Род g поверхность

В математике рода g поверхность (также известная как g -тор или g -дырчатый тор ) — это поверхность , образованная связной суммой g различных торов : внутренняя часть диска удаляется из каждого из g различных торов и границ из g отождествляются (склеиваются) многие диски, образующие g -тор. Род — такой поверхности g .

Поверхность рода g представляет собой двумерное многообразие . Теорема классификации поверхностей утверждает, что каждое компактное связное двумерное многообразие гомеоморфно либо сфере, либо связной сумме торов, либо связной сумме вещественных проективных плоскостей .

Определение рода

Род связной ориентируемой поверхности представляет собой целое число, представляющее максимальное количество разрезов по непересекающимся замкнутым простым кривым, не делая результирующее многообразие несвязным. ^[1] Оно равно количеству ручек на нем. В качестве альтернативы его можно определить через эйлерову характеристику χ через соотношение χ = 2 − 2 g для замкнутых поверхностей , где g — род.

Род (иногда называемый полуродом или родом Эйлера) связной неориентируемой замкнутой поверхности представляет собой целое положительное число, представляющее количество перекрестных шапочек, прикрепленных к сфере. В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ через соотношение χ = 2 − g , где g — неориентируемый род.

Род 0

Ориентируемой поверхностью нулевого рода является сфера S ². Другая поверхность нулевого рода — это диск .

Представления поверхностей рода 0
Сфера $S^{2}$
Закрытый диск (с границей)

Род 1

Ориентируемая поверхность рода один представляет собой обыкновенный тор. Неориентируемой поверхностью рода один является проективная плоскость . ^[2]

Эллиптические кривые над комплексными числами можно отождествить с поверхностями рода 1. Формулировка эллиптических кривых как вложения тора в комплексную проективную плоскость естественным образом вытекает из свойства эллиптических функций Вейерштрасса , позволяющего получать эллиптические кривые из фактора комплексной плоскости по решетке . ^[3]

Представления поверхностей рода 1
Тор рода 1
Эллиптическая кривая

Род 2

Термин двойной тор иногда используется для обозначения поверхности рода 2. ^[4]^[5]Неориентируемая поверхность второго рода — бутылка Клейна .

Поверхность Больца является наиболее симметричной римановой поверхностью рода 2 в том смысле , что она имеет максимально возможную конформных группу автоморфизмов . ^[6]

Представления поверхностей рода 2
Тор рода 2

Род 3

Термин тройной тор также иногда используется для обозначения поверхности рода 3. ^[7]^[5]

Квартика Клейна — компактная риманова поверхность рода 3 $сохраняющих ориентацию автоморфизмов$ максимально возможного порядка с группой автоморфизмов для компактных римановых поверхностей рода 3. Она имеет $168$ и $всего 336$ автоморфизмов.

Несколько поверхностей рода 3
Сфера с тремя ручками
Связная сумма трех торов
Тройной тор
Додекагон с противоположными краями определен ^[8]
Тетрадекагон с противоположными краями определен ^[8]

См. также

Ссылки

^ Манкрес, Джеймс Р. Топология. Том. 2. Река Аппер-Седл: Прентис-Холл, 2000.
^ Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97926-3 .
^ Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике. Том. 106. Шпрингер-Верлаг. ISBN 0-387-96203-4 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойной тор» . Математический мир .
^ Jump up to: ^а ^б Майорга, Луис С.; Мэйсон, Диего (2024). «Тайный балет внутри мультивезикулярных тел». АСУ Нано . 18 (24): 15651. doi : 10.1021/acsnano.4c01590 .
^ Больца, Оскар (1887), «О бинарных секстиках с линейными преобразованиями в себя», American Journal of Mathematics , 10 (1): 47–70, doi : 10.2307/2369402 , JSTOR 2369402
^ Вайсштейн, Эрик В. «Тройной Тор» . Математический мир .
^ Jump up to: ^а ^б Юрген Йост, (1997) «Компактные римановы поверхности: введение в современную математику», Springer

Источники

Джеймс Р. Манкрес, Топология, второе издание , Прентис-Холл, 2000 г., ISBN 0-13-181629-2 .
Уильям С. Мэсси, Алгебраическая топология: введение , Harbrace, 1967.

[1] Манкрес, Джеймс Р. Топология. Том. 2. Река Аппер-Седл: Прентис-Холл, 2000.

[2] Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97926-3 .

[3] Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике. Том. 106. Шпрингер-Верлаг. ISBN 0-387-96203-4 .

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Двойной тор» . Математический мир .

[Mayorga-5] Jump up to: ^а ^б Майорга, Луис С.; Мэйсон, Диего (2024). «Тайный балет внутри мультивезикулярных тел». АСУ Нано . 18 (24): 15651. doi : 10.1021/acsnano.4c01590 .

[6] Больца, Оскар (1887), «О бинарных секстиках с линейными преобразованиями в себя», American Journal of Mathematics , 10 (1): 47–70, doi : 10.2307/2369402 , JSTOR 2369402

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Тройной Тор» . Математический мир .

[jost-8] Jump up to: ^а ^б Юрген Йост, (1997) «Компактные римановы поверхности: введение в современную математику», Springer

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]