Аксиома счетного выбора

Каждое множество в счетной последовательности множеств (S _i ) = S ₁ , S ₂ , S ₃ , ... содержит ненулевое и, возможно, бесконечное (или даже несчетно бесконечное ) количество элементов. Аксиома счетного выбора позволяет нам произвольно выбирать один элемент из каждого множества, образуя соответствующую последовательность элементов ( x _i ) = x ₁ , x ₂ , x ₃ ,...

Аксиома счетного выбора или аксиома счетного выбора , обозначаемая AC _ω , является аксиомой , теории множеств которая утверждает, что каждая счетная коллекция непустых множеств должна иметь функцию выбора . То есть, учитывая функцию $A$ с доменом $\mathbb {N}$ (где $\mathbb {N}$ обозначает множество натуральных чисел ) таких, что $A(n)$ непустое множество для каждого $n\in \mathbb {N}$, существует функция $f$ с доменом $\mathbb {N}$ такой, что $f(n)\in A(n)$ для каждого $n\in \mathbb {N}$.

Приложения

AC _ω особенно полезен для развития математического анализа , где многие результаты зависят от наличия функции выбора для счетного набора наборов действительных чисел . Например, чтобы доказать, что каждая точка накопления $x$ из набора $S\subseteq \mathbb {R}$ является пределом некоторой последовательности элементов $S\setminus \{x\}$, нужна (слабая форма) аксиома счетного выбора. При формулировке для точек накопления произвольных метрических пространств утверждение становится эквивалентным AC _ω .

Возможность выполнять анализ с использованием счетного выбора привела к включению AC _ω в качестве аксиомы в некоторые формы конструктивной математики , несмотря на утверждение, что функция выбора существует без ее построения.

Пример: бесконечность подразумевает дедекинд-бесконечность

В качестве примера применения AC _ω приведем доказательство (из ZF + AC _ω ), что каждое бесконечное множество является дедекиндовым:

Позволять $X$ быть бесконечным. Для каждого натурального числа $n$, позволять $A_{n}$ быть набором всех $n$-кортежи различных элементов $X$. С $X$ бесконечно, каждый $A_{n}$ непусто. Применение AC _ω дает последовательность $(B_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ где каждый $B_{n}$ это $n$-кортеж. Затем можно объединить эти кортежи в одну последовательность. $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ элементов $X$, возможно, с повторяющимися элементами. Подавление повторений создает последовательность $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ отдельных элементов, где

$c_{n}=b_{k}$, с $k=\min\{i\mid \forall _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}$.

Этот $i$ существует, потому что при выборе $c_{n}$ невозможно для всех элементов $B_{n+1}$ быть среди $n$ выбранные ранее элементы. Так $X$ содержит счетное множество. Функция, которая отображает каждый $c_{n}$ к $c_{n+1}$ (и оставляет все остальные элементы $X$ фиксированный) представляет собой взаимно однозначное отображение из $X$ в $X$ что не на, доказывая, что $X$ является дедекинд-бесконечным.

Связь с другими аксиомами

и независимые

Аксиома счетного выбора (AC _ω ) строго слабее аксиомы зависимого выбора (DC): которая, в свою очередь, слабее аксиомы выбора (AC). DC, а, следовательно, и AC _ω , выполняются в модели Соловея , построенной в 1970 году Робертом М. Соловеем как модель теории множеств без полной аксиомы выбора, в которой все множества действительных чисел измеримы.

Лемма Урысона (UL) и теорема расширения Титце (TET) не зависят от ZF+AC _ω : существуют модели ZF+AC _ω, в которых UL и TET истинны, и модели, в которых они ложны. И UL, и TET подразумеваются DC.

системы

Пол Коэн показал, что AC _ω недоказуема в теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) без аксиомы выбора. Однако можно доказать, что некоторые счетные бесконечные множества непустых множеств имеют функцию выбора в ZF без какой-либо формы аксиомы выбора. Например, $V_{\omega }\setminus \{\emptyset \}$ имеет функцию выбора, где $V_{\omega }$ — множество наследственно конечных множеств , т.е. первое множество во вселенной фон Неймана неконечного ранга. Функция выбора (тривиально) является наименьшим элементом в хорошем порядке. Другой пример — набор правильных и ограниченных открытых интервалов действительных чисел с рациональными концами.

ZF+AC _ω достаточно, чтобы доказать, что объединение счетного числа счетных множеств счетно. Эти утверждения не эквивалентны: дает Первая модель Коэна пример, когда счетные объединения счетных множеств счетны, но AC _ω не выполняется.

Эквивалентные формы

Существует множество эквивалентных форм аксиомы счетного выбора в том смысле, что любая из них может быть доказана в ZF, предполагая любую другую из них. Они включают в себя следующее:

• Любая счетная совокупность непустых множеств имеет функцию выбора.
• Каждая бесконечная коллекция непустых множеств имеет бесконечную подколлекцию с функцией выбора.
• Каждый σ-компакт (объединение счетного числа компактов ) является пространством Линделефа (всякое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие). Метрическое пространство является σ-компактным тогда и только тогда, когда оно линделёфово.
• Каждое второе счетное пространство (оно имеет счетную базу открытых множеств) является сепарабельным пространством (оно имеет счетное плотное подмножество). Метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно σ-компактно.
• Любая секвенциально непрерывная вещественная функция в метрическом пространстве является непрерывной функцией .
• Каждая точка накопления подмножества метрического пространства является пределом последовательности точек из этого подмножества.
• Лемма Расёвы –Сикорского MA. $(\aleph _{0})$, счетная форма аксиомы Мартина : в предварительном порядке с условием счетной цепи каждое счетное семейство плотных подмножеств имеет фильтр, пересекающий все подмножества. (В этом контексте набор называется плотным, если каждый элемент предпорядка имеет нижнюю границу в наборе.)

Ссылки

Эта статья включает в себя материал из аксиомы исчисляемого выбора на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .