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона ) — это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центроидом вершины. Линия примечательна тем, что она содержит центр тяжести (площади). Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центроид (площади) в соотношении 3:1.

Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q пересечения AD и BC и AB и CD соответственно окружности (PAB), (PCD), (QAD) и (QBC) проходят через общую точку M , называемую Микелем. точка.

Для выпуклого четырехугольника ABCD, в котором E — точка пересечения диагоналей, а F — точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω — окружность, проходящая через E и F , которая пересекает CB внутри в точках M и DA внутри. у Н. ​Пусть CA снова встретит ω в точке L а DB снова встретит ω в точке K. , Тогда справедливо: прямые NK и ML пересекаются в точке Р , расположенной на стороне АВ ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , расположенной на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD .

Другие свойства выпуклых четырехугольников

• Пусть на всех сторонах четырёхугольника нарисованы внешние квадраты. Отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, а) равны по длине и (б) перпендикулярны . Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника . Это называется теоремой Ван Обеля .
• Для любого простого четырехугольника с заданными длинами ребер существует вписанный четырехугольник с такими же длинами ребер.
• Четыре меньших треугольника, образованных диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.

Таксономия

Таксономия четырехугольников с использованием диаграммы Хассе .

Иерархическая систематика четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы — это частные случаи высших классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что слово «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент — трапеция). Инклюзивные определения используются повсюду.

Перекос четырехугольников

См. также: Наклон многоугольника.

(Красные) боковые края тетрагонального дисфеноида представляют собой правильный зигзагообразный скошенный четырехугольник.

Неплоский четырехугольник называется косым четырехугольником . Формулы для расчета двугранных углов на основе длин ребер и угла между двумя соседними краями были выведены для изучения свойств молекул, таких как циклобутан , которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. Исторически термин «четырехугольник» также использовался для обозначения перекошенного четырехугольника. Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образует (возможно, неправильный) тетраэдр пара противоположных ребер , и наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, в котором удалена .

См. также

• Полный четырехугольник
• Построение перпендикулярной биссектрисы четырехугольника
• Четырехугольник Саккери
• Виды сетки § Четырехугольная
• Четырехугольник (география)
• Гомография . Любой четырехугольник можно преобразовать в другой четырехугольник с помощью проективного преобразования (гомографии).

Внешние ссылки

• «Четырехугольник полный» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Четырехугольники, образованные биссектрисами , проективная коллинеарность и интерактивная классификация четырехугольников с разрезанием узла
• Определения и примеры четырехугольников , а также Определение и свойства четырехугольников из Mathopenref.
• (Динамическое) иерархическое четырехугольное дерево в эскизах динамической геометрии
• Расширенная классификация четырехугольников. Архивировано 30 декабря 2019 г. на Wayback Machine на домашней странице Dynamic Math Learning. Архивировано 25 августа 2018 г. на Wayback Machine.
• Роль и функция иерархической классификации четырехугольников Майкла де Вильерса.