Построение перпендикулярной биссектрисы четырехугольника

В геометрии построение серединного перпендикуляра четырехугольника - это конструкция, которая создает новый четырехугольник из данного четырехугольника, используя серединные перпендикуляры к сторонам бывшего четырехугольника. Эта конструкция возникает естественным образом при попытке найти замену центра описанной окружности четырехугольника в нециклическом случае.

Определение конструкции

Предположим, вершины четырехугольника что $Q$ даны $Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}$. Позволять $b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ — серединные перпендикуляры сторон $Q_{1}Q_{2},Q_{2}Q_{3},Q_{3}Q_{4},Q_{4}Q_{1}$ соответственно. Тогда их пересечения $Q_{i}^{(2)}=b_{i+2}b_{i+3}$, с индексами, рассматриваемыми по модулю 4, образуют последовательный четырехугольник $Q^{(2)}$. Затем конструкция повторяется $Q^{(2)}$ производить $Q^{(3)}$ и так далее.

Первая итерация конструкции серединного перпендикуляра

Эквивалентную конструкцию можно получить, полагая вершины $Q^{(i+1)}$ — центры описанных окружностей 4 треугольников, образованных выбором комбинаций 3 вершин $Q^{(i)}$.

Характеристики

1. Если $Q^{(1)}$ не циклично, то $Q^{(2)}$ не является вырожденным.

2. Четырехугольник $Q^{(2)}$ никогда не бывает циклическим. Объединив №1 и №2, $Q^{(3)}$ всегда невырожден.

3. Четырехугольники $Q^{(1)}$ и $Q^{(3)}$ гомотетичны . и, в частности подобны , Четырехугольники $Q^{(2)}$ и $Q^{(4)}$ также гомотетичны.

3. Построение серединного перпендикуляра можно обратить вспять с помощью изогонального сопряжения . То есть, учитывая $Q^{(i+1)}$, можно построить $Q^{(i)}$.

4. Пусть $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ быть углами $Q^{(1)}$. Для каждого $i$, соотношение площадей $Q^{(i)}$ и $Q^{(i+1)}$ дается

$(1/4)(\cot(\alpha )+\cot(\gamma ))(\cot(\beta )+\cot(\delta )).$

5. Если $Q^{(1)}$ выпукла, то последовательность четырехугольников $Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots$ сходится к точке изоптической $Q^{(1)}$, которая также является изоптической точкой для каждого $Q^{(i)}$. Аналогично, если $Q^{(1)}$ вогнута, то последовательность $Q^{(1)},Q^{(0)},Q^{(-1)},\ldots$ полученная обращением конструкции, сходится к изоптической точке $Q^{(i)}$х.

6. Если $Q^{(1)}$ является касательной, тогда $Q^{(2)}$ также является тангенциальным.

Ссылки

• Дж. Лангр, Проблема E1050, Amer. Математика. Ежемесячно , 60 (1953) 551.
• В. В. Прасолов, Задачи плоской геометрии , вып. 1 (на русском языке), 1991; Задача 6.31.
• В. В. Прасолов, Задачи плоской и объемной геометрии , вып. 1 (перевод Д. Лейтеса)
• Д. Беннетт, Динамическая геометрия возобновляет интерес к старой проблеме, в «Geometry Turned On» (под ред. Дж. Кинга), MAA Notes 41, 1997, стр. 25–28.
• Дж. Кинг, Четырехугольники, образованные биссектрисами, в журнале Geometry Turned On (под ред. Дж. Кинга), MAA Notes 41, 1997, стр. 29–32.
• Г. К. Шепард, Построение серединного перпендикуляра, Геом. Дедиката , 56 (1995) 75–84.
• А. Богомольный , Четырехугольники, образованные биссектрисами, Интерактивные математические сборники и головоломки , http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml .
• Б. Грюнбаум, О четырехугольниках, полученных из четырехугольников - Часть 3, Geombinatorics 7 (1998), 88–94.
• О. Радко и Э. Цукерман, Построение перпендикулярной биссектрисы, изоптическая точка и линия Симсона четырехугольника, Forum Geometricorum 12 : 161–189 (2012).

Внешние ссылки

• Перпендикуляр-биссектрисы описанной теоремы четырехугольника в эскизах динамической геометрии , интерактивные эскизы динамической геометрии.