Космос (математика)

В математическом предмете геометрической теории групп космическое пространство Каллера -Фогтмана или просто космическое пространство F свободной группы n _{представляет} собой топологическое пространство, состоящее из так называемых «маркированных метрических графовых структур» объема 1 на F _n . Внешнее пространство, обозначаемое или _Xn CVn , _Out снабжено действием группы внешних ( Fn ₎ автоморфизмов группы Fn _. естественным Космическое пространство было представлено в статье 1986 года. ^[1] и Марка Каллера Карен Фогтманн и служит свободным групповым аналогом пространства Тейхмюллера гиперболической поверхности. Космическое пространство используется для изучения групп гомологий и когомологий Out( Fn ₎ , а также для получения информации об , геометрических и динамических свойствах Out( Fn ₎ , ее подгрупп и отдельных внешних автоморфизмов Fn _{алгебраических} . Пространство X _n также можно рассматривать как множество F _n -эквивариантных типов изометрии минимальных свободных дискретных изометрических действий F _n на F _n на R -деревьях T таких, что факторметрический граф T / F _n имеет объем 1.

История [ править ]

Космическое пространство $X_{n}$ был представлен в статье 1986 года ^[1] Марка Каллера и Карен Фогтманн , вдохновленные аналогией с пространством Тейхмюллера гиперболической поверхности. Они показали, что естественное действие $\operatorname {Out} (F_{n})$ на $X_{n}$ является надлежащим образом разрывным , и что $X_{n}$ является сжимаемым .

В той же статье Каллер и Фогтман построили вложение через функции длины трансляции , обсуждаемые ниже, $X_{n}$ в бесконечномерное проективное пространство $\mathbb {P} ^{\,{\mathcal {C}}}=\mathbb {R} ^{\mathcal {C}}\!-\!\{0\}/\mathbb {R} _{>0}$ , где ${\mathcal {C}}$ – множество нетривиальных классов сопряженности элементов $F_{n}$ . Они также доказали, что закрытие ${\overline {X}}_{n}$ из $X_{n}$ в $\mathbb {P} ^{\,{\mathcal {C}}}$ компактен.

Позднее объединение результатов Коэна и Люстига ^[2] и о Бествине и Фейне ^[3] выявлено (см. раздел 1.3 ^[4]) пространство ${\overline {X}}_{n}$ с пространством ${\overline {CV}}_{n}$ проективных классов «очень малых» минимальных изометрических действий $F_{n}$ на $\mathbb {R}$ -деревья .

Формальное определение [ править ]

Графики отмеченных показателей [ править ]

Пусть n ≥ 2. Для свободной группы F _n зафиксируем «розу» R _n , то есть клин из n окружностей, вклиненных в вершину v , и зафиксируем изоморфизм между F _n и фундаментальной группой $π$ ₁ ( R _n , v ) R _n . С этого момента мы отождествляем F _n и $π$ ₁ ( R _n , v ) посредством этого изоморфизма.

Разметка → Γ, где Γ на Fn _без состоит из эквивалентности f : Rn _{гомотопической} — конечный связный граф вершин первой и второй степени. С точностью до (свободной) гомотопии f f однозначно определяется изоморфизмом # _: π $1$ ₍ Rn ) _→ π $1$ ₍ Γ) , то есть изоморфизмом F _n → $π$ ₁ (Γ).

Метрический граф — это конечный связный граф. $\gamma$ вместе с присвоением каждому топологическому ребру e графа Γ положительного вещественного числа L ( e называемого длиной e ) , .Объем . метрического графа — это сумма длин его топологических ребер

Размеченная структура метрического графа на Fn _{состоит из} маркировки f : Rn _{→ Γ вместе со} структурой метрического графа L на Γ.

Две отмеченные метрические структуры-графы f ₁ : Rn _если → Γ ₁ и f ₂ : Rn ₂ → Γ ₂ эквивалентны , существует изометрия θ : Γ ₁ → Γ ₁ гомотопии имеем θ o f _{такая, что с точностью до свободной} знак равно ж ₂ .

Космическое пространство X _n состоит из классов эквивалентности всех структур маркированных метрических графов первого объема на F _n .

в космическом пространстве Слабая топология

Открыть простой [ изменить ]

Пусть f : Rn _k → Γ, где Γ — маркировка, и пусть — количество топологических ребер в Γ. Упорядочим ребра Γ как 1 _, ..., ek _. e Позволять

\Delta _{k}=\left\{(x_{1},\dots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k}\,{\Big |}\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=1,x_{i}>0{\text{ for }}i=1,\dots ,k\right\}

– стандартный ( k − 1)-мерный открытый симплекс в R ^к.

данного f существует естественное отображение j : Δk _→ Xn , _Для где для x ( x1 _из ,..., xk ₎ ∈ Δk _точка j ( x ) Xn задается ₌ маркировкой f вместе со структурой метрического графа L на Γ такой, что L ( e _i ) = x _i для i = 1, ..., k .

Можно показать, что j на самом деле является инъективным отображением, то есть различные точки Δ _k соответствуют неэквивалентным отмеченным метрическим графовым структурам на F _n .

Множество j (∆k ₎ называется открытым симплексом в Xn _, соответствующим f , и обозначается S ( f ). По построению Xn _на является объединением открытых симплексов, соответствующих всем Fn _. разметкам Заметим, что два открытых симплекса в X _n либо не пересекаются, либо совпадают.

Закрытый простой [ править ]

Пусть f : Rn _k → Γ, где Γ — маркировка, и пусть — количество топологических ребер в Γ. и прежде, мы упорядочим ребра Γ как e ₁ , ..., ek _Как . Определим Δ _k ′ ⊆ R ^к как множество всех x = ( x ₁ , ..., x _k ) ∈ R ^к, такой, что $\textstyle {\sum _{i=1}^{k}x_{i}=1}$ , такой, что каждый x _i ≥ 0 и такой, что множество всех ребер e _i в $\Gamma$ с x _i = 0 является подлесом в Γ.

Отображение j : Δ _k → X _n продолжается до отображения h : Δ _k ′ → X _n следующим образом. Для x в Δ _k поместите h ( x ) = j ( x ). Для x ∈ Δ _k ′ − Δ _k точка h ( x ) из X _n получается путем взятия маркировки f и стягивания всех ребер e _i из X n. $\Gamma$ с x _i = 0 для получения новой разметки f ₁ : R _n → Γ ₁ и затем присвоения каждому сохранившемуся ребру e _i Γ ₁ длины x _i > 0.

Можно показать, что для любой разметки f отображение h : ∆ _k ′ → X _n по-прежнему инъективно. Образ h называется замкнутым симплексом в X _n, соответствующим f, и обозначается S ′( f ). Каждая точка в X _n принадлежит только конечному числу замкнутых симплексов, а точка X _n, представленная маркировкой f : R _n → Γ, где граф Γ трехвалентен, принадлежит единственному замкнутому симплексу в X _n , а именно S ′( е ).

Слабая топология космического пространства X _n определяется утверждением, что подмножество C в X _n замкнуто тогда и только тогда, когда для каждой маркировки f : R _n → Γ множество h ⁻¹( C ) замкнуто в Δ _k ′. В частности, отображение h : ∆ _k ′ → X _n является топологическим вложением .

Точки космического пространства как действия на деревьях [ править ]

Пусть x — точка в X _n, заданная маркировкой f : R _n объема один → Γ со структурой метрического графа L на Γ. Пусть T — универсальное покрытие Γ. Таким образом, T — односвязный граф , то есть T — топологическое дерево. Мы также можем поднять метрическую структуру L до T, придав каждому ребру T ту же длину, что и длина его образа в Γ. Это превращает T в метрическое пространство ( T , d ), которое является реальным деревом . Фундаментальная группа $π$ ₁ (Γ) действует на T путем накрытия преобразований , которые также являются изометриями ( T , d ), с фактор-пространством T / $π$ ₁ (Γ) = Γ. Поскольку индуцированный гомоморфизм f _# является изоморфизмом между F _n = $π$ ₁ ( R _n ) и $π$ ₁ ( ), мы также получаем изометрическое действие F _n на T с T / F _n = Γ. Это действие является свободным и дискретным . Поскольку Γ — конечный связный граф без вершин первой степени, это действие также минимально , а это означает, что T не имеет собственных F _n -инвариантных поддеревьев.

Более того, каждое минимальное свободное и дискретное изометрическое действие F _n на вещественном дереве с фактором, являющимся метрическим графом объема один, возникает таким образом из некоторой точки x из X _n . Это определяет биективное соответствие между X _n и множеством классов эквивалентности минимальных свободных и дискретных изометрических действий F _n на вещественных деревьях с факторами объема один. При этом два таких действия F _n на вещественные деревья T ₁ и T ₂ эквивалентны , если существует F _n -эквивариантная изометрия между T ₁ и T ₂ .

Функции длины [ править ]

Дайте действие F _n на реальном дереве T , как указано выше, можно определить функцию длины перевода, связанную с этим действием:

\ell _{T}:F_{n}\to \mathbb {R} ,\quad \ell _{T}(g)=\min _{t\in T}d(t,gt),\quad {\text{ for }}g\in F_{n}.

Для g ≠ 1 существует (уникальная) изометрически внедренная копия R в T , называемая осью g , такая, что g действует на эту ось путем перемещения величины $\ell _{T}(g)>0$ . По этой причине $\ell _{T}(g)$ называется трансляции длиной g . Для любых g , u в F _n имеем $\ell _{T}(ugu^{-1})=\ell _{T}(g)$ , это функция $\ell _{T}$ постоянен на каждом классе сопряженности в G .

В отмеченной метрической графической модели функции длины перемещения космического пространства можно интерпретировать следующим образом. Пусть T в Xn _{→ Γ со} представлена маркировкой f : Rn _{объема один на Γ} структурой метрического графа L . Пусть g ∈ F _n = $π$ ₁ ( R _n ). Сначала протолкните g вперед через f _# , чтобы получить замкнутый контур в Γ, а затем подтяните этот цикл к погруженному контуру в Γ. - длина L этой цепи — это длина трансляции $\ell _{T}(g)$ г.

Основной общий факт из теории действий групп на реальных деревьях гласит, что точка космического пространства однозначно определяется своей функцией длины трансляции. А именно, если два дерева с минимальными свободными изометрическими действиями F _n определяют функции одинаковой длины переноса на F _n, то эти два дерева являются F _n -эквивариантно изометрическими. Отсюда и карта $T\mapsto \ell _{T}$ из Xn _в множество R функций на Fn _{- значных} инъективно.

определяют Топологию функции длины или топологию осей на X _n следующим образом. каждого T в Xn _Для , каждого конечного подмножества K в Fn _и каждого ε > 0 пусть

V_{T}(K,\epsilon )=\{T'\in X_{n}:|\ell _{T}(g)-\ell _{T'}(g)|<\epsilon {\text{ for every }}g\in K\}.

В топологии функции длины для каждого T в X _n базис окрестностей T — в X _n задается семейством V _T ( K , ε ), где K конечное подмножество F _n и где ε > 0.

Сходимость последовательностей в топологии функции длины можно охарактеризовать следующим образом. Для T в X _n и последовательности T _i в X _n мы имеем $\lim _{i\to \infty }T_{i}=T$ тогда и только тогда, когда для каждого g из F _n имеем $\lim _{i\to \infty }\ell _{T_{i}}(g)=\ell _{T}(g).$

Gromov topology [ edit ]

Другая топология на $X_{n}$ — это так называемая топология Громова или эквивариантная топология сходимости Громова–Хаусдорфа , которая обеспечивает версию сходимости Громова–Хаусдорфа , адаптированную к условиям изометрического группового действия.

При определении топологии Громова следует думать о точках $X_{n}$ как действия $F_{n}$ на $\mathbb {R}$ -деревья.Неформально, дано дерево $T\in X_{n}$ , другое дерево $T'\in X_{n}$ находится «близко» к $T$ в топологии Громова, если для некоторых больших конечных поддеревьев $Y\subseteq T,Y'\subseteq T'\in X_{n}$ и большое конечное подмножество $B\subseteq F_{n}$ существует «почти изометрия» между $Y'$ и $Y$ в отношении которого (частичные) действия $B$ на $Y'$ и $Y$ почти согласен. Формальное определение топологии Громова см. ^[5]

слабых, функции длины и Совпадение топологий Громова

Важный основной результат утверждает, что топология Громова, слабая топология и топология функции длины на X _n совпадают. ^[6]

Действие Out Fn _{космическом} в пространстве ( )

Группа ( Fn ₎ допускает естественное действие гомеоморфизмами на правое Xn _. Out

определим действие группы автоморфизмов Aut( Fn _на ) Xn _{Сначала} . Пусть α ∈ Fn _Aut ) автоморфизм Fn — _. ( Пусть x — точка X _n, заданная маркировкой f : R _n объема один → Γ со структурой метрического графа L на Γ. Пусть τ : Rn _на → Rn _{индуцированный} — гомотопическая эквивалентность, чей гомоморфизм уровне фундаментальной группы является автоморфизмом α группы F _n = $π$ ₁ ( R _n ). Элемент xα из X _n задается маркировкой f ∘ τ : Rn _{→ Γ с} метрической структурой L на Γ. То есть, чтобы получить xα из x, мы просто предварительно составляем маркировку, определяющую x, с помощью τ .

В модели реального дерева это действие можно описать следующим образом. Пусть T в X _n — вещественное дерево с минимальным свободным и дискретным изометрическим действием F _n кообъема один . Пусть α ∈ Aut( ) _Fn . Как метрическое пространство Tα равно T . Действие F _n искажается α . А именно, для любых t в T и g в F _n имеем:

g{\underset {T\alpha }{\cdot }}t=\alpha (g){\underset {T}{\cdot }}t.

На уровне функций длины трансляции дерево Tα задается как:

\ell _{T\alpha }(g)=\ell _{T}(\alpha (g))\quad {\text{ for }}g\in F_{n}.

Затем проверяется, что для указанного выше действия Aut( Fn ₎ на внешнем пространстве Xn _Xn подгруппа автоморфизмов Inn( Fn ₎ содержится в ядре этого действия, то есть каждый внутренний автоморфизм действует на тривиально _{внутренних} . , что действие Aut( Fn _Fn на Xn ₎ факторизуется до действия Out( Отсюда следует ₎ = Aut( ) _/ Inn( Fn ₎ на Xn _. Fn а именно, если φ ∈ Out( F _n ) является внешним автоморфизмом F _n и если α в Aut( F _n ) является действительным автоморфизмом, представляющим φ, то для любого x в X _n мы имеем xφ = xα .

Правое действие Out( F _n ) на X _n можно превратить в левое действие с помощью стандартной процедуры преобразования. А именно, для φ ∈ Out( F _n ) и x в X _n положим

φx = хφ ⁻¹.

Это левое действие Out( Fn _{также иногда рассматривается в} ) на Xn _. литературе, хотя большинство источников работают с правым действием

Пространство модулей [ править ]

Фактор-пространство M _n = X _n /Out( F _n ) — это пространство модулей , состоящее из типов изометрии конечных связных графов Γ без вершин первой и второй степени, с фундаментальными группами, изоморфными F _n (т. е. с первое число Бетти, равное n ), оснащенное метрическими структурами единицы объема. Фактортопология такая же , на M _n как и заданная расстоянием Громова – Хаусдорфа между метрическими графами, представляющими точки M _n . Пространство модулей M _n не компактно , и «каспы» в M _n возникают из-за уменьшения к нулю длины ребер гомотопически нетривиальных подграфов (например, существенной схемы) метрического графа Γ.

Основные свойства и факты о космическом пространстве [ править ]

Космическое пространство Xn _года сжимаемо , и действие Out( Fn ₎ на Xn _. является надлежащим образом разрывным , как было доказано Каллером и Фогтманном в их оригинальной статье 1986 ^[1] где был представлен космос.
Пространство X _n имеет топологическую размерность 3 n − 4. Причина в том, что если Γ — конечный связный граф без вершин первой и второй степени с фундаментальной группой , изоморфной F _n , то Γ имеет не более 3 n − 3 ребер. и он имеет ровно 3 n − 3 ребра, когда Γ трехвалентен. Следовательно, верхнемерный открытый симплекс в X _n имеет размерность 3 n − 4.
Космическое пространство X _n специфическое деформационное втягивание K _n X содержит _n , называемое позвоночником космического пространства. Спайн K _n имеет размерность 2 n − 3, Out( F _n )-инвариантен и имеет компактный фактор по действию Out( F _n ).

Непроективизированное космическое пространство [ править ]

Непроективизированное космическое пространство $cv_{n}$ состоит из классов эквивалентности всех размеченных структур метрических графов на F _n , где объем метрического графа в маркировке может быть любым положительным действительным числом. Пространство $cv_{n}$ также можно рассматривать как множество всех свободных минимальных дискретных изометрических действий F _n на R -деревьях, рассматриваемых с точностью до F _n -эквивариантной изометрии. Непроективизированное Космическое пространство наследует те же структуры, что и $X_{n}$ имеет, в том числе совпадение трех топологий (Громова, осей, слабой), и $\operatorname {Out} (F_{n})$ -действие. Кроме того, существует естественное действие $\mathbb {R} _{>0}$ на $cv_{n}$ скалярным умножением.

Топологически $cv_{n}$ гомеоморфен $X_{n}\times (0,\infty )$ . В частности, $cv_{n}$ также является сжимаемым.

Проективизированное космическое пространство [ править ]

Проективизированное космическое пространство — это факторпространство. $CV_{n}:=cv_{n}/\mathbb {R} _{>0}$ под действием $\mathbb {R} _{>0}$ на $cv_{n}$ скалярным умножением. Пространство $CV_{n}$ оснащен фактор-топологией. Для дерева $T\in cv_{n}$ его класс проективной эквивалентности обозначается $[T]=\{cT\mid c>0\}\subseteq cv_{n}$ . Действие $\operatorname {Out} (F_{n})$ на $cv_{n}$ естественным образом факторизуется по действию $\operatorname {Out} (F_{n})$ на $CV_{n}$ . А именно, для $\phi \in \operatorname {Out} (F_{n})$ и $T\in cv_{n}$ помещать $[T]\phi :=[T\phi ]$ .

Ключевое наблюдение состоит в том, что карта $X_{n}\to CV_{n},T\mapsto [T]$ это $\operatorname {Out} (F_{n})$ -эквивариантный гомеоморфизм. По этой причине пространства $X_{n}$ и $CV_{n}$ часто идентифицируются.

Липшицево расстояние [ править ]

Расстояние Липшица, ^[7] назван в честь Рудольфа Липшица , поскольку космическое пространство соответствует метрике Терстона в пространстве Тейхмюллера. За два балла $x,y$ в X _n (правое) расстояние Липшица $d_{R}$ определяется как (натуральный) логарифм максимально растянутого замкнутого пути из $x$ к $y$ :

\Lambda _{R}(x,y):=\sup _{\gamma \in F_{n}\setminus \{1\}}{\frac {\ell _{y}(\gamma )}{\ell _{x}(\gamma )}}

и

d_{R}(x,y):=\log \Lambda _{R}(x,y)

Это асимметричная метрика (также иногда называемая квазиметрикой ), т.е. она не обладает только симметрией. $d_{R}(x,y)=d_{R}(y,x)$ . Симметричная метрика Липшица обычно обозначает:

d(x,y):=d_{R}(x,y)+d_{R}(y,x)

Окончательный $\Lambda _{R}(x,y)$ всегда получается и может быть вычислен по конечному набору так называемых кандидатов $x$ .

\Lambda _{R}(x,y)=\max _{\gamma \in \operatorname {cand} (x)}{\frac {\ell _{y}(\gamma )}{\ell _{x}(\gamma )}}

, Простая петля восьмерка и штанга.

Где $\operatorname {cand} (x)$ — конечное множество классов сопряженности в Fn _, которые соответствуют вложениям простой петли , восьмерки или штанги в $x$ по маркировке (см. схему).

Фактор растяжения также равен минимальной константе Липшица гомотопической эквивалентности, переносящей маркировку, т.е.

\Lambda _{R}(x,y)=\min _{h\in H(x,y)}Lip(h)

Где $H(x,y)$ являются непрерывными функциями $h:x\to y$ такой, что для маркировки $f_{x}$ на $x$ маркировка $h\circ f_{x}$ свободно гомотопен маркировке $f_{y}$ на $y$ .

Индуцированная топология такая же, как и слабая топология, а группа изометрий равна $\operatorname {Out} (F_{n})$ как для симметричного, так и для асимметричного расстояния Липшица. ^[8]

Приложения и обобщения [ править ]

Закрытие ${\overline {cv}}_{n}$ из $cv_{n}$ в топологии функции длины, как известно, состоит из ( F _n -эквивариантных классов изометрии) всех очень малых минимальных изометрических действий F _n на R -деревьях. ^[9] Здесь замыкание берется в пространстве всех минимальных изометрических «неприводимых» действий $F_{n}$ на $\mathbb {R}$ -деревья, рассматриваемые с точностью до эквивариантной изометрии. Известно, что топология Громова и топология осей в пространстве неприводимых действий совпадают, ^[5] поэтому замыкание можно понимать в любом смысле. Проективизация ${\overline {cv}}_{n}$ относительно умножения на положительные скаляры дает пространство ${\overline {CV}}_{n}$ что представляет собой функции длины компактификацию $CV_{n}$ и из $X_{n}$ , аналогичный компактификации Терстоном пространства Тейхмюллера.
разработаны аналоги и обобщения Космоса Для бесплатных продуктов . ^[10] для прямоугольных групп Артина , ^[11] для так называемых деформационных пространств групповых действий ^[6] и в некоторых других контекстах.
Версия космического пространства с базовой точкой, называемая Аутер-пространством , для помеченных метрических графов с базовыми точками, была построена Хэтчером и Фогтманном в 1998 году. ^[12] Аутер космос $A_{n}$ имеет много общих свойств с космическим пространством, но $A_{n}$ поставляется только с действием $\operatorname {Aut} (F_{n})$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б ^с Каллер, Марк ; Фогтманн, Карен (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп» (PDF) . Математические изобретения . 84 (1): 91–119. Бибкод : 1986InMat..84...91C . дои : 10.1007/BF01388734 . S2CID 122869546 .
^ Коэн, Маршалл М.; Люстиг, Мартин (1995). «Действия очень малых групп на R -деревьях и твист-автоморфизмы Дена» (PDF) . Топология . 34 (3): 575–617. дои : 10.1016/0040-9383(94)00038-м .
^ Бествина, Младен; Фейн, Марк (1994). «Внешние пределы» (PDF) .
^ Гирадель, Винсент (2000). «Динамика $Out(F_{n})$ на границе космического пространства» . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (4): 433–465. doi : 10.1016/S0012-9593(00)00117-8 .
^ Jump up to: ^а ^б Фредерик Полен, Топология Громова на R -деревьях . Топология и ее приложения 32 (1989), вып. 3, 197–221.
^ Jump up to: ^а ^б Винсент Гирадель, Гилберт Левитт, Пространства деформаций деревьев . Группы, геометрия и динамика 1 (2007), вып. 2, 135–181.
^ Франкавилья, Стефано; Мартино, Армандо (2011). «Метрические свойства космического пространства». Математические публикации . 55 : 433–473. arXiv : 0803.0640 . дои : 10.5565/PUBLMAT_55211_09 . S2CID 4997063 .
^ Франкавилья, Стефано; Мартино, Армандо (2012). «Группа изометрии космического пространства» . Достижения в математике . 231 (3–4): 1940–1973. arXiv : 0912.0299 . дои : 10.1016/j.aim.2012.07.011 .
^ Младен Бествина, Топология Out ( F _n ). Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002), стр. 373-384, Высшее изд. Пресс, Пекин, 2002 г.; ISBN 7-04-008690-5 .
^ Гирардель, Винсент; Левитт, Гилберт (2007). «Космическое пространство свободного продукта». Труды Лондонского математического общества . 94 (3): 695–714. arXiv : math/0501288 . дои : 10.1112/plms/pdl026 . S2CID 7079548 .
^ Кори Брегман, Рут Чарни, Карен Фогтманн, Космическое пространство для RAAG , arXiv: 2007.09725, препринт, 2020 г.
^ Аллен Хэтчер и Карен Фогтманн , Теория Серфа для графов. Журнал Лондонского математического общества 58 (1998), вып. 3, 633–655.

Дальнейшее чтение [ править ]

Младен Бествина, Топология Out(F _n ) . Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002 г.), стр. 373–384, Higher Education Press , Пекин, 2002 г.; ISBN 7-04-008690-5 .
Карен Фогтманн , О геометрии космического пространства . Бюллетень Американского математического общества 52 (2015), вып. 1, 27–46.
Фогтманн, Карен (2008). «Что такое… космическое пространство?» (PDF) . Уведомления АМС . 55 (7): 784–786.

[CV86-1] Jump up to: ^а ^б ^с Каллер, Марк ; Фогтманн, Карен (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп» (PDF) . Математические изобретения . 84 (1): 91–119. Бибкод : 1986InMat..84...91C . дои : 10.1007/BF01388734 . S2CID 122869546 .

[2] Коэн, Маршалл М.; Люстиг, Мартин (1995). «Действия очень малых групп на R -деревьях и твист-автоморфизмы Дена» (PDF) . Топология . 34 (3): 575–617. дои : 10.1016/0040-9383(94)00038-м .

[3] Бествина, Младен; Фейн, Марк (1994). «Внешние пределы» (PDF) .

[4] Гирадель, Винсент (2000). «Динамика $Out(F_{n})$ на границе космического пространства» . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (4): 433–465. doi : 10.1016/S0012-9593(00)00117-8 .

[Paulin-5] Jump up to: ^а ^б Фредерик Полен, Топология Громова на R -деревьях . Топология и ее приложения 32 (1989), вып. 3, 197–221.

[GL07-6] Jump up to: ^а ^б Винсент Гирадель, Гилберт Левитт, Пространства деформаций деревьев . Группы, геометрия и динамика 1 (2007), вып. 2, 135–181.

[FM08-7] Франкавилья, Стефано; Мартино, Армандо (2011). «Метрические свойства космического пространства». Математические публикации . 55 : 433–473. arXiv : 0803.0640 . дои : 10.5565/PUBLMAT_55211_09 . S2CID 4997063 .

[FM09-8] Франкавилья, Стефано; Мартино, Армандо (2012). «Группа изометрии космического пространства» . Достижения в математике . 231 (3–4): 1940–1973. arXiv : 0912.0299 . дои : 10.1016/j.aim.2012.07.011 .

[9] Младен Бествина, Топология Out ( F _n ). Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002), стр. 373-384, Высшее изд. Пресс, Пекин, 2002 г.; ISBN 7-04-008690-5 .

[10] Гирардель, Винсент; Левитт, Гилберт (2007). «Космическое пространство свободного продукта». Труды Лондонского математического общества . 94 (3): 695–714. arXiv : math/0501288 . дои : 10.1112/plms/pdl026 . S2CID 7079548 .

[11] Кори Брегман, Рут Чарни, Карен Фогтманн, Космическое пространство для RAAG , arXiv: 2007.09725, препринт, 2020 г.

[12] Аллен Хэтчер и Карен Фогтманн , Теория Серфа для графов. Журнал Лондонского математического общества 58 (1998), вып. 3, 633–655.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]