Функционал Минковского

В математике , в области функционального анализа , функционал Минковского (в честь Германа Минковского ) или калибровочная функция — это функция, которая восстанавливает понятие расстояния в линейном пространстве.

Если $K$ является подмножеством вещественного или комплексного векторного пространства $X,$ тогда Минковского или калибровка функционал $K$ определяется как функция $p_{K}:X\to [0,\infty ],$ оценивается в расширенных действительных числах , определяемых $$p_{K}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\}\quad {\text{ for every }}x\in X,$$где нижняя грань пустого множества определяется как положительная бесконечность $\,\infty \,$ (которое не является действительным числом, так что $p_{K}(x)$ тогда не будет иметь реальной стоимости).

Набор $K$ часто предполагается/выбирается так, чтобы он обладал свойствами, например, поглощающим диском в $X,$ которые гарантируют, что $p_{K}$ будет вещественной полунормой на $X.$ Фактически каждая полунорма $p$ на $X$ равен функционалу Минковского (т.е. $p=p_{K}$) любого подмножества $K$ из $X$ удовлетворяющий $\{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}$ (где все три множества обязательно поглощают $X$ и первый и последний тоже диски).

Таким образом, каждой полунорме (которая представляет собой функцию, определяемую чисто алгебраическими свойствами) можно сопоставить (неоднозначно) поглощающий диск (который представляет собой множество с определенными геометрическими свойствами) и, наоборот, каждому поглощающему диску можно сопоставить свой функционал Минковского ( что обязательно будет полунормой). Эти взаимосвязи между полунормами, функционалами Минковского и поглощающими дисками являются основной причиной, по которой функционалы Минковского изучаются и используются в функциональном анализе. В частности, посредством этих отношений функционалы Минковского позволяют «переводить» определенные геометрические свойства подмножества $X$ в некоторые алгебраические свойства функции на $X.$

Функция Минковского всегда неотрицательна (т.е. $p_{K}\geq 0$). Это свойство неотрицательности отличается от других классов функций, таких как сублинейные функции и действительные линейные функционалы , которые допускают отрицательные значения. Однако, $p_{K}$ может не иметь действительного значения, поскольку для любого данного $x\in X,$ ценность $p_{K}(x)$ является действительным числом тогда и только тогда, когда $\{r>0:x\in rK\}$ не пусто .Следовательно, $K$ обычно предполагается, что он обладает свойствами (такими как поглощение в $X,$ например), что будет гарантировать, что $p_{K}$ имеет реальную ценность.

Определение

Позволять $K$ быть подмножеством реального или комплексного векторного пространства $X.$ Дайте калибра определение $K$ или функционал Минковского, связанный или индуцированный $K$ как функция $p_{K}:X\to [0,\infty ],$ оценивается в расширенных действительных числах , определяемых $$p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},$$ где напомним, что нижняя грань пустого множества равна $\,\infty \,$ (то есть, $\inf \varnothing =\infty$). Здесь, $\{r>0:x\in rK\}$ это сокращение от $\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\}.$

Для любого $x\in X,$ $p_{K}(x)\neq \infty$ тогда и только тогда, когда $\{r>0:x\in rK\}$ не пуст. Арифметические действия над $\mathbb {R}$ может быть расширен для работы $\pm \infty ,$ где ${\frac {r}{\pm \infty }}:=0$ для всех ненулевых действительных $-\infty <r<\infty .$ Продукты $0\cdot \infty$ и $0\cdot -\infty$ остаются неопределенными.

Некоторые условия, придающие калибровке реальную ценность

В области выпуклого анализа карта $p_{K}$ принимая на себя значение $\,\infty \,$ это не обязательно проблема. Однако в функциональном анализе $p_{K}$ почти всегда имеет реальную стоимость (то есть никогда не принимает значение $\,\infty \,$), что происходит тогда и только тогда, когда множество $\{r>0:x\in rK\}$ непусто для каждого $x\in X.$

Для того, чтобы $p_{K}$ чтобы иметь действительную стоимость, достаточно происхождения $X$ принадлежать внутренней части или ядру алгебраической $K$ в $X.$ Если $K$ поглощает ​ ​ $X,$ где напомним, что это означает, что $0\in K,$ то начало координат принадлежит алгебраической внутренности $K$ в $X$ и таким образом $p_{K}$ имеет реальную ценность. Характеристики того, когда $p_{K}$ является реальной величиной, приведены ниже.

Мотивирующие примеры

Пример 1

Рассмотрим нормированное векторное пространство $(X,\|\,\cdot \,\|),$ с нормой $\|\,\cdot \,\|$ и пусть $U:=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ быть единичным шаром в $X.$ Тогда для каждого $x\in X,$ $\|x\|=p_{U}(x).$ Таким образом, функционал Минковского $p_{U}$ это просто норма для $X.$

Пример 2

Позволять $X$ быть векторным пространством без топологии с лежащим в основе скалярным полем $\mathbb {K} .$Позволять $f:X\to \mathbb {K}$ — любой линейный функционал от $X$ (не обязательно непрерывный). Исправить $a>0.$ Позволять $K$ быть набором $$K:=\{x\in X:|f(x)|\leq a\}$$и пусть $p_{K}$ быть функционалом Минковского $K.$ Затем $$p_{K}(x)={\frac {1}{a}}|f(x)|\quad {\text{ for all }}x\in X.$$Функция $p_{K}$ имеет следующие свойства:

1. Это субаддитивно : $p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y).$
2. Он абсолютно однороден : $p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)$ для всех скаляров $s.$
3. Оно неотрицательно : $p_{K}\geq 0.$

Поэтому, $p_{K}$ является полунормой по $X,$ с индуцированной топологией. Это характерно для функционалов Минковского, определяемых через «красивые» множества. Между полунормами и функционалом Минковского, заданным такими наборами, существует взаимно однозначное соответствие. Что именно подразумевается под словом «хороший», обсуждается в разделе ниже.

Обратите внимание, что в отличие от более строгого требования к норме, $p_{K}(x)=0$ не обязательно подразумевать $x=0.$ В приведенном выше примере можно взять ненулевое $x$ из ядра $f.$ Следовательно, результирующая топология не обязательно должна быть Хаусдорфовой .

Общие условия, гарантирующие, что калибры являются полунормами.

Чтобы гарантировать это $p_{K}(0)=0,$ впредь будет считаться, что $0\in K.$

Для того, чтобы $p_{K}$ чтобы быть полунормой, этого достаточно, чтобы $K$ быть диском (то есть выпуклым и уравновешенным) и поглощающим в $X,$ каковы наиболее распространенные предположения, сделанные в отношении $K.$

Теорема - Если $K$ представляет собой поглощающий диск в векторном пространстве $X$ то функционал Минковского $K,$ какая карта $p_{K}:X\to [0,\infty )$ определяется $$p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},$$является полунормой по $X.$Более того, $$p_{K}(x)={\frac {1}{\sup\{r>0:rx\in K\}}}.$$

В более общем смысле, если $K$ выпукло и начало координат принадлежит алгебраической внутренности $K,$ затем $p_{K}$ является неотрицательным сублинейным функционалом на $X,$ откуда, в частности, следует, что оно субаддитивно и положительно однородно .Если $K$ поглощает $X$ затем $p_{[0,1]K}$ положительно однороден, что означает, что $p_{[0,1]K}(sx)=sp_{[0,1]K}(x)$ для всех реально $s\geq 0,$ где $[0,1]K=\{tk:t\in [0,1],k\in K\}.$Если $q$ является неотрицательной действительной функцией на $X$ положительно однородный, то множества $U:=\{x\in X:q(x)<1\}$ и $D:=\{x\in X:q(x)\leq 1\}$ удовлетворить $[0,1]U=U$ и $[0,1]D=D;$ если вдобавок $q$ абсолютно однороден, то оба $U$ и $D$ сбалансированы ​ .

Датчики поглощающих дисков

Пожалуй, наиболее распространенные требования, предъявляемые к набору $K$ чтобы гарантировать это $p_{K}$ это полунорма, это то, что $K$ быть поглощающим диском в $X.$Из-за того, насколько распространены эти предположения, свойства функционала Минковского $p_{K}$ когда $K$ представляет собой поглощающий диск, который теперь будет исследован. Поскольку все упомянутые выше результаты содержали мало (если вообще вообще) предположений относительно $K,$ они могут быть применены в этом частном случае.

Теорема . Предположим, что $K$ представляет собой поглощающее подмножество $X.$Показано, что:

1. Если $K$ выпукло ​ тогда $p_{K}$ является субаддитивным.
2. Если $K$ сбалансирован ​ тогда $p_{K}$ однороден абсолютно ; то есть, $p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)$ для всех скаляров $s.$

показывать Доказательство того, что калибр поглощающего диска является полунормой.

Convexity and subadditivity A simple geometric argument that shows convexity of $K$ implies subadditivity is as follows. Suppose for the moment that $p_{K}(x)=p_{K}(y)=r.$ Then for all $e>0,$ $x,y\in K_{e}:=(r,e)K.$ Since $K$ is convex and $r+e\neq 0,$ $K_{e}$ is also convex. Therefore, ${\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\in K_{e}.$ By definition of the Minkowski functional $p_{K},$$$p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+e={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+e.$$ But the left hand side is ${\frac {1}{2}}p_{K}(x+y),$ so that $$p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+2e.$$ Since $e>0$ was arbitrary, it follows that $p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y),$ which is the desired inequality. The general case $p_{K}(x)>p_{K}(y)$ is obtained after the obvious modification. Convexity of $K,$ together with the initial assumption that the set $\{r>0:x\in rK\}$ is nonempty, implies that $K$ is absorbing. Balancedness and absolute homogeneity Notice that $K$ being balanced implies that$$\lambda x\in rK\quad {\mbox{if and only if}}\quad x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K.$$ Therefore$$p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x).$$

Алгебраические свойства

Позволять $X$ быть действительным или комплексным векторным пространством и пусть $K$ быть поглощающим диском в $X.$

• $p_{K}$ является полунормой по $X.$
• $p_{K}$ это норма для $X$ тогда и только тогда, когда $K$ не содержит нетривиального векторного подпространства.
• $p_{sK}={\frac {1}{|s|}}p_{K}$ для любого скаляра $s\neq 0.$
• Если $J$ представляет собой поглощающий диск $X$ и $J\subseteq K$ затем $p_{K}\leq p_{J}.$
• Если $K$ это набор, удовлетворяющий $\{x\in X:p(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p(x)\leq 1\}$ затем $K$ поглощает ​ ​ $X$ и $p=p_{K},$ где $p_{K}$ – функционал Минковского, связанный с $K;$ то есть это показатель $K.$
  • В частности, если $K$ как указано выше и $q$ есть ли полунорма на $X,$ затем $q=p$ тогда и только тогда, когда $\{x\in X:q(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:q(x)\leq 1\}.$
• Если $x\in X$ удовлетворяет $p_{K}(x)<1$ затем $x\in K.$

Топологические свойства

Предположим, что $X$ является (действительным или комплексным) топологическим векторным пространством (TVS) (не обязательно Хаусдорфовым или локально выпуклым ), и пусть $K$ быть поглощающим диском в $X.$ Затем $$\operatorname {Int} _{X}K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}\;\subseteq \;\operatorname {Cl} _{X}K,$$где $\operatorname {Int} _{X}K$ является топологической внутренней частью и $\operatorname {Cl} _{X}K$ является топологическим замыканием $K$ в $X.$ Важно отметить, что не предполагалось, что $p_{K}$ был непрерывным и не предполагалось, что $K$ имело какие-либо топологические свойства.

При этом функционал Минковского $p_{K}$ непрерывно тогда и только тогда, когда $K$ является окрестностью начала координат в $X.$ Если $p_{K}$ является непрерывным, тогда $$\operatorname {Int} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Cl} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}.$$

Минимальные требования к комплекту

В этом разделе будет исследован наиболее общий случай калибровки любого подмножества. $K$ из $X.$ Более распространенный частный случай, когда $K$ предполагается, что это поглощающий диск в $X$ обсуждалось выше.

Характеристики

Все результаты этого раздела применимы к случаю, когда $K$ представляет собой поглощающий диск.

Через, $K$ это любое подмножество $X.$

Резюме . Предположим, что $K$ является подмножеством вещественного или комплексного векторного пространства $X.$

1. Строгая положительная однородность : $p_{K}(rx)=rp_{K}(x)$ для всех $x\in X$ и все позитивное настоящее $r>0.$
   • Положительная/Неотрицательная однородность : $p_{K}$ является неотрицательно однородным тогда и только тогда, когда $p_{K}$ имеет реальную ценность.
     • Карта $p$ называется неотрицательным однородным если $p(rx)=rp(x)$ для всех $x\in X$ и все неотрицательные действительные $r\geq 0.$ С $0\cdot \infty$ не определено, карта, принимающая бесконечность в качестве значения, не является неотрицательной однородной.
2. Реальные значения : $(0,\infty )K$ представляет собой совокупность всех точек, на которых $p_{K}$ действительно ценится. Так $p_{K}$ является действительным тогда и только тогда, когда $(0,\infty )K=X,$ в этом случае $0\in K.$
   • Стоимость в $0$: $p_{K}(0)\neq \infty$ тогда и только тогда, когда $0\in K$ тогда и только тогда, когда $p_{K}(0)=0.$
   • Пустое пространство : если $x\in X$ затем $p_{K}(x)=0$ тогда и только тогда, когда $(0,\infty )x\subseteq (0,1)K$ тогда и только тогда, когда существует расходящаяся последовательность положительных действительных чисел $t_{1},t_{2},t_{3},\cdots \to \infty$ такой, что $t_{n}x\in K$ для всех $n.$ Более того, набор нулевой $p_{K}$ является $\ker p_{K}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=0\right\}={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K.$
3. Сравнение с константой : Если $0\leq r\leq \infty$ тогда для любого $x\in X,$ $p_{K}(x)<r$ тогда и только тогда, когда $x\in (0,r)K;$ это можно переформулировать так: если $0\leq r\leq \infty$ затем $p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.$
   • Отсюда следует, что если $0\leq R<\infty$ тогда это реально $p_{K}^{-1}([0,R])={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K,$ где множество в правой части обозначает ${\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}[(0,R+e)K]$ а не его подмножество $\left[{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)\right]K=(0,R]K.$ Если $R>0$ то эти множества равны тогда и только тогда, когда $K$ содержит $\left\{y\in X:p_{K}(y)=1\right\}.$
   • В частности, если $x\in RK$ или $x\in (0,R]K$ затем $p_{K}(x)\leq R,$ но важно то, что обратное не обязательно верно.
4. Сравнение датчиков : для любого подмножества $L\subseteq X,$ $p_{K}\leq p_{L}$ тогда и только тогда, когда $(0,1)L\subseteq (0,1)K;$ таким образом $p_{L}=p_{K}$ тогда и только тогда, когда $(0,1)L=(0,1)K.$
   • Задание $L\mapsto p_{L}$ меняет порядок в том смысле, что если $K\subseteq L$ затем $p_{L}\leq p_{K}.$
   • Потому что набор $L:=(0,1)K$ удовлетворяет $(0,1)L=(0,1)K,$ следует, что замена $K$ с $p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K$ не изменит результирующий функционал Минковского. То же самое относится и к $L:=(0,1]K$ и из $L:=p_{K}^{-1}([0,1]).$
   • Если $D~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=1{\text{ or }}p_{K}(y)=0\right\}$ затем $p_{D}=p_{K}$ и $D$ имеет особенно приятное свойство: если $r>0$ тогда это реально $x\in rD$ тогда и только тогда, когда $p_{D}(x)=r$ или $p_{D}(x)=0.$ Более того, если $r>0$ тогда это реально $p_{D}(x)\leq r$ тогда и только тогда, когда $x\in (0,r]D.$
5. Субадитивное / треугольное неравенство : $p_{K}$ субаддитивен тогда и только тогда, когда $(0,1)K$ является выпуклым. Если $K$ выпукло, то и то, и другое $(0,1)K$ и $(0,1]K$ и более того, $p_{K}$ является субаддитивным.
6. Масштабирование набора : Если $s\neq 0$ тогда это скаляр $p_{sK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{s}}y\right)$ для всех $y\in X.$ Таким образом, если $0<r<\infty$ тогда это реально $p_{rK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{r}}y\right)={\tfrac {1}{r}}p_{K}(y).$
7. Симметричный : $p_{K}$ симметричен (это означает, что $p_{K}(-y)=p_{K}(y)$ для всех $y\in X$) тогда и только тогда, когда $(0,1)K$ является симметричным множеством (это означает, что $(0,1)K=-(0,1)K$), что происходит тогда и только тогда, когда $p_{K}=p_{-K}.$
8. Абсолютная однородность : $p_{K}(ux)=p_{K}(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры единичной длины $u$ тогда и только тогда, когда $(0,1)uK\subseteq (0,1)K$ для всех скаляров единичной длины $u,$ в этом случае $p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)$ для всех $x\in X$ и все ненулевые скаляры $s\neq 0.$ Если вдобавок $p_{K}$ также имеет действительное значение, то это справедливо для всех скаляров $s$ (то есть, $p_{K}$ абсолютно однороден ).
   • $(0,1)uK\subseteq (0,1)K$ для всей длины агрегата $u$ тогда и только тогда, когда $(0,1)uK=(0,1)K$ для всей длины агрегата $u.$
   • $sK\subseteq K$ для всех единичных скаляров $s$ тогда и только тогда, когда $sK=K$ для всех единичных скаляров $s;$ если это так, то $(0,1)K=(0,1)sK$ для всех единичных скаляров $s.$
   • Функционал Минковского любого сбалансированного множества является сбалансированной функцией .
9. Поглощение : если $K$ выпукло или сбалансировано, и если $(0,\infty )K=X$ затем $K$ поглощает $X.$
   • Если набор $A$ поглощает $X$ и $A\subseteq K$ затем $K$ поглощает $X.$
   • Если $K$ является выпуклым и $0\in K$ затем $[0,1]K=K,$ в этом случае $(0,1)K\subseteq K.$
10. Ограничение на векторное подпространство : если $S$ является векторным подпространством $X$ и если $p_{K\cap S}:S\to [0,\infty ]$ обозначает функционал Минковского от $K\cap S$ на $S,$ затем $p_{K}{\big \vert }_{S}=p_{K\cap S},$ где $p_{K}{\big \vert }_{S}$ означает ограничение ​ $p_{K}$ к $S.$

показывать Доказательство

The proofs of these basic properties are straightforward exercises so only the proofs of the most important statements are given. The proof that a convex subset $A\subseteq X$ that satisfies $(0,\infty )A=X$ is necessarily absorbing in $X$ is straightforward and can be found in the article on absorbing sets. For any real $t>0,$$$\{r>0:tx\in rK\}=\{t(r/t):x\in (r/t)K\}=t\{s>0:x\in sK\}$$so that taking the infimum of both sides shows that $$p_{K}(tx)=\inf\{r>0:tx\in rK\}=t\inf\{s>0:x\in sK\}=tp_{K}(x).$$This proves that Minkowski functionals are strictly positive homogeneous. For $0\cdot p_{K}(x)$ to be well-defined, it is necessary and sufficient that $p_{K}(x)\neq \infty ;$ thus $p_{K}(tx)=tp_{K}(x)$ for all $x\in X$ and all non-negative real $t\geq 0$ if and only if $p_{K}$ is real-valued. The hypothesis of statement (7) allows us to conclude that $p_{K}(sx)=p_{K}(x)$ for all $x\in X$ and all scalars $s$ satisfying $|s|=1.$ Every scalar $s$ is of the form $re^{it}$ for some real $t$ where $r:=|s|\geq 0$ and $e^{it}$ is real if and only if $s$ is real. The results in the statement about absolute homogeneity follow immediately from the aforementioned conclusion, from the strict positive homogeneity of $p_{K},$ and from the positive homogeneity of $p_{K}$ when $p_{K}$ is real-valued. $\blacksquare$

Примеры

1. Если ${\mathcal {L}}$ представляет собой непустую совокупность подмножеств $X$ затем $p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}$ для всех $x\in X,$ где $\cup {\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \bigcup \limits _{L\in {\mathcal {L}}}}L.$
   • Таким образом $p_{K\cup L}(x)=\min \left\{p_{K}(x),p_{L}(x)\right\}$ для всех $x\in X.$
2. Если ${\mathcal {L}}$ представляет собой непустую совокупность подмножеств $X$ и $I\subseteq X$ удовлетворяет $$\left\{x\in X:p_{L}(x)<1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}\quad \subseteq \quad I\quad \subseteq \quad \left\{x\in X:p_{L}(x)\leq 1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}$$ затем $p_{I}(x)=\sup \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}$ для всех $x\in X.$

Следующие примеры показывают, что сдерживание $(0,R]K\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K$ может быть правильным.

Пример : Если $R=0$ и $K=X$ затем $(0,R]K=(0,0]X=\varnothing X=\varnothing$ но ${\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}X=X,$ который показывает, что это возможно для $(0,R]K$ быть правильным подмножеством ${\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K$ когда $R=0.$ $\blacksquare$

Следующий пример показывает, что сдерживание может быть правильным, когда $R=1;$ пример можно обобщить на любое реальное $R>0.$ Предполагая, что $[0,1]K\subseteq K,$ следующий пример показывает, как это происходит $x\in X$ удовлетворяет $p_{K}(x)=1$ но $x\not \in (0,1]K.$

Пример : Пусть $x\in X$ быть ненулевым и пусть $K=[0,1)x$ так что $[0,1]K=K$ и $x\not \in K.$ От $x\not \in (0,1)K=K$ отсюда следует, что $p_{K}(x)\geq 1.$ Что $p_{K}(x)\leq 1$ следует из наблюдения, что для каждого $e>0,$ $(0,1+e)K=[0,1+e)([0,1)x)=[0,1+e)x,$ который содержит $x.$ Таким образом $p_{K}(x)=1$ и $x\in {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,1+e)K.$ Однако, $(0,1]K=(0,1]([0,1)x)=[0,1)x=K$ так что $x\not \in (0,1]K,$ по желанию. $\blacksquare$

Положительная однородность характеризует функционалы Минковского.

Следующая теорема показывает, что функционалы Минковского — это в точности такие функции $f:X\to [0,\infty ]$ которые обладают некоторым чисто алгебраическим свойством, которое обычно встречается.

Теорема — Пусть $f:X\to [0,\infty ]$ быть любой функцией. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Строгая положительная однородность : $\;f(tx)=tf(x)$ для всех $x\in X$ и все позитивное настоящее $t>0.$
   • Это утверждение эквивалентно: $f(tx)\leq tf(x)$ для всех $x\in X$ и все позитивное настоящее $t>0.$
2. $f$ является функционалом Минковского: это означает, что существует подмножество $S\subseteq X$ такой, что $f=p_{S}.$
3. $f=p_{K}$ где $K:=\{x\in X:f(x)\leq 1\}.$
4. $f=p_{V}\,$ где $V\,:=\{x\in X:f(x)<1\}.$

Более того, если $f$ никогда не принимает значения $\,\infty \,$ (чтобы продукт $0\cdot f(x)$ всегда четко определен), то этот список можно расширить, включив в него:

5. Положительная / Неотрицательная однородность : $f(tx)=tf(x)$ для всех $x\in X$ и все неотрицательные действительные $t\geq 0.$

показывать Доказательство

If $f(tx)\leq tf(x)$ holds for all $x\in X$ and real $t>0$ then $tf(x)=tf\left({\tfrac {1}{t}}(tx)\right)\leq t{\tfrac {1}{t}}f(tx)=f(tx)\leq tf(x)$ so that $tf(x)=f(tx).$ Only (1) implies (3) will be proven because afterwards, the rest of the theorem follows immediately from the basic properties of Minkowski functionals described earlier; properties that will henceforth be used without comment. So assume that $f:X\to [0,\infty ]$ is a function such that $f(tx)=tf(x)$ for all $x\in X$ and all real $t>0$ and let $K:=\{y\in X:f(y)\leq 1\}.$ For all real $t>0,$ $f(0)=f(t0)=tf(0)$ so by taking $t=2$ for instance, it follows that either $f(0)=0$ or $f(0)=\infty .$ Let $x\in X.$ It remains to show that $f(x)=p_{K}(x).$ It will now be shown that if $f(x)=0$ or $f(x)=\infty$ then $f(x)=p_{K}(x),$ so that in particular, it will follow that $f(0)=p_{K}(0).$ So suppose that $f(x)=0$ or $f(x)=\infty ;$ in either case $f(tx)=tf(x)=f(x)$ for all real $t>0.$ Now if $f(x)=0$ then this implies that that $tx\in K$ for all real $t>0$ (since $f(tx)=0\leq 1$), which implies that $p_{K}(x)=0,$ as desired. Similarly, if $f(x)=\infty$ then $tx\not \in K$ for all real $t>0,$ which implies that $p_{K}(x)=\infty ,$ as desired. Thus, it will henceforth be assumed that $R:=f(x)$ a positive real number and that $x\neq 0$ (importantly, however, the possibility that $p_{K}(x)$ is $0$ or $\,\infty \,$ has not yet been ruled out). Recall that just like $f,$ the function $p_{K}$ satisfies $p_{K}(tx)=tp_{K}(x)$ for all real $t>0.$ Since $0<{\tfrac {1}{R}}<\infty ,$ $p_{K}(x)=R=f(x)$ if and only if $p_{K}\left({\tfrac {1}{R}}x\right)=1=f\left({\tfrac {1}{R}}x\right)$ so assume without loss of generality that $R=1$ and it remains to show that $p_{K}\left({\tfrac {1}{R}}x\right)=1.$ Since $f(x)=1,$ $x\in K\subseteq (0,1]K,$ which implies that $p_{K}(x)\leq 1$ (so in particular, $p_{K}(x)\neq \infty$ is guaranteed). It remains to show that $p_{K}(x)\geq 1,$ which recall happens if and only if $x\not \in (0,1)K.$ So assume for the sake of contradiction that $x\in (0,1)K$ and let $0<r<1$ and $k\in K$ be such that $x=rk,$ where note that $k\in K$ implies that $f(k)\leq 1.$ Then $1=f(x)=f(rk)=rf(k)\leq r<1.$ $\blacksquare$

Эту теорему можно распространить для характеристики некоторых классов $[-\infty ,\infty ]$-значные отображения (например, вещественнозначные сублинейные функции ) через функционалы Минковского. Например, его можно использовать для описания того, как каждая действительная однородная функция $f:X\to \mathbb {R}$ (например, линейные функционалы) можно записать в виде уникального функционала Минковского, обладающего определенным свойством.

Характеристика функционалов Минковского на звездных множествах

Предложение - Позволять $f:X\to [0,\infty ]$ быть любой функцией и $K\subseteq X$ быть любым подмножеством. Следующие утверждения эквивалентны:

1. $f$ является (строго) положительно однородным, $f(0)=0,$ и $$\{x\in X:f(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:f(x)\leq 1\}.$$
2. $f$ – функционал Минковского $K$ (то есть, $f=p_{K}$), $K$ содержит источник происхождения и $K$ имеет звездообразную форму в начале координат.
   • Набор $K$ имеет звездообразную форму в начале координат тогда и только тогда, когда $tk\in K$ в любое время $k\in K$ и $0\leq t\leq 1.$ Набор, имеющий форму звезды в начале координат, иногда называют звездным набором .

Характеристика функционалов Минковского, являющихся полунормами

В следующей теореме, которая непосредственно следует из приведенных выше утверждений, $K$ не предполагается , что он поглощает $X$ и вместо этого делается вывод, что $(0,1)K$ поглощает, когда $p_{K}$ является полунормой. Также не предполагается, что $K$ сбалансирован которое (это свойство, $K$ часто требуется иметь); на его месте стоит более слабое условие, которое $(0,1)sK\subseteq (0,1)K$ для всех скаляров $s$ удовлетворяющий $|s|=1.$ Общее требование, чтобы $K$ быть выпуклым также ослаблено до требования только того, чтобы $(0,1)K$ быть выпуклым.

Теорема — Пусть $K$ быть подмножеством реального или комплексного векторного пространства $X.$ Затем $p_{K}$ является полунормой по $X$ тогда и только тогда, когда выполняются все следующие условия:

1. $(0,\infty )K=X$ (или, что то же самое, $p_{K}$ имеет действительное значение).
2. $(0,1)K$ является выпуклым (или, что то же самое, $p_{K}$ является субаддитивным ).
   • Этого достаточно (но не обязательно) для $K$ быть выпуклым.
3. $(0,1)uK\subseteq (0,1)K$ для всех единичных скаляров $u.$
   • Это условие выполняется, если $K$ сбалансирован или, в более общем смысле , если $uK\subseteq K$ для всех единичных скаляров $u.$

в этом случае $0\in K$ и оба $(0,1)K=\{x\in X:p(x)<1\}$ и $\bigcap _{e>0}(0,1+e)K=\left\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\right\}$ будут выпуклыми, сбалансированными и поглощающими подмножествами $X.$

И наоборот, если $f$ является полунормой по $X$ тогда набор $V:=\{x\in X:f(x)<1\}$ удовлетворяет всем трем вышеуказанным условиям (а значит, и выводам), а также $f=p_{V};$ более того, $V$ обязательно является выпуклым, уравновешенным, поглощающим и удовлетворяет $(0,1)V=V=[0,1]V.$

Следствие — Если $K$ — это выпуклое, сбалансированное и поглощающее подмножество реального или комплексного векторного пространства. $X,$ затем $p_{K}$ является полунормой по $X.$

Положительные сублинейные функции и функционалы Минковского.

Можно показать, что вещественная субаддитивная функция $f:X\to \mathbb {R}$ в произвольном топологическом векторном пространстве $X$ непрерывен в начале координат тогда и только тогда, когда он равномерно непрерывен, причем, если, кроме того, $f$ неотрицательен, то $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда $V:=\{x\in X:f(x)<1\}$ это открытый район в $X.$ Если $f:X\to \mathbb {R}$ является субаддитивным и удовлетворяет $f(0)=0,$ затем $f$ является непрерывным тогда и только тогда, когда его абсолютное значение $|f|:X\to [0,\infty )$ является непрерывным.

Неотрицательная . сублинейная функция — это неотрицательная однородная функция $f:X\to [0,\infty )$ удовлетворяющее неравенству треугольника. Из приведенных ниже результатов непосредственно следует, что для такой функции $f,$ если $V:=\{x\in X:f(x)<1\}$ затем $f=p_{V}.$ Данный $K\subseteq X,$ функционал Минковского $p_{K}$ является сублинейной функцией тогда и только тогда, когда она вещественна и субаддитивна, что происходит тогда и только тогда, когда $(0,\infty )K=X$ и $(0,1)K$ является выпуклым.

Соответствие открытых выпуклых множеств положительным непрерывным сублинейным функциям

Теорема — Предположим, что $X$ является топологическим векторным пространством (не обязательно локально выпуклым или Хаусдорфовым) над действительными или комплексными числами. Тогда непустые открытые выпуклые подмножества $X$ это именно те множества, которые имеют вид $z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}$ для некоторых $z\in X$ и некоторая положительная непрерывная сублинейная функция $p$ на $X.$

показывать Доказательство

Let $V\neq \varnothing$ be an open convex subset of $X.$ If $0\in V$ then let $z:=0$ and otherwise let $z\in V$ be arbitrary. Let $p=p_{K}:X\to [0,\infty )$ be the Minkowski functional of $K:=V-z$ where this convex open neighborhood of the origin satisfies $(0,1)K=K.$ Then $p$ is a continuous sublinear function on $X$ since $V-z$ is convex, absorbing, and open (however, $p$ is not necessarily a seminorm since it is not necessarily absolutely homogeneous). From the properties of Minkowski functionals, we have $p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K,$ from which it follows that $V-z=\{x\in X:p(x)<1\}$ and so $V=z+\{x\in X:p(x)<1\}.$ Since $z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\},$ this completes the proof. $\blacksquare$

См. также

• Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы.
• Вспомогательное нормированное помещение
• Функциональное уравнение Коши – Функциональное уравнение
• Наилучшая локально выпуклая топология - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Финслерово многообразие - Обобщение римановых многообразий
• Теорема Хадвигера - Теорема интегральной геометрии.
• Хьюго Хадвигер – швейцарский математик (1908–1981)
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Обработка морфологических изображений . Теория и техника работы с геометрическими структурами. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Норма (математика) – Длина в векторном пространстве.
• Полунорма - функция с неотрицательным действительным знаком в действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: новый взгляд на резюме Гротендика . Том. 16. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  9781470424831 . OCLC   185095773 .
• Динин, Шон (1981). Комплексный анализ в локально выпуклых пространствах . Математические исследования Северной Голландии. Том. 57. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Co., научный паб Elsevier. компании ISBN  978-0-08-087168-4 . OCLC   16549589 .
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN  978-0-471-60848-6 . OCLC   18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0 . МР   0500064 . OCLC   316549583 .
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: Вводный курс по ядерным и ядерным пространствам в свете дуальности «топология-борнология» . Математические исследования Северной Голландии. Том. 52. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087163-9 . OCLC   316564345 .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Келлер, Ганс (1974). Дифференциальное исчисление в локально выпуклых пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 417. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-06962-1 . ОСЛК   1103033 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (второе изд.). Бостон: Биркхойзер . ISBN  978-0-8176-4998-2 . OCLC   710154895 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Результаты математики и ее пограничные области. Том 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-05644-9 . OCLC   539541 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Томпсон, Энтони К. (1996). Геометрия Минковского . Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-40472-Х .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шефер, Х.Х. (1999). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09513-2 . OCLC   5126158 .

Дальнейшее чтение

• Ф. Симески, А. П. Боеленс и М. Ихме. Моделирование адсорбции в порах кремнезема с помощью функционалов Минковского и молекулярных электростатических моментов. Энергии 13 (22) 5976 (2020). https://doi.org/10.3390/en13225976