Группа автоморфизмов свободной группы
теории групп группа автоморфизмов свободной группы — это дискретная группа автоморфизмов В математической свободной группы . Фактор по внутренним автоморфизмам — это внешняя группа автоморфизмов свободной группы , которая в некотором смысле аналогична группе классов отображений поверхности .
Презентация [ править ]
Якоб Нильсен ( 1924 ) показал, что автоморфизмы, определенные элементарными преобразованиями Нильсена, порождают полную группу автоморфизмов конечно порожденной свободной группы. Нильсен, а позже Бернхард Нейман использовали эти идеи, чтобы дать конечные представления групп автоморфизмов свободных групп. Это также описано в ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , стр. 131, Th 3.2).
Группа автоморфизмов свободной группы с упорядоченным базисом [ x 1 , …, x n ] порождается следующими 4 элементарными преобразованиями Нильсена :
- Переключатель х 1 и х 2
- Циклически переставляйте x 1 , x 2 , …, x n , в x 2 , …, x n , x 1 .
- Заменить х 1 на х 1 −1
- Замените x 1 на x 1 · x 2
Эти преобразования являются аналогами элементарных операций над строками . Преобразования первых двух типов аналогичны перестановкам строк и циклическим перестановкам строк. Преобразования третьего рода соответствуют масштабированию строки обратимым скаляром. Преобразования четвертого рода соответствуют сложению строк.
Преобразований первых двух типов достаточно для перестановки образующих в любом порядке, поэтому третий тип можно применить к любому из образующих, а четвертый тип — к любой паре образующих.
Нильсен дал довольно сложное конечное представление с использованием этих генераторов, описанное в ( Magnus, Karrass & Solitar 2004 , стр. 165, раздел 3.5).
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004), Комбинаторная теория групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43830-6 , МР 0207802
- Нильсен, Якоб (1921), «Об исчислении с некоммутативными факторами и его применении к теории групп», Math. Журнал B (на датском языке), 1921 : 78–94, JFM 48.0123.03.
- Нильсен, Якоб (1924), «Группа изоморфизма свободных групп» , Mathematical Annals (на немецком языке), 91 : 169–209, doi : 10.1007/BF01556078 , JFM 50.0078.04
- Фогтманн, Карен (2002), «Автоморфизмы свободных групп и космического пространства» (PDF) , Материалы конференции по геометрической и комбинаторной теории групп, Часть I (Хайфа, 2000), Geometriae Dedicata , 94 : 1–31, doi : 10.1023/A:1020973910646 , ISSN 0046-5755 , MR 1950871