Окружность центра массы

В геометрии описанный центр масс — это центр, связанный с многоугольником , который разделяет многие свойства центра масс . В более общем смысле, центр описанной окружности массы может быть определен для симплициальных многогранников , а также для сферической и гиперболической геометрии.

В частном случае, когда многогранник представляет собой четырехугольник или шестиугольник , центр описанной окружности массы назывался «квазицентром окружности» и использовался для определения линии Эйлера четырехугольника. Центр масс позволяет нам определить линию Эйлера для симплициальных многогранников.

Определение в плоскости

Позволять $P$ быть ориентированным многоугольником (с вершинами, отсчитываемыми контрциклически) на плоскости с вершинами $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}$ и пусть $O$ — произвольная точка, не лежащая на сторонах (или их продолжениях ). Рассмотрим триангуляцию $P$ ориентированными треугольниками $OV_{i}V_{i+1}$ (индекс $i$ рассматривается по модулю $n$). Сопоставьте каждому из этих треугольников его центр описанной окружности. $C_{i}$ с весом, равным его ориентированной площади (положительный, если его последовательность вершин контрциклична; отрицательный в противном случае). Описанный центр массы $P$ является центром масс этих взвешенных окружностей. Результат не зависит от выбора точки $O$.

Описанный центр массы многоугольника.

Характеристики

В частном случае, когда многоугольник циклический , центр масс описанной окружности совпадает с центром описанной окружности .

Центр массы описанной окружности удовлетворяет аналогу леммы Архимеда, которая гласит, что если многоугольник разложить на два меньших многоугольника, то центр описанной массы этого многоугольника представляет собой взвешенную сумму центров масс двух меньших многоугольников. Как следствие, любая триангуляция с невырожденными треугольниками может использоваться для определения центра описанной окружности массы.

У равностороннего многоугольника центр масс и центр масс совпадают. В более общем смысле, центр масс описанной окружности и центр масс совпадают для симплициального многогранника, для которого каждая грань имеет константу суммы квадратов его ребер.

Центр масс инвариантен относительно операции «перекройки» многоугольников. и преобразование дискретного велосипеда (Дарбу); другими словами, изображение многоугольника при этих операциях имеет тот же центр массы, что и исходный многоугольник. Обобщенная линия Эйлера встречается и в теории интегрируемых систем.

Позволять $V_{i}=(x_{i},y_{i})$ быть вершинами $P$ и пусть $A$ обозначим его площадь. Окружность центра массы $CCM(P)$ многоугольника $P$ определяется формулой

$CCM(P)={\frac {1}{4A}}(\sum _{i=0}^{n-1}-y_{i}y_{i+1}^{2}+y_{i}^{2}y_{i+1}+x_{i}^{2}y_{i+1}-x_{i+1}^{2}y_{i},\sum _{i=0}^{n-1}-x_{i+1}y_{i}^{2}+x_{i}y_{i+1}^{2}+x_{i}x_{i+1}^{2}-x_{i}^{2}x_{i+1}).$

Центр массы описанной окружности можно расширить до гладких кривых с помощью предельной процедуры. Этот непрерывный предел совпадает с центром масс однородной пластинки , ограниченной кривой.

При естественных предположениях центры многоугольников, удовлетворяющих лемме Архимеда, являются в точности точками его линии Эйлера. Другими словами, единственные «хорошие» центры, удовлетворяющие лемме Архимеда, — это аффинные комбинации описанного центра масс и центра масс.

Обобщенная линия Эйлера

Центр массы описанной окружности позволяет линию Эйлера определить для любого многоугольника (и, в более общем смысле, для симплициального многогранника). Эта обобщенная линия Эйлера определяется как аффинная оболочка центра масс и центра масс многогранника.

См. также

• Вокруг центра
• Описанная сфера