Гомологическая интеграция

Эта статья посвящена распространению теории интеграла Лебега на многообразия . Для числового метода см. геометрический интегратор .

В математических областях дифференциальной геометрии и геометрической теории меры гомологическое интегрирование или геометрическое интегрирование является методом распространения понятия интеграла на многообразия . Вместо функций или дифференциальных форм интеграл определяется по потокам на многообразии.

Теория является «гомологической», поскольку сами токи определяются двойственностью с дифференциальными формами. То есть пространство D ^к -токов k на многообразии M определяется как пространство двойственное в смысле распределений к пространству k -форм Ω ^к на М. ​Таким образом, существует спаривание между k -токами T и k -формами α , обозначенными здесь через

$\langle T,\alpha \rangle .$

В этом паре двойственности внешняя производная

$d:\Omega ^{k-1}\to \Omega ^{k}$

переходит к граничному оператору

$\partial :D^{k}\to D^{k-1}$

определяется

$\langle \partial T,\alpha \rangle =\langle T,d\alpha \rangle$

для всех α ∈ Ω ^к . Это гомологическая, а не когомологическая конструкция.

Ссылки

• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Основные положения математических наук, том. 153, Нью-Йорк: Springer-Verlag New York Inc., стр. xiv+676, ISBN.  978-3-540-60656-7 , МР   0257325 , Збл   0176.00801 .
• Уитни, Х. (1957), Теория геометрического интегрирования , Принстонская математическая серия, том. 21, Принстон, Нью-Джерси и Лондон: Princeton University Press и Oxford University Press , стр. XV+387, MR   0087148 , Zbl   0083.28204 .