Железнодорожный путь (математика)

Железнодорожный путь на тройном торе .

В математической области топологии железнодорожный путь представляет собой семейство кривых, встроенных в поверхность , удовлетворяющих следующим условиям:

1. Кривые встречаются в конечном наборе вершин, называемых переключателями .
2. Вдали от переключателей изгибы плавные и не касаются друг друга.
3. На каждом переключателе три кривые пересекаются с одной и той же касательной, причем две кривые входят с одного направления, а одна — с другого.

Основное применение железнодорожных путей в математике — изучение расслоений поверхностей, то есть разбиений замкнутых подмножеств поверхностей на объединения гладких кривых. Железнодорожные пути также использовались при рисовании графиков .

Железнодорожные пути и пластины

Стрелочный перевод на железнодорожном пути и соответствующая ему часть пластины.

Расслоение поверхности — это разбиение замкнутого подмножества поверхности на гладкие кривые. Первоначально изучение железнодорожных путей было мотивировано следующим наблюдением: если близорукий человек смотрит на обычное слоение поверхности на расстоянии, оно будет похоже на железнодорожный путь.

Стрелочный перевод на железнодорожном пути моделирует точку, где два семейства параллельных кривых в пластине сливаются в одно семейство, как показано на рисунке. Хотя переключатель состоит из трех кривых, заканчивающихся и пересекающихся в одной точке, кривые в слоении не имеют конечных точек и не пересекаются друг с другом.

Для такого применения железнодорожных путей к пластинам часто важно ограничить формы, которые могут быть образованы соединенными компонентами поверхности между кривыми пути. Например, Пеннер и Харер требуют, чтобы каждый такой компонент, когда он приклеивается к своей копии вдоль своей границы, образуя гладкую поверхность с выступами, имел отрицательную эйлерову характеристику с выступом .

Железнодорожный путь с весами , или взвешенный железнодорожный путь , или измеренный железнодорожный путь , состоит из железнодорожного пути с неотрицательным действительным числом , называемым весом , присвоенным каждой ветке. Веса можно использовать для моделирования того, какие из кривых в параллельном семействе кривых пластины разделены на какие стороны переключателя. Веса должны удовлетворять следующему условию переключения : Вес, назначенный входящей ветви коммутатора, должен равняться сумме весов, назначенных ветвям, исходящим от этого коммутатора.Вес тесно связан с понятием переноски . Говорят, что железнодорожный путь несет в себе слоистую структуру, если существует такая окрестность железнодорожных путей, что каждый лист слоистой структуры содержится в этой окрестности и пересекает каждое вертикальное волокно в поперечном направлении. Если каждое вертикальное волокно имеет нетривиальное пересечение с каким-либо листом, то расслоение полностью переносится железнодорожным путем.

Ссылки

• Пеннер, Р.К., с Харером, Дж.Л. (1992). Комбинаторика железнодорожных путей . Издательство Принстонского университета, Анналы математических исследований. ISBN  0-691-02531-2 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )